黑龙江省龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 681.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-14 18:22:47 | ||
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文档简介
龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试题
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：选择性必修一第二、三章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上的点P到直线的距离等于6，则点P到焦点F的距离（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．定义：既是中心对称也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线不是“尚美曲线”的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆：，：的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右顶点分别为，，圆O是以为直径的圆，E为圆O上一点，直线交C的右支于点B，且E为的中点，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6
C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形
11．已知点，，动点P满足，则（ ）
A．点P的轨迹方程为椭圆 B．点P到原点O的距离的最小值为2
C．△PAB面积的最大值为12 D．的最小值为-18
12．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点M，则（ ）
A． B．若，则直线AB的斜率为
C．的最小值为8 D．的最小值为12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程________．
①焦点在x轴上；②离心率为．
14．若直线：与直线：平行，则与之间的距离为________．
15．已知抛物线C：的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若，则________．
16．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知△ABC的三个顶点为，，．求：
（1）AB所在直线的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
18．（12分）
已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点且与圆C相切的直线的斜率．
19．（12分）
已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求△OAB的面积．
20．（12分）
已知点是抛物线C：上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线l必过定点．
21．（12分）
已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．
22．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为M的动圆过点，且在y轴上截得的弦长为8，记M的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）过点的直线交E于A，B两点，点C为直线上的动点，则是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B
由方向向量知：．
2．D
抛物线的准线为，由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于其到准线的距离，即．
3．D
表示的是关于x轴对称的抛物线，不满足“尚美曲线”的定义．
4．A
由题知椭圆的离心率，由题知椭圆的离心率，又，解得．
5．C
因为两个圆：与：，所以圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为3，所以两圆圆心距为，因为，所以两圆外切，有3条公切线．
6．A
，则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，即．
7．B
因为，且MN，分别被点O平分，所以四边形为矩形，对角线长为2c，即，且，所以，即，而四边形的面积为，得．
8．C
因为线段的中点E在圆O：上，所以，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，过B作轴，垂足为F，则，所以，，所以，所以，得，所以，，所以离心率．
9．BD
依题意，，直线在x轴和y轴上的截距分别为和，因此，解得或．
10．ABD
由椭圆C：，可得，，则，故椭圆C的离心率为，A正确；当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确；的周长为，故C错误；当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．
11．BC
设动点，则由得：，即化简得：，A错误；所以点P轨迹是圆心为，半径为4的圆，则点P到原点O的距离最小值为，B正确；因为A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且，所以P点的纵坐标最大值为4，△PAB面积的最大值为，C正确；又，因为，所以，D错误．
12．AB
由题知焦点，准线l：，所以．因为A不可能是坐标原点，即，所以，A正确；对于B，显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，，由消去x得：，于是，，，解得，直线AB的斜率，B正确；由选项B知，，当且仅当，即时取等号，C错误；如图，显然抛物线C在点A处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为，由消去x得：，则，解得，同理抛物线C在点B处的切线斜率，显然，于是，因此，当且仅当时取等号，D错误．
13．（答案不唯一）
双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为（，），由于双曲线的离心率为，所以，又，所以，所以可取，，此时双曲线的一个标准方程为．
14．
据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程：，：，整理得：，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离．
15．2
如图，作准线l于D点，交y轴于A点，所以，因为，所以，所以，解得．
16．
由题可设直线l的方程为：，，，线段MN的中点，联立化为，所以，，所以，则．所以，所以MN的垂直平分线为：，令，解得，所以．所以，所以，则，所以椭圆C的离心率为．
17．解：（1）依题意，直线AB的斜率，……2分
所以直线AB的方程为，即．……5分
（2）由（1）知，直线AB的斜率为2，所以AB边上的高所在直线的斜率为，……7分
所以AB边上的高所在直线的方程为，即．……10分
18．解：（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为，
又，即，
解得．……4分
所以圆的半径，
故圆C的标准方程是．……6分
（2）由题意斜率不存在时不满足，设切线方程为，即．……8分
直线与圆相切，则圆心到直线的距离，……10分
解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为．……12分
19．解：（1）由题意得：，，，……2分
解得，，，……4分
所以双曲线C的标准方程为．……5分
（2）联立方程组消去y整理得，……7分
则，，，，……9分
原点到直线AB的距离，……11分
所以．……12分
20．（1）解：由题可知，，解得，
所以抛物线的方程为．……3分
（2）证明：因为A，B位于对称轴异侧，所以l不与对称轴平行，设直线l的方程为，，，且，……5分
联立消去x可得，
则，且，，即，……8分
所以，
由，得，即，解得（舍）或，……11分
故直线l的方程为，所以直线l必过定点，得证．……12分
21．解：（1）因为△OFP的面积为，则有，解得，……1分
又因为在椭圆C上，则解得
所以椭圆C的标准方程为．……4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，，
又，所以，，
所以；……6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y得：，……8分
，
由韦达定理得，，……9分
所以，……10分
，
综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为．……12分
22．解：（1）设圆心，半径为r，
因为圆心为M的动圆过点，所以，……1分
因为圆心为M的动圆在y轴上截得的弦长为8，所以，……2分
所以，即，所以曲线E是抛物线，且方程为．……4分
（2）由题易知直线AB的斜率不为0，不妨设直线AB的方程为，、、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，……6分
所以，则线段AB的中点为，……7分
