1.2 集合间的基本关系
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象)
2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学抽象、逻辑推理)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象)
一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合记为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1 子集、真子集、集合的相等
(1)Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(2)两个集合之间的关系
关系 定义 符号表示 图形表示
子 集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A B(或B A)
真 子 集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 A?B(或B?A)
集 合 相 等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
(3)子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即A A．
②对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C．
1．集合A＝{x|x≤1}与集合B＝{0，1}之间有包含关系吗？
[提示] 有．因为B中的元素0，1都满足小于或等于1，故满足包含关系，即B A．
2．符号“∈”与“ ”的区别是什么？
[提示] 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“ ”用于表示集合与集合之间的关系．
知识点2 空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ．
(2)规定：空集是任何集合的子集．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．(1)0＝ 吗？
(2)0∈ 吗？
(3) 与{0}是什么关系？
[提示] (1)0≠ ，0是数， 是集合．
(2)0 ， 不含任何元素．
(3) ?{0}．
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C．
(1)＝ (2)? (3)? (4)∈ [集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C．]
类型1 子集、真子集的个数问题
【例1】 填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解]
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2．
子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有2n－1个；
(3)A的真子集有2n－1个；
(4)A的非空真子集有2n－2个．
[跟进训练]
1．已知集合M满足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
[解] 由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
类型2 集合间关系的判断
【例2】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；
(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N *}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B．
(3)正方形是特殊的矩形，故A B．
(4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N M．
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
[跟进训练]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
A B C D
B [解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．]
类型3 由集合间的关系求参数
【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1xm}(m>1)，且B A，则实数m的取值范围是________．
{m|1m≤4} [由于B A，结合数轴(如图)分析可知，m≤4．又m>1，所以1m≤4．
]
[母题探究]
(1)本例若将集合“B＝{x|1xm}(m>1)”改为“B＝{x|1xm}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
(2)本例若将集合“B＝{x|1xm}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1xm＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
(1)m≤4 (2)m≥－1 [(1)若m≤1，则B＝ ，满足B A．
若m>1，则由例题解析可知1m≤4．
综上可知m≤4．
(2)因为B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2．
②当B≠ 时，有
解得－1≤m2，
综上得m≥－1．]
利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的取值集合M．
[解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为B?A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ ．
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝．
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－．
当B＝ 时，m＝0．
综上所述，m的取值集合M＝．
1．集合{1，2}的子集有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A [集合{1，2}的子集有 ，{1}，{2}，{1，2}，共4个．]
2．已知集合A＝{x|1≤x6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．B?A D．B A
A [∵A＝{x|1≤x6}，B＝{x|x≥1}，∴A?B．故选A．]
3．(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈M B．{1}∈M C． M D．{0，1} M
ACD [∵M＝{0，1}，∴0∈M， M，{0，1} M，故ACD均正确．]
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，则a的取值范围为________；
(2)若B A，则a的取值范围为________．
(1){a|a>2} (2){a|1≤a≤2} [(1)若A?B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2．
(2)若B A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2．
因为a≥1，所以1≤a≤2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？
[提示] 两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
[提示] (1) A，(2) ?A(A≠ )．
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
[提示] 包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．1.2 集合间的基本关系
1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象)
2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(数学抽象、逻辑推理)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(数学抽象)
一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合记为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1 子集、真子集、集合的相等
(1)Venn图
用平面上封闭曲线的________代表集合，这种图称为Venn图．
(2)两个集合之间的关系
关系 定义 符号表示 图形表示
子 集 如果集合A中________元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A____B(或B____A)
真 子 集 如果集合A B，但存在元素______，且______，就称集合A是集合B的真子集 A____B(或B____A)
集 合 相 等 如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A_____B
(3)子集的性质
①任何一个集合是它本身的__________，即A A．
②对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么________．
1．集合A＝{x|x≤1}与集合B＝{0，1}之间有包含关系吗？
2．符号“∈”与“ ”的区别是什么？
知识点2 空集
(1)定义：不含________元素的集合叫做空集，记为________．
(2)规定：________是任何集合的子集．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．(1)0＝ 吗？
(2)0∈ 吗？
(3) 与{0}是什么关系？
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C．
类型1 子集、真子集的个数问题
【例1】 填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[尝试解答]
子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集有________个；
(2)A的非空子集有________个；
(3)A的真子集有________个；
(4)A的非空真子集有________个．
[跟进训练]
1．已知集合M满足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
类型2 集合间关系的判断
【例2】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[尝试解答]
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
[跟进训练]
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
A B C D
类型3 由集合间的关系求参数
【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B A，则实数m的取值范围是________．
[尝试解答]
[母题探究]
(1)本例若将集合“B＝{x|11)”改为“B＝{x|1(2)本例若将集合“B＝{x|11)”改为“B＝{x|2m－1 利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的取值集合M．
1．集合{1，2}的子集有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
2．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．B?A D．B A
3．(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈M B．{1}∈M
C． M D．{0，1} M
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，则a的取值范围为________；
(2)若B A，则a的取值范围为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
