14.2 乘法公式课后同步练习（含解析）

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人教版2023年八年级上册14.2 乘法公式 课后同步练习
一、选择题
1．下列不能用平方差公式直接计算的是（　　）
A． B．
C． D．
2．计算 ．
A． B． C． D．
3．已知是完全平方式，则实数m的值为（ ）
A．3 B．3或 C．8 D．8或
4．计算：下列步骤出现错误的是（ ）
① ②
③ ④
A．① B．② C．③ D．④
5．若，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知，则（ ）
A．1 B． C．5 D．2
7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）

A． B．
C． D．
8．用乘法公式计算的结果（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
11．长方形面积是平方米，其长为米，宽为 米．（用含有x整式表示）
12．已知，，则 .
13．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要B类卡片 张．

14．计算： ．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中，．
16．试说明式子的值与a的取值无关．
17．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
18．已知．
(1)___________；
(2)求的值；
(3)求结果的个位数字．
19．从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______．
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
20．图 1 是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个正方形．

(1)请用两种不同的方法求图 2 中阴影部分的面积：方法一：______；方法二： ．
(2)根据（1）中所填的答案写出一个关于 m 和 n 的结论： ．
(3)若图 2 中大正方形边长为 5，小长方形面积为 4，请根据（2）中的结论求小正方形的边长及小长方形的长与宽．
参考答案
1．A
【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选符合题意；
B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意；
C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意；
D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键．
2．C
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查的是求解完全平方式中的字母系数，由积的2倍项的特点可得或，再解方程即可．
【详解】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式，
∴或
∴或．
故选：D．
4．D
【分析】通过对算式适当变形，符合平方差公式的特点，即可解答题目．
【详解】
①②③步骤正确，不符合题意；④步骤错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
5．D
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故选D
【点睛】本题考查平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
6．A
【分析】利用完全平方公式进行变形，然后根据偶次方的非负性求出a，b，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
7．C
【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
【详解】解：有图形可得，
第一个图形得到：，
第二个图形得到：，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】先乘以，再依次根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：，难度适中．
9．
【分析】本题考查利用平方差公式进行计算．平方差公式为，解题的关键是把看作公式里的“a”，把看作公式里的“b”，再运用平方差公式进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
10．、和
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出A，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】解：①∵，
∴，
②若是多项式的平方，
则；
故答案为：、和．
11．/
【分析】利用面积除以长即可得到长方形的宽，据此作答即可．
【详解】根据题意有：（米），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的除法以及平方差公式，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
12．
【分析】把两边平方，利用完全平方公式化简，将代入求出的值，利用完全平方公式及平方根定义求出的值即可．
【详解】解：把两边平方得：
，
∴，
把代入得，，
即 ，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．4
【分析】利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量．
【详解】解：∵，
∴拼成一个边长为的正方形需要A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积是解题的关键．
14．5050
【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法．
【详解】解：
，
故答案为：5050．
【点睛】此题考查了平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键．
15．，18
【分析】本题考查整式的乘法运算，首先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项完成化简，再将点的值代入求解即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
16．见详解
【分析】根据平方差公式以及整式的混合运算法则进行计算即可作答．
【详解】
，
即式子的值与a的取值无关．
【点睛】本题主要考查了平方差公式以及整式的混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
17．(1)28
(2)20
【分析】（1）本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，把，代入，再计算即可；
（2）本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，把，代入，再计算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
18．(1)15
(2)
(3)0
【分析】（1）根据平方差公式求出即可；
（2）添加上，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
（3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案．
【详解】（1）解：；
故答案为：15；
（2）解：
；
（3）解：
；
可知的个位数呈3、9、7、循环，
，
的个位数是1，
的个位数是0．
即结果的个位数字是0．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．
19．(1)a2-b2=（a+b）（a-b）
(2)
(3)
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）把x2-4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+3y=4代入即可求解；
（3）利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的面积是（a+b）（a-b），
则a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案是a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）解：∵x2-9y2=（x+3y）（x-3y），
∴12=4（x-3y）
得：x-3y=3；
（3）解：
．
【点睛】本题考查平方差公式的意义和应用，理解和掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
20．(1)；
(2)
(3)小正方形的边长为3，小长方形的长是4，宽是1
【分析】（1）方法一：通过求大正方形的面积，再减去四个长方形的面积，即可得阴影部分的面积；方法二：阴影部分的图形为正方形，可求出它的边，再求出它的面积；
（2）根据两种不同的方法求图 2 中阴影部分的面积可知，利用乘法公式展开计算即可验证等式成立；
（3）由题意可知，，变形后可求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：方法一：大正方形的边长为，因此大正方形的面积为，减去4个长为，宽为的长方形的面积即可，即：；
方法二：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：；
故答案为：；；
（2）由（1）可知，
理由：，
，
∴；
故答案为：；
（3）由题意可知，，
∵，
则，
∴，
∴小正方形的边长为3，
∵，
∴，．
即小小正方形的边长为3，长方形的长是4，宽是1．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．