若，则轴，此时，直线AB的方程为，联立可得
则，此时，NC位于x轴上，则，
所以△ABC为直角三角形，不合乎题意，所以，……8分
则，可得，则，……9分
则，
而，……10分
由，可得，解得，……11分
所以，存在点满足条件．……12分
数学试题
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：选择性必修一第二、三章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上的点P到直线的距离等于6，则点P到焦点F的距离（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．定义：既是中心对称也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线不是“尚美曲线”的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆：，：的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右顶点分别为，，圆O是以为直径的圆，E为圆O上一点，直线交C的右支于点B，且E为的中点，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6
C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形
11．已知点，，动点P满足，则（ ）
A．点P的轨迹方程为椭圆 B．点P到原点O的距离的最小值为2
C．△PAB面积的最大值为12 D．的最小值为-18
12．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点M，则（ ）
A． B．若，则直线AB的斜率为
C．的最小值为8 D．的最小值为12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程________．
①焦点在x轴上；②离心率为．
14．若直线：与直线：平行，则与之间的距离为________．
15．已知抛物线C：的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若，则________．
16．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知△ABC的三个顶点为，，．求：
（1）AB所在直线的方程；
（2）AB边上的高所在直线的方程．
18．（12分）
已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点且与圆C相切的直线的斜率．
19．（12分）
已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求△OAB的面积．
20．（12分）
已知点是抛物线C：上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线l必过定点．
21．（12分）
已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．
22．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为M的动圆过点，且在y轴上截得的弦长为8，记M的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）过点的直线交E于A，B两点，点C为直线上的动点，则是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B
由方向向量知：．
2．D
抛物线的准线为，由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于其到准线的距离，即．
3．D
表示的是关于x轴对称的抛物线，不满足“尚美曲线”的定义．
4．A
由题知椭圆的离心率，由题知椭圆的离心率，又，解得．
5．C
因为两个圆：与：，所以圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为3，所以两圆圆心距为，因为，所以两圆外切，有3条公切线．
6．A
，则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，即．
7．B
因为，且MN，分别被点O平分，所以四边形为矩形，对角线长为2c，即，且，所以，即，而四边形的面积为，得．
8．C
因为线段的中点E在圆O：上，所以，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，过B作轴，垂足为F，则，所以，，所以，所以，得，所以，，所以离心率．
9．BD
依题意，，直线在x轴和y轴上的截距分别为和，因此，解得或．
10．ABD
由椭圆C：，可得，，则，故椭圆C的离心率为，A正确；当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确；的周长为，故C错误；当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．
11．BC
设动点，则由得：，即化简得：，A错误；所以点P轨迹是圆心为，半径为4的圆，则点P到原点O的距离最小值为，B正确；因为A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且，所以P点的纵坐标最大值为4，△PAB面积的最大值为，C正确；又，因为，所以，D错误．
12．AB
由题知焦点，准线l：，所以．因为A不可能是坐标原点，即，所以，A正确；对于B，显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，，由消去x得：，于是，，，解得，直线AB的斜率，B正确；由选项B知，，当且仅当，即时取等号，C错误；如图，显然抛物线C在点A处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为，由消去x得：，则，解得，同理抛物线C在点B处的切线斜率，显然，于是，因此，当且仅当时取等号，D错误．
13．（答案不唯一）
双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为（，），由于双曲线的离心率为，所以，又，所以，所以可取，，此时双曲线的一个标准方程为．
14．
据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程：，：，整理得：，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离．
15．2
如图，作准线l于D点，交y轴于A点，所以，因为，所以，所以，解得．
16．
由题可设直线l的方程为：，，，线段MN的中点，联立化为，所以，，所以，则．所以，所以MN的垂直平分线为：，令，解得，所以．所以，所以，则，所以椭圆C的离心率为．
17．解：（1）依题意，直线AB的斜率，……2分
所以直线AB的方程为，即．……5分
（2）由（1）知，直线AB的斜率为2，所以AB边上的高所在直线的斜率为，……7分
所以AB边上的高所在直线的方程为，即．……10分
18．解：（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为，
又，即，
解得．……4分
所以圆的半径，
故圆C的标准方程是．……6分
（2）由题意斜率不存在时不满足，设切线方程为，即．……8分
直线与圆相切，则圆心到直线的距离，……10分
解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为．……12分
19．解：（1）由题意得：，，，……2分
解得，，，……4分
所以双曲线C的标准方程为．……5分
（2）联立方程组消去y整理得，……7分
则，，，，……9分
原点到直线AB的距离，……11分
所以．……12分
20．（1）解：由题可知，，解得，
所以抛物线的方程为．……3分
（2）证明：因为A，B位于对称轴异侧，所以l不与对称轴平行，设直线l的方程为，，，且，……5分
联立消去x可得，
则，且，，即，……8分
所以，
由，得，即，解得（舍）或，……11分
故直线l的方程为，所以直线l必过定点，得证．……12分
21．解：（1）因为△OFP的面积为，则有，解得，……1分
又因为在椭圆C上，则解得
所以椭圆C的标准方程为．……4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，，
又，所以，，
所以；……6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y得：，……8分
，
由韦达定理得，，……9分
所以，……10分
，
综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为．……12分
22．解：（1）设圆心，半径为r，
因为圆心为M的动圆过点，所以，……1分
因为圆心为M的动圆在y轴上截得的弦长为8，所以，……2分
所以，即，所以曲线E是抛物线，且方程为．……4分
（2）由题易知直线AB的斜率不为0，不妨设直线AB的方程为，、、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，……6分
所以，则线段AB的中点为，……7分
若，则轴，此时，直线AB的方程为，联立可得
则，此时，NC位于x轴上，则，
所以△ABC为直角三角形，不合乎题意，所以，……8分
则，可得，则，……9分
则，
而，……10分
由，可得，解得，……11分
所以，存在点满足条件．……12分
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