指数函数
1 指数运算
(1) 次方根与分数指数幂
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
负数没有偶次方根；的任何次方根都是.
注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时，
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：
巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母)
Eg ，.
② 正数的正分数指数幂的意义：
③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
①
②
③
2 指数函数概念
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
3 图像与性质
函数名称 指数函数
定义 函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
【题型一】指数幂的化简与求值
【典题1】 求值.
【典题2】已知，则的值为______.
【典题3】化简________.
巩固练习
1(★) 化简 .
2(★★) 如果，，那么 ．
3(★★) 已知，则 ．
4(★★) ．
5(★★) 求值 ．
6(★★★) 已知实数满足，则的取值范围是 .
7(★★★) 已知，则不可能满足的关系是( )
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】函数的图象大致是( )
． ． ． ．
【典题2】设函数，，且，判断与的大小关系.
巩固练习
1(★) 二次函数与指数函数的交点个数有( )
个 个 个 个
2(★★) 若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是( )
3(★★) 如图所示，函数的图象是( )
． ． ． ．
4(★★) 已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；
③；④；⑤．其中可能成立的关系式有( )
．①②③ ．①②⑤ ．①③⑤ ．③④⑤
5(★★★) 若，则有( )
【题型三】指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设，则( )
【典题2】已知，．，则这三个数的大小关系为( )
角度2 求解指数型不等式和方程
【典题1】方程的解是 ．
【典题2】 解不等式：
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；
②函数是偶函数；③当时，，则，，从小到大的排列是 .
【典题2】若，则有( )
【典题3】 已知函数，，其中，且．当时，的最大值与最小值之和为．
(1)求的值；
(2)若，记函数，求当时，的最小值．
【典题4】 已知函数(其中是常数)．
(1)若当时，恒有成立，求实数的取值范围；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(3)若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围.
【典题5】 已知定义在上的奇函数．在时，．
试求的表达式；
若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
巩固练习
1(★) 设，则的大小关系为( )
2(★★) 已知实数，满足，则( )
3(★★) 设，下列命题中正确的是( )
．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4(★★) 方程的解是 .
5(★★) 若方程有正数解，则实数的取值范围是 .
6(★★★) 已知函数在上的值域为，且函数在上是减函数，则 ．
7(★★★) 设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
8(★★★)已知：
(1)证明是上的增函数；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？若存在，请求出的值，若不存在，说明理由．
9(★★★)设函数且．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值．
10 (★★★) 已知函数.
若，解方程；
若，求的单调区间；
若存在实数，使，求实数的取值范围.
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1 指数运算
(1) 次方根与分数指数幂
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
负数没有偶次方根；的任何次方根都是.
注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时，
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：
巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母)
Eg ，.
② 正数的正分数指数幂的意义：
③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
①
②
③
2 指数函数概念
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
3 图像与性质
函数名称 指数函数
定义 函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
【题型一】指数幂的化简与求值
【典题1】 求值.
【解析】原式
.
【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.
【典题2】已知，则的值为______.
【解析】由，两边平方得，则，
所以.
【点拨】注意，，之间平方的关系.
【典题3】化简________.
【解析】
.
【点拨】化简形如的式子，利用完全平方数处理.
巩固练习
1(★) 化简 .
【解析】原式．
2(★★) 如果，，那么 ．
【解析】由，得，
则．
故答案为．
3(★★) 已知，则 ．
【解析】由，可得，，
．
故选：．
4(★★) ．
【解析】
．
5(★★) 求值 ．
【解析】.
6(★★★) 已知实数满足，则的取值范围是 .
【解析】设，，
又，
，；
即，解得；
；
由已知，
，
时，的最大值为；时的最小值为；
所以的取值范围是．
故答案为：．
7(★★★) 已知，则不可能满足的关系是( )
，，
，，
，
，
，则有，
，，
，
，
，故错误
故选：．
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】函数的图象大致是( )
． ． ． ．
【解析】
方法1 函数，
(利用去掉绝对值把函数变成分段函数)
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；
符合条件的图象是．
故选：．
方法2 利用函数的图象变换
故选：．
【典题2】设函数，，且，判断与的大小关系.
【解析】 的图象可看成向下平移一个单位，再把轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，
由图可知，要使且成立，
则有且，
故必有且，
又，即为，
．
【点拨】涉及指数函数型的函数，往往需要得到其图象，方法有：
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
巩固练习
1(★) 二次函数与指数函数的交点个数有( )
个 个 个 个
【答案】
【解析】因为二次函数，
且时，，，
则在坐标系中画出与的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是个，
故选．
2(★★) 若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是( )
【答案】
时，，
；
由函数的图象和轴有交点，
，，
综上，实数的取值范围是．
故选：．
3(★★) 如图所示，函数的图象是( )
． ． ． ．
【答案】
【解析】=，时，时，．故选B．
4(★★) 已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；
③；④；⑤．其中可能成立的关系式有( )
．①②③ ．①②⑤ ．①③⑤ ．③④⑤
【答案】
【解析】令和，即，如图所示
由图象可知①②⑤正确，故选B．
5(★★★) 若，则有( )
【答案】
【解析】构造函数，易得函数单调递增，
由，可得
，
故选：．
【题型三】指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设，则( )
【解析】利用幂的运算性质可得，
，，，
再由是增函数，知．
故选：．
【典题2】已知，．，则这三个数的大小关系为( )
【解析】根据指数函数的性质可得：函数是减函数，
，，即．
又，，
，，
故选：．
【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有
① 把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与，比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
角度2 求解指数型不等式和方程
【典题1】方程的解是 ．
【解析】 ，即为
令
则有，解得(舍)
所以，
故答案为．
【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后是容易忽略的.
