1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象)
2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象)
3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理)
学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000 名学生参加的开幕式团体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(一)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线．
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上被称为什么？含有这些短语的命题被称作什么命题？
知识点1 全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
知识点2 存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)．
1．下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
[答案] ①③
2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“ ”可表示为________．
x∈R，x2≥0 [命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“ ”符号可以表示为 x∈R，x2≥0．]
3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________．(填“全称量词”或“存在量词”)
[答案] 有些 存在量词
类型1 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[解] (1)全称量词命题，表示为 x∈{x|x>－1}，3x＋4>0．
(2)全称量词命题，表示为 a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为 x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为 x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟进训练]
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③ ④ [①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．]
类型2 全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】 (源自苏教版教材)判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2>x；
(2) x∈R，x2>x；
(3) x∈Q，x2－8＝0；
(4) x∈R，x2＋2>0．
[解] (1)因为当x＝2时，x2>x成立，所以，
“ x∈R，x2>x”是真命题．
(2)因为当x＝0时，x2>x不成立，所以，
“ x∈R，x2>x”是假命题．
(3)因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数，所以，
“ x∈Q，x2－8＝0”是假命题．
(4)因为对任意实数x，都有x2≥0，所以，
对任意实数x，都有x2＋2≥2>0，即
对任意实数x，都有x2＋2>0成立，因此，
“ x∈R，x2＋2>0”是真命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟进训练]
2．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．一切实数均有相反数
B． a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根
C．梯形的对角线相等
D．有些三角形不是等腰三角形
ABD [A为真命题；对于B，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于C，等腰梯形的对角线相等，故C错误；D为真命题．故选ABD．]
类型3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】 命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
思路导引：命题p为真命题方程ax2＋2x－1＝0有解．
[解] 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，由题意可得若ax2＋2x－1＝0有实根，则Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0．
综上可得a≥－1．
即实数a的取值范围是．
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟进训练]
3．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)“ x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围．
[解] (1) x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，
所以实数a的取值范围是a＞－1．
(2)“ x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，
所以实数a的取值范围是a＞－2．
1．(多选)下列是全称量词的是( )
A．任意一个 B．所有的
C．每一个 D．很多
ABC [很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC．]
2．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D [D选项是存在量词命题．]
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C [B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象开口向下，也应排除，故应选C．]
4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
x0，使(1＋x)(1－9x)>0 [“有些”是存在量词，所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”可表述为“ x0，使(1＋x)(1－9x)>0”．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示] 全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“ ”表示．
2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示] 存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“ ”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示] 全称量词命题用符号简记为“ x∈M，p(x)”；存在量词命题用符号简记为“ x∈M，p(x)”．1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(数学抽象)
2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(数学抽象)
3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题， 并会判断它们的真假．(逻辑推理)
学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(一)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线．
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上被称为什么？含有这些短语的命题被称作什么命题？
知识点1 全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示．
(2)含有________的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为________．
有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
知识点2 存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示．
(2)含有________的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为____________．
1．下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“ ”可表示为________．
3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________．(填“全称量词”或“存在量词”)
类型1 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[尝试解答]
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟进训练]
1．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是________．(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
类型2 全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】 (源自苏教版教材)判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2>x；(2) x∈R，x2>x；(3) x∈Q，x2－8＝0；(4) x∈R，x2＋2>0．
[尝试解答]
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟进训练]
2．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．一切实数均有相反数
B． a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根
C．梯形的对角线相等
D．有些三角形不是等腰三角形
类型3 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】 命题p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
思路导引：命题p为真命题方程ax2＋2x－1＝0有解．
[尝试解答]
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟进训练]
3．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)“ x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围．
1．(多选)下列是全称量词的是( )
A．任意一个 B．所有的
C．每一个 D．很多
2．下列命题中是存在量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？
2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象)
2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理)
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
知识点 含有一个量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M, p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M, p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意八个字“改变量词，否定结论”．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全称量词命题的否定形式是唯一的． ( )
(2)命题 p的否定是p． ( )
(3) x∈M，p(x)与 x∈M, p(x)的真假性相反． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则 p为________．
[答案] x>0，使得x＋1≤1
类型1 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列命题的否定．
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0．
[解] (1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．
(3) x∈R，x2－2x＋10．
对全称量词命题否定的两个步骤
[跟进训练]
1．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
[解] (1)命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)命题的否定：存在一个圆不是轴对称图形．
(3)命题的否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
类型2 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0．
[解] (1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定： a，b∈R，a2＋b2>0．
∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，
∴命题的否定是假命题．
对存在量词命题否定的两个步骤
[跟进训练]
2．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p： x∈R，x2≥－1；
(2)q： x∈{1，2，3，4，5}，x；
(3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形．
[解] (1) p： x∈R，x2－1，由p是真命题可知 p是假命题．
(2) q： x∈{1，2，3，4，5}，≥x．将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此 q是真命题．
(3) s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以 s 是假命题．
类型3 全称量词命题与存在量词命题的综合应用
【例3】 对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
思路导引：函数值恒大于实数m二次函数y＝x2＋4x－1的最小值恒大于实数m．
[解] 由题意可知，对 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．
因为y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5≥－5，
所以只要m－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m－5}．
[母题探究]
把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
[解] 令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为 x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m的取值范围是{m|m3}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．
(2)对于存在量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．
[跟进训练]
3．若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤4} [∵命题 x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，
∴ x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4．]
1．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是( )
A． x R，x2≠x B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x D． x∈R，x2＝x
D [此全称量词命题的否定为 x∈R，x2＝x．故选D．]
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
C [“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C．]
3．若命题“ x＜2 022，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≥2 022} [由于命题“ x＜2 022，x＞a”是假命题，因此其否定“ x＜2 022，x≤a”是真命题，所以a≥2 022．]
4．命题p： x∈R，x2－2x－3≥0的否定 p是____________， p是一个______命题(填“真”或“假”)．
x∈R，x2－2x－30 真 [命题p是一个全称量词命题，其否定形式为“ x∈R，x2－2x－30”．因为x2－2x－30有解，故为真命题．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？
[提示] 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？
[提示] 不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题： x∈M，p(x)的否定为存在量词命题： x∈M, p(x)．
3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？
[提示] 假命题．1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象)
2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(逻辑推理)
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
知识点 含有一个量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) ______________ 全称量词命题的否定是________量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) ______________ 存在量词命题的否定是________量词命题
对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意八个字“改变量词，否定结论”．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全称量词命题的否定形式是唯一的． ( )
(2)命题 p的否定是p． ( )
(3) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反． ( )
2．已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则 p为________．
类型1 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列命题的否定．
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0．
[尝试解答]
对全称量词命题否定的两个步骤
[跟进训练]
1．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
类型2 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0．
[尝试解答]
对存在量词命题否定的两个步骤
[跟进训练]
2．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p： x∈R，x2≥－1；
(2)q： x∈{1，2，3，4，5}，(3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形．
类型3 全称量词命题与存在量词命题的综合应用
【例3】 对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
思路导引：函数值恒大于实数m二次函数y＝x2＋4x－1的最小值恒大于实数m．
[尝试解答]
[母题探究]
把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．
(2)对于存在量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．
[跟进训练]
3．若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
1．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是( )
A． x R，x2≠x B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x D． x∈R，x2＝x
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
3．若命题“ x＜2 022，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
4．命题p： x∈R，x2－2x－3≥0的否定 p是______________， p是一个______命题(填“真”或“假”)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？
2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？
3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？
