2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(逻辑推理)
填写下表：
a b 与的大小关系
1
4 16
2 2
… …
问题：(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点 基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
(2)变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式等号成立的条件一样吗？
[提示] 不一样，前者为a＝b，后者为a＝b>0．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． ( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2． ( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
类型1 对基本不等式的理解
【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的是( )
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
AC [∵a，b为正实数，
∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；
∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误；
由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．故选AC．]
对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正实数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋≥2＝2．
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4．
③若a，b∈R，则＋≥2＝2．
② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2 利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)B (2)p>q [(1)法一：显然＞，又－＝＜0，所以＞，所以＞＞．故M＞P＞Q．
法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．若0
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
D [法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．]
类型3 利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．
思路导引：先把“＋＋”中的“1”替换成a＋b＋c，然后利用基本不等式证明＋＋>9．
[证明] ∵a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c时取等号，而a、b、c互不相等，∴＋＋>9．
[母题探究]
本例条件不变，求证：>8．
[证明] ∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＞8．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材)已知a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥＋＋．
[证明] 因为a>0，b>0，c>0，所以由基本不等式，得a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，
b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立，
a＋c≥2，当且仅当a＝c时，等号成立．
上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2＋2＋2，即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A．a＝4 B．a＝
C．a＝－ D．a＝±
D [此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D．]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C．< D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，∴由基本不等式知<一定成立．故选C．]
3．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [a2＋b2≥2ab中，ab可能小于0，则＋≥2不成立；若＋≥2，则a，b同号，a2＋b2≥2ab成立．故选B．]
4．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出？
[提示] 对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2，即．
2．基本不等式的常见变形有哪些？
[提示] ①a＋b≥2；②ab≤．2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(逻辑推理)
填写下表
a b 与的大小关系
1
4 16
2 2
… …
问题：(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点 基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么________，当且仅当__________时，等号成立．其中，________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数．
(2)变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式≤等号成立的条件一样吗？
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． ( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2． ( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤． ( )
类型1 对基本不等式的理解
【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的是( )
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
[尝试解答]
对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正实数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋≥2＝2．
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4．
③若a，b∈R，则＋≥2＝2．
类型2 利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
[尝试解答]
运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
类型3 利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．
思路导引：先把“＋＋”中的“1”替换成a＋b＋c，然后利用基本不等式证明＋＋>9．
[尝试解答]
[母题探究]
本例条件不变，求证：>8．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材)已知a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥＋＋．
1．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是( )
A．a＝4 B．a＝
C．a＝－ D．a＝±
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C．< D．ab>a＋b
3．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出≤？
2．基本不等式≤的常见变形有哪些？第2课时 基本不等式的应用
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(数学运算)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(数学建模)
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的质量a和b，然后就把两次称得的质量的算术平均数作为项链的质量来计算．顾客对这个质量的真实性提出了质疑，那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
在应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
两个正数的积为定值，一定可以用基本不等式求它们的和的最小值吗？
[提示] 不一定．如y＝x＋(x>1)，若用基本不等式求最小值，则需要满足条件：x＝，即x＝1，但此式不成立，所以不能用基本不等式求最小值．
1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________．
4 [∵x>0，
∴y＝x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时等号成立．]
2．已知0x1，则函数y＝x(1－x)的最大值为______．
[∵0x1，∴01－x1，
∴x(1－x)≤，
当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．]
类型1 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0x，求y＝x(1－3x)的最大值．
[解] (1)∵x，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1．
(2)法一：∵0x，∴1－3x>0．
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．
法二：∵0x，∴－x>0．
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[跟进训练]
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)(源于湘教版教材) 求函数y＝(0x1)的最大值．
[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9．
(2)因为0x1，所以x>0，1－x>0，
所以≤，
当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．
故函数y＝(0x1)的最大值为．
类型2 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．
[母题探究]
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解] ∵x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18．
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
提醒：常值代换法适用于变量x，y是正实数，整式ax＋by与分式＋一个值已知求另外一个的最(大)小值问题．
[跟进训练]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解] ∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1．
∴＋·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2．
类型3 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 (源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)
(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
思路导引：
[解] (1)设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18．
设S＝xy(0x9，0y6)．应用基本不等式，
有2x＋3y≥2，即2≤18．
所以S≤13.5．
当且仅当2x＝3y时，不等式中的等号成立，
此时解得
因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5 m2．
(2)由(1)及题设条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y．
∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间禽舍长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[跟进训练]
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．
[解] 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，
由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，
所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，
由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
因此，该容器的最低总造价为160元．
1．(2022·北京师大附中月考)已知正数x，y满足xy＝4，则x＋y( )
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值2 D．有最小值2
B [∵x>0，y>0，∴x＋y≥2＝4, 当且仅当x＝y＝2时取得等号，即x＋y有最小值4．故选B．]
2．(2022·河北沧州月考)已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
A [xy＝≤×9＝，当且仅当，即时等号成立．
故选A．]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A． B．4 C． D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1．又∵a＞0，b＞0，
∴＋＝＋≥＋2，
当且仅当即时，等号成立．
故y＝＋的最小值为．故选C．]
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5 8 [由题意可知，年平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8．
当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用基本不等式≤求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示] 一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示] a＋b≥2和ab≤，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示] 直接法、配凑法、常数代换法等．第2课时 基本不等式的应用
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(数学运算)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(数学建模)
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的质量a和b，然后就把两次称得的质量的算术平均数作为项链的质量来计算．顾客对这个质量的真实性提出了质疑，那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点 用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最________值________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最________值________．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
在应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
两个正数的积为定值，一定可以用基本不等式求它们的和的最小值吗？
1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________．
2．已知0类型1 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[尝试解答]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[跟进训练]
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)(源于湘教版教材) 求函数y＝(0
类型2 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．
[尝试解答]
[母题探究]
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
提醒：常值代换法适用于变量x，y是正实数，整式ax＋by与分式＋一个值已知求另外一个的最(大)小值问题．
[跟进训练]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
类型3 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 (源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)
(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
思路导引：
[尝试解答]
应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[跟进训练]
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．
1．(2022·北京师大附中月考)已知正数x，y满足xy＝4，则x＋y( )
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值2 D．有最小值2
2．(2022·河北沧州月考)已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A． B．4 C． D．5
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用基本不等式≤求最值时，必须满足哪三个条件？
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？