【典题2】 解不等式：
【解析】
令
原不等式变形得，
即，(注意因式分解)
(1)当，即时，则，即，
(2)当，即时，则，即，
(3)当，即时，无解．
综上，当时，；当时无解．
【点拨】
① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于还是小于再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意；
② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对，的大小比较是关键.
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；
②函数是偶函数；③当时，，则，，从小到大的排列是 .
【解析】由题意，故函数为周期为的函数；
；；；
(把自变量数值向靠拢)
当时，是增函数，
故，即．
【典题2】若，则有( )
【解析】解法一：取特殊值排除法
取，得，满足题意，排除；
取，得，满足题意，排除；
故选：．
法二：构造函数利用单调性
令，则是增函数，
，
，即．
故选：．
【点拨】
① 做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；
② 遇到类似这样的题目，不等式的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式变形成，就较容易联想到构造函数；
③ 判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.
【典题3】 已知函数，，其中，且．当时，的最大值与最小值之和为．
(1)求的值；
(2)若，记函数，求当时，的最小值．
【解析】(1)在上为单调函数，
的最大值与最小值之和为，
或．
(2)
则，
令，
时，，
，对称轴为 (二次函数动轴定区间最值问题)
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，．
【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴在区间 “左、中、右”进行分类讨论.
【典题4】 已知函数(其中是常数)．
(1)若当时，恒有成立，求实数的取值范围；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(3)若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围.
思路痕迹
(1) 恒成立问题可转化为求函数的最大值，见到，可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：
(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数的最小值.
(3) 该问转化为方程在上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.
【解析】(1)，
令，当时，， (利用换元法要注意新变量的求值范围)
问题转化为当时，恒成立，
于是只需在上的最大值，
即，解得．
实数的取值范围是；
(2)若存在，使，
则存在，使．
于是只需在上的最小值，解得；
实数的取值范围是，；
(3)若方程在上有唯一实数解，
则方程在上有唯一实数解，(一元二次方程根的分布问题)
因，
故在上不可能有两个相等的实数解，
令．
则，所以，解得．
实数的取值范围是．
【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.
【典题5】 已知定义在上的奇函数．在时，．
试求的表达式；
若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】是定义在上的奇函数，，
设，则，
则，
故
由题意，可化为
化简可得，
(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)
令， (分离常数法)
易得在上递减，
，
故．(可取到)
【点拨】
① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；
② 判断形如函数的单调性，可用分离常数法；比如，，等.
巩固练习
1(★) 设，则的大小关系为( )
【答案】
，，由幂函数的性质可得，
，，由指数函数的性质可得，
．
故选：．
2(★★) 已知实数，满足，则( )
【答案】
【解析】由，得，
由，得，得，
由()b，得，得．
由，得，，
，．
取a=，得，有，排除；
，排除A；
取得，，有，排除．
故选：．
3(★★) 设，下列命题中正确的是( )
．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
时，，
若，则，故正确，错误；
对于，若成立，则必有，故必有，即有，而不是排除，也不是，排除．
故选：A．
4(★★) 方程的解是 .
【答案】
即为
令 则有，解得(舍)
所以
故答案为．
5(★★) 若方程有正数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，则有：．
原方程有正数解，则，
即关于的方程在上有实根．
又因为．
所以当时有，
即，
即，
即，
即得：，
故选：．
6(★★★) 已知函数在上的值域为，且函数在上是减函数，则 ．
【答案】
【解析】当时，函数在上的值域为，
，，
函数g(x)在上是增函数，不满足题意；
当时，函数在上的值域为，
，，此时，
函数在上是减函数，满足题意；
综上知．
故答案为：．
7(★★★) 设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
即，
，，
则，
∈[]，则．
8(★★★)已知：
(1)证明是上的增函数；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？若存在，请求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】 略，提示：定义法 (2)
【解析】(1)证明：对任意都有的定义域是，
设，且，则
在上是增函数，且
且
是上的增函数．
(2)解：若存在实数使函数为上的奇函数，则
下面证明时是奇函数
为上的奇函数
存在实数，使函数为上的奇函数．
9(★★★)设函数且．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性．并求使不等式对一切恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值．
【答案】 奇函数
【解析】(1)的定义域为，关于原点对称，且)，
为奇函数．
(2) 且．
，，
又，且，
，
故在上单调递减，
不等式化为，
，即恒成立，
，
解得；
(3)，，即，
解得或舍去)，
，
令，由(1)可知为增函数，
，，
令，
若，当时，，；
若时，当时，，解得，无解；
综上，
10 (★★★) 已知函数.
若，解方程；
若，求的单调区间；
若存在实数，使，求实数的取值范围.
【答案】 单调增区间是，单调减区间是
【解析】⑴若, 由，即，解得
⑵若,则，设，且，
当时,有，，
,在上是增函数;
当时,有，，
,在上是减函数
的单调增区间是，单调减区间是
⑶设,由,得,且
存在,使得,即
令,若,则函数的对称轴是
由已知得:方程在上有实数解,
,或
由不等式得:
由不等式组得:
中小学教育资源及组卷应用平台
所以,实数的取值范围是 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
