3.3函数的应用（一）练习（含解析）-2023-2024学年上学期高一数学人教B版（2019）必修第一册

3.3 函数的应用（一） 练习
一、单选题
1．若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
3．已知超市内某商品的日销量（单位：件）与当日销售单价（单位：元）满足关系式，其中为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润最大为（ ）
A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．7小时
6．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．国内快递以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离（） …
邮资（元） 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要邮寄的包裹到距西安的某地，那么他应付的邮资是（　　）
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．无法确定
二、多选题
9．已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为减函数 D．为奇函数
10．已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
11．某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．设，则与的关系是
C．的面积与的关系是
D．当的面积最大时，矩形的面积为
三、填空题
13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 .
①为偶函数；②有最大值；③不是二次函数.
14．已知函数的定义域，对任意的，都有，若在上单调递减.且对任意的恒成立，则的取值范围是 .
15．已知函数，下列命题中：
①都不是R上的单调函数；
②，使得是R上偶函数；
③若的最小值是，则；
④，使得有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 ．
16．某商贸公司售卖某种水果，经过市场调研可知：未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量y（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为.在未来这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性，要求捐赠之后每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大，则m的取值范围是 .
四、解答题
17．近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足．
(1)当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
18．已知一种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，且每万台的销售收入(万元)与年产量(万台)的函数关系式满足：．
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万台)的函数解析式(年利润＝年销售收入－总成本)．
(2)每年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大．
19．紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额（单位：万元）.
(1)求总利润（单位：万元）关于产量（单位：千件）的函数关系式；（总利润总销售额成本）
(2)当产量为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值.
20．《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过1500元的部分 3%
超过1500元至4500元的部分 10%
超过4500元至9000元的部分 20%
(1)已知张先生和赵先生的月工资、薪金所得合计分别为6000元，7000元，请问他们当月应分别缴纳多少个人所得税？
(2)设王先生的月工资、薪金所得合计为x元，当月应缴纳个人所得税为y元，写出y与x的函数关系式；
(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，他当月的工资、薪金所得合计为多少？
21．2020年初，新型冠状病毒（2019-nCOV）肆虐，全民开启防疫防制．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高．预防性消毒是有效阻断新冠病毒的方法之一，针对目前严峻复杂的疫情，某小区每天都会对小区的公共区域进行预防性消毒作业．据测算，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x单位：天）变化的函数关系式，近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到消毒作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值．
22．已知函数是奇函数，且过点．
(1)求实数m和a的值；
(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.
【详解】根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素.
当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，
当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；
当时，函数，的取值为，为，根据题意得,解得或，满足恰有两个元素，故满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
2．A
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
3．C
【分析】根据条件，求出，进而得到商品的日利润为，再利用二次函数的性质即可求出结果.
【详解】根据条件，将，代入，得，
所以，超市内该商品的日利润为：
，其中，
所以，当时，超市该商品的日利润取得最大值，且最大值为1000元，
故选：C
4．D
【分析】根据函数的奇偶性可排除BC,根据单调性可判断A，即可求解.
【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；
当时，，易知在上是增函数，排除A．
故选：D
5．C
【分析】先由题意得到，再由第16天检测过程平均耗时为16小时，求出的值，由第64天检测过程平均耗时为8小时求出的值，从而可求出第49天检测过程平均耗时
【详解】因为第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，
所以，
因为第16天检测过程平均耗时为16小时，所以，得，
因为第64天检测过程平均耗时为8小时，所以，解得，
所以，
所以当时，，
故选：C
6．C
【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围.
【详解】由题意可知函数关系式是，
由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.
故；
故选:C.
7．B
【分析】利用函数的性质推得其解析式,作出其大致图象,数形结合,求解不等式,即可确定的取值范围.
【详解】当时,,
因为,且时,,
所以;
当时,,
所以;
因为,
当时,,
所以;
所以,得,
由此做出函数图像得:

当时,,解得或,
结合图像得的解为:或,
因为,都有,
所以.
故选:B.
8．C
【分析】直接由邮资标准版找到对应的邮资即可.
【详解】通过邮资标准表可知以下的公理到公理以内的邮资是元，
故选：C
9．AD
【分析】利用取特殊值方法求解选项A,B,利用抽象函数的关系式结合函数的单调性和奇偶性求解选项C,D.
【详解】对A，令可得，，解得，A正确；
对B，令可得，，
再令可得，，解得，B错误；
对C，因为，，所以,C错误；
对D，令，则，
所以，即，
所以函数为奇函数，D正确；
故选:AD.
10．ABD
【分析】根据赋值法，即可结合选项逐一求解.
【详解】令，则，故A正确，
令可得，
由于故，
令可得，
令可得，故，B正确，
由于，且，，所以，所以为偶函数，C错误，
令可得，故，由于不恒为0，所以，
又，故，
由于，
所以，故D正确，
故选：ABD
11．BC
【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围．
【详解】依题意，则，
由知：，且，
由知：在上恒成立，
因为在上递增，所以，即，
综上，，.
故选： BC
12．BCD
【分析】A.根据矩形的周长为，由求解判断；B. 易得，从而，再由化简求解判断；C.由 化简求解判断；D.由C选项的结论，再利用对勾函数的性质求解判断.
【详解】解：如图所示：

