新人教A版必修第一册2023年秋高中数学第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合测评（含答案）

章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
2．设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N等于(　　)
A． B．
C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
3．(2022·山东省郓城一中月考)关于命题p： x∈R，x2＋3x＋2<0的叙述正确的是(　　)
A．p的否定： x∈R，x2＋3x＋2<0
B．p的否定： x∈R，x2＋3x＋2≥0
C．p是真命题，p的否定是假命题
D．p是假命题，p的否定是真命题
4．(2022·辽宁沈阳月考)已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩( US)
D．(M∩P)∪( US)
6．(2022·河南伊川县实验高中月考)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A UB，则下列关系一定正确的是(　　)
A． x∈U，x A且x∈B
B． x∈A，x∈B
C． x∈U，x∈A或x∈B
D． x∈U，x∈A且x∈B
7．有限集合A中元素的个数，用card(A)表示．若集合M＝{x∈Z|－2A．4 B．3
C．2 D．1
8．(2022·保定市第一中学月考)已知集合M＝，集合N＝，则(　　)
A．M∩N＝ B．M∪N＝M
C．N?M D．M?N
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　)
A． A B．－2∈A
C．{0，2} A D．A {y|y<3}
10．下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)
A． x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C． x∈R，|x|<0
D．有些自然数是偶数
11．(2022·江苏南京师大附中月考)我们知道，如果集合A S，那么S的子集A的补集为 SA＝{x|x∈S且x A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x B}，叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是(　　)
A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}
B．如果A－B＝ ，那么A B
C．已知全集、集合A、集合B关系如图中所示，则B－A＝A∩( UB)
D．已知A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2或x≥4}
12．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1 x2∈A，则运算 可能是(　　)
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为________．
14．命题“ 1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
16．(2022·江苏南京月考)某班50名学生中，有围棋爱好者27人，足球爱好者33人，同时爱好这两项的人最多________人，最少________人．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p： x∈R，x2＋2x＋5＞0.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)在① RA RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)(2022·河北沧州月考)已知集合A＝{x|a(1)求B∪C，B∩C；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知全集U＝{x∈N|1≤x≤6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}，集合B＝{3，4，5，6}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)写出集合( UA)∩B的所有子集．
21．(本小题满分12分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}．
(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－；
(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x122．(本小题满分12分)(2022·湖北武汉市第六中学月考)设a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．
综合测评卷详解答案
章末综合测评(一)
1．D　2．B　3．C　4．B　5．C　6．A　7．C　8．D
9．ACD　[∵A＝{0，2}，∴ A，－2 A，{0，2} A，A {y|y<3}．故选ACD．]
10．ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．]
11．BD　[对于A，由B－A＝{x|x∈B且x A}，故B－A＝{3，8}，错误；
对于B，由A－B＝{x|x∈A且x B}，则A－B＝ ，故A B，正确；
对于C，由Venn图知：B－A如图阴影部分，
所以B－A＝B∩( UA)，错误；
对于D， RB＝{x|x<－2或x≥4}，则A－B＝A∩( RB)＝{x|x<－2或x≥4}，正确．
故选BD．]
12．AC　[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，
其中m1，m2，n1，n2∈N*，
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A，
所以加法满足条件，A正确；
x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，
当n1＝n2时，x1－x2 A，
所以减法不满足条件，B错误；
x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，
所以乘法满足条件，C正确；
，
当＝λ(λ>0)时， A，
所以除法不满足条件，D错误．]
13．－2　[∵2∈A，∴a＝2或|a|＝2或a－2＝2，∴a＝－2或a＝2或a＝4．
又|a|≠a，∴a＝2或4舍去．故a＝－2．]
14．{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]
15．充分不必要　[由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A?B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]
16.27　10　[设围棋爱好者组成集合A，足球爱好者为集合B，全体学生为集合U，由Venn图可知：
图①　　　　　　图②
当A∪B＝U时，同时爱好这两项的人数最少，如图①，最少为：27＋33－50＝10．
当A B时，A∩B＝A，同时爱好这两项的人数最多，如图②，最多为27人．]
17．解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；
又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，p的否定：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“ x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，p的否定：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“ x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．解：(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．
(2)三个条件 RA RB，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B A，所以1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
19．解：(1)由B＝{x|2－x≤0}得2－x≤0，所以x≥2；
由C＝{x|x－3≤0}得x－3≤0，所以x≤3，
所以B∪C＝R，B∩C＝{x|2≤x≤3}．
(2)因为a>0，所以A＝{x|a所以B∩C?A，
所以1即实数a的取值范围是{a|120．解：(1)全集U＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}＝{2，4}，集合B＝{3，4，5，6}．
A∩B＝{4}，A∪B＝{2，3，4，5，6}．
(2)∵ UA＝{1，3，5，6}，∴( UA)∩B＝{3，5，6}，它的所有子集是 ，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}，共8个．
21．解：(1)根据题意，由A＝{－1，1}，
则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}．
(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，
x1所以A－中也只包含四个元素，
即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，
剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，
所以x1＋x4＝x2＋x3．
22．解：a2＋b2>c2．证明如下：
充分性：∵a2＋b2>c2，∴△ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，
∵a≤b≤c，∴∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D(如图1)，
图1
由勾股定理，得c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(CD＋a)2＝AD2＋CD2＋a2＋2·CD·a＝AC2＋a2＋2·CD·a＝b2＋a2＋2·CD·a>a2＋b2，与已知a2＋b2>c2矛盾，
∴△ABC为锐角三角形．
必要性：∵△ABC为锐角三角形，
∴∠B<90°，∠C<90°，过点A作BC的垂线，垂足为D(如图2)，
图2
由勾股定理知，c2＝AD2＋BD2＝
AD2＋(a－CD)2＝AD2＋CD2＋a2－2·CD·a＝b2＋a2－2·CD·a综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2＋b2>c2．