辽宁省朝阳地区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

朝阳地区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学考试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则
A． B． C． D．
2．若，则
A． B． C． D．
3．已知双曲线C：一条渐近线的斜率为，则C的离心率为
A．3 B．6 C．9 D．12
4．已知为第一象限角，且，则为
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．若，，则“”是“”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．若某圆台上底面和下底面的半径分别为1，3，且圆台的体积为，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为
A． B． C． D．
7．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）的关系为（，k是正常数）．若经过10h过滤后消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要（参考数据：）
A．30h B．31h C．32h D．33h
8．已知抛物线C：的焦点为B，C的准线与y轴交于点A，P是C上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一组数据，，，，，，其中，，2，3，4，，，，平均数为，方差为m．若去除，两个数据后，剩余数据的方差为n，则
A． B． C． D．
10．已知函数，则
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．的图像关于中心对称 D．在区间上单调递增
11．若数列满足：对任意正整数n，为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”．若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”．给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是
A． B． C． D．
12．如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为a．现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是
A．过棱AC的截面中，截面面积的最小值为
B．若过棱AC的截面与棱BD（不含端点）交于点P，则的最小值为
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中，项的系数为 ．
14．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 ．
15．已知直线l：关于的对称直线与圆存在公共点，则a的取值范围为 ．
16．在△ABC中，，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积的最大值．
18．（12分）
已知正项数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为，求．
19．（12分）
如图，在正三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，，．
（1）求；
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球．
（1）求前4个回合甲发球两次的概率；
（2）求第4个回合甲发球的概率；
（3）设前4个回合中，甲发球的次数为X，求X的分布列及期望．
21．（12分）
在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l：与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值．
22．（12分）
已知函数．
（1）试讨论的单调区间；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
高三数学考试卷参考答案
1．A
因为，所以．
2．B
，则．
3．A
由题可知，即，则C的离心率．
4．D
因为，所以，则，．因为为第一象限角，所以为第四象限角．
5．C
当，时，满足，但不满足．若，，则．因为，所以，即，当且仅当时，等号成立．故“”是“”的必要不充分条件．
6．D
设圆台的高为h，则，得．故该圆台的母线与底面所成角的正切值为．
7．B
因为经过10h过滤后消除了20%的污染物，所以，解得．当时，，解得．
8．B
作PN⊥准线（图略），则，．
当取最大值时，取得最小值，当且仅当PA与抛物线相切于点P时，等号成立．当PA与抛物线相切时，设直线PA的方程为，代入，可得．由，解得．不妨设点P在第一象限，则，，，，所以的最大值为．
9．AC
因为，，，所以，A正确，B不正确．因为，，2，3，4，所以去除，后剩余数据的波动性更小，方差更小，所以，C正确，D不正确．
10．ACD
的最小正周期为，对称轴，，对称中心，，单调递增区间为，．
11．BC
对于A，数列是等比数列，不满足题意．
对于B，，为等差数列．数列不是等比数列，在中存在不相同的三项可以构成等比数列，满足题意．
对于C，，为等差数列．数列不是等比数列，在中存在不相同的三项可以构成等比数列，满足题意．
对于D，，不是等差数列，不满足题意．
12．ABD
设截面与棱BD的交点为P，如图1，过棱AC的截面为△ACP，当P为棱BD的中点时，△ACP的面积取得最小值，最小值为，A正确．
图1
设，，．在△ACP中，，，B正确．
如图2，当截面EFNM为平行四边形时，，．由，知，从而平行四边形EFNM为长方形．设，则，所以长方形EFNM的面积，当且仅当时，等号成立，C错误．
图2
与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类．第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个．第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有3个．故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D正确．
13．91
．令，解得，则项的系数为．
14．
因为是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得．
15．
直线l关于的对称直线为，
所以，解得．
16．
因为，，所以△ABC外接圆的半径，故C为△ABC外接圆上一动点．如图，当C位于时，在上的投影向量与方向相反，模长最大．当C位于时，在上的投影向量与方向相同，模长最大．故的取值范围为．
17．解：
（1）因为，
所以．
又，所以，即．
因为，所以．
（2）由余弦定理知，，当且仅当时，等号成立，
故．
则△ABC的面积，
故△ABC的面积的最大值为．
18．解：
（1）因为，
当时，，
两式相减得，因为，可得，，
令，可得，满足．
所以的通项公式为．
（2），
所以．
19．解：
（1）连接CD．
因为，所以，．
设，
则，，．
因为，所以，即，解得．
故．
（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
设直线AC与平面所成的角为，
则．
故直线AC与平面所成角的正弦值为．
20．解：
（1）前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为：．
第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为：．
第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，具概率为：．
故前4个回合甲发球两次的概率为．
（2）第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为．
第3回合甲发球的概率为，乙发球的概率为．
第4个回合甲发球的概率为
（3）X可以取1，2，3，4．
当时，；
当时，；
由（1）得，当时，；
当时，．
X的分布列为
X 1 2 3 4
P
．
21．解：
（1）设，因为点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，
所以，则，
整理得，故曲线C的方程为．
（2）设，，联立方程组，
整理得，
则，．
因为l过点，所以．
令，，，则在上恒成立，则，则．
故△MAB面积的最大值为3．
22．解：
（1）的定义域为．
．
当时，在上恒成立，即，在上单调递．
当时，令，，
解得，．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可得，当时，在上单调递减，最多只有1个零点．
当时，的最小值为．若有两个零点，则．
因为，所以．
．
令函数，，
所以在上单调递减．
又因为，所以当时，，则当，即时，．
令函数，．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
．
令函数，，．
根据二次函数的图像及性质可得，，，，，
即，，，，
所以当，即时，有2个零点．
综上，若有两个零点，则a的取值范围为．