因为矩形的周长为，
所以，解得，故A错误；
由题意得， ，
所以，则，
又 ，则 ，
化简得，故B正确；
，故C正确；
令，由对勾函数的性质得，当时，取得最小值，此时取得最大值，，故D正确；
故选：BCD
13．（答案不唯一）
【分析】根据函数的奇偶性和最大值写满足条件的函数即可.
【详解】因为为偶函数，则，
所以的图象关于直线对称，
又有最大值，所以可取.
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【分析】先判断的单调性并求出最小值，再用赋值法判断的奇偶性，最后由单调性解不等式即可.
【详解】令，易知在上单调递增，
所以，所以.
在中，
令，得，令，得，
令，，得，
又的定义域，所以是偶函数，
因为在上单调递减，且，
所以由，得，
得，解得或，
故答案为：
【点睛】关键点睛：恒成立问题解决的关键是转化为最值问题，应用函数的奇偶性和单调性来解决.
15．①②④
【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.
【详解】对于①，当时，，其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
当时，，其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
即，且，，
即在处的函数值相等，
由于的对称轴在的对称轴的左侧，
则存在区间，使在上递增，
存在区间，使在上递减，
故都不是R上的单调函数，①正确；
对于②，当时，，定义域为R，
此时，即为偶函数，②正确；
对于③，由①的分析可知的最小值在或时取到，
，，，
当时，函数最小值在处取到，由，
解得或（舍去）；
当时，函数最小值在处取到，由，
解得或（舍去）；
当时，由于，恒成立，
不合题意，舍去；
故的最小值是，则或，③错误；
对于④，当时，，
当，即时，当时，令，解得；
当时，令，解得；
即此时有三个零点，④正确，
故答案为：①②④
【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.
16．
【分析】先求出捐赠后的利润函数解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可求解.
【详解】记捐赠后的利润为，由题意，，
化简得，，
记，则其开口向下，且对称轴为，
由该公司每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大，
所以，解得且.
所以m的取值范围是
故答案为：.
17．(1)（万元）
(2)当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大
【分析】（1）把已知数据代入收益的算式中，计算即可；
（2）设在甲城市投资万元，表示出总收益，通过换元，利用二次函数的性质求最大值成立的条件.
【详解】（1）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，
所以总收益为（万元）．
（2）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元，
总收益为，
依题意得解得．
故．
令，则，
所以，
因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，
所以当，即时，取得最大值65，
所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－总成本，分别求出当和时的年利润即可；
（2）由（1）中分段函数，分别求出最大利润即可求解．
【详解】（1）由题意得，
当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，
因为，
所以当时，取最大值；
当时，，
(ⅰ)当时，在上单调递增，且，
所以当时，，
(ⅱ)当时，，
所以，当且仅当，即时取等号，
综上，(ⅰ)当时，当年产量为m万台时，该公司获得最大利润万元；
(ⅱ)当时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润万元．
19．(1)
(2)当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元
【分析】（1）根据题意，由总利润总销售额成本即可得到函数关系式；
（2）根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
当时，，
（2）当时，（万元）.
当时，（万元），当且仅当时等号成立，
又为整数，所以此时（万元）.
综上，当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元.
20．(1)张先生和赵先生应分别缴纳30元、95元；
(2)；
(3)9080元.
【分析】（1）根据题设写出公民月纳税额与月工资、薪金所得的函数关系，再将6000元，7000元代入求值即可；
（2）由（1）所得函数关系，即得解析式；
（3）由，即李先生当月的工资、薪金所得，结合解析式列方程求当月的工资、薪金所得合计.
【详解】（1）设公民月工资、薪金所得为元，
则纳税额，
所以，
张先生和赵先生的月工资、薪金所得合计分别为6000元，7000元，
所以张先生纳税额为元，
赵先生纳税额为元.
（2）由（1）知：
（3）由，易知李先生当月的工资、薪金所得，
令，可得元.
所以李先生当月的工资、薪金所得合计为9080元.
21．(1)8
(2)
【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的消毒剂，浓度，分类讨论解出即可；
（2）设从第一次喷洒起，经天，可得浓度，再求出的最小值并令即可求解.
【详解】（1）依题意，
因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以浓度，
当时，由，解得，所以此时；
当时，由，解得，所以此时；
综上得，所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经天，
可得浓度，
令，则有，
又因为，所以，
所以当即时，，
令，解得，所以；
当即时，，
令，解得，所以；
综上可得：.
所以a的最小值为：.
【点睛】思路点睛：本题考查了分段函数的意义与性质，动轴定区间二次函数的最值问题，需要较强的分析问题和解决实际问题的能力.
22．(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得，从而可得解；
（2）由（1）可得，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论时和若时函数的单调性，从而可解决函数在上恒成立问题.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，
∴，∴，检验符合.
∴．
又因为过点，
∴ ，
∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立．
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令，将复杂函数转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.