四川省凉山彝族自治州安宁河联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

安宁河联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校 姓名 班级 准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上 试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.以下说法中正确的是（ ）
A.用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好
B.抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法
C.通过查询获得的数据叫做二手数据
D.通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果
2.已知经过点两点的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A.±1 B.-1 C.1 D.-4
3.两条平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，是的中点，是靠近的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
5.某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.5
8.在三棱柱中，，则该三棱柱的体积为（ ）
A. B.3 C.4 D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.2023年中秋国庆放假期间，某同学对西昌市的空气质量进行了检测（AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好），检测数据如图（ ）
A.这8天的AQI指数值的中位数为18.5
B.从10月2日到6日，空气质量越来越好
C.这8天的AQI指数值的平均值为19.375
D.这8天的AQI指数值的第75百分位数是21
10.已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A.在轴上的截距为-1 B.恒过定点
C.若，则或 D.若，则
11.以下结论正确的是（ ）
A.若是互斥事件，，则
B.事件两两独立，则
C.甲乙两名同学参加抽奖，事件“甲乙都中奖”的对立事件是“甲乙至多一人中奖”
D.连续抛一枚骰子两次，记录朝上点数，设“第二次朝上的点数为2”，“两次朝上的点数之和为”，则与相互独立
12.如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A.三棱锥的体积为定值1
B.存在线段，使平面平面
C.为靠近的四等分点时，直线与所成角的余弦值最大
D.三棱锥的外接球体积的最大值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出60条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有__________条鱼.
14.已知，且，则__________.
15.已知实数满足，则的取值范围为__________.
16.空间中的平面可以用代数方程表示：过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知的三个顶点是.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程.
18.（12分）如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面是的中点.
（1）求证：；
（2）若面与面的交线为，求二面角的大小.
19.（12分）已知直线的横截距为，且在轴，轴上的截距之和为4.
（1）若直线的斜率为2，求实数的值；
（2）若直线分别与轴 轴的正半轴分别交于两点，是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.
20.（12分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中的值，并求综合评分的分位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率；
（3）已知落在的平均综合评分是54，方差是4，落在的平均综合评分为63，方差是7，求落在的总平均综合评分和总方差.
21.（12分）如图，在直三棱柱中，
（1）求点到面的距离；
（2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）某中学举行一次知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两道题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为.
（1）若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
安宁河联盟2023-2024学年高二上学期期中联考
数学评分细则
1-8CBCB CACD
9.ABC 10.ABD 11.ACD 12.BCD
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）由可得，
故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点，故方程为，即，
（2）当直线斜率不存在时，此时直线为到直线的距离分别为4和2，不符合题意，.
当直线斜率存在时，
设直线方程为，即
此时到直线的距离相等，则
化简得，解得或，
故直线方程为或，
即或.
18.（1）证明：平面，
正方形，
，
面，
面
（2）面，且为正方形，
建立如图所示空间坐标系.
面法向量为
设面法向量为
则
二面角的大小为
19.解：（1）依题意直线在轴上的截距都存在且不为0，
设直线的方程为且，
令，可得，令，可得，
即直线经过点，
所以直线的斜率为，解得；
（2）设直线的方程为且，
由直线分别与轴 轴的正半轴分别交于两点，
可得，解得，
又由，
可得
，
当时，取得最大值2，
此时直线方程为，即
（其它方法也可以）
20.解：（1）由频率和为1，得，
；
综合评分的分位数为，
则，解得
，所以综合评分的综合评分的分位数为74.
（2）由题，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品2个，
一等品记为，非一等品记为
从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为： 共10种；
抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：共6种，
所以所求的概率为.
（3），
.
21.解：
（1），且面
建立如图所示空间坐标系
则
设面法向量为，则
设距离为，则
设，则
设面法向量为
.
化简得.
均大于1，则不存在这样的点
22.解：（1）第一轮竞赛中他们获“优秀小组”有两种情况：答对题为3道或4道，
则他们获“优秀小组”的概率为：
（2）
每轮比赛获得“优秀小组”的概率为
令.
，
.
令
对称轴方程为，抛物线开口向下，
函数在上单调递增，
的最大值是，
设要进行轮竞赛，则，
解得：.
理论上至少要进行19轮竞赛.