3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性．(直观想象、数学抽象)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(逻辑推理)
3．会求一些具体函数的单调区间．(数学运算)
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，那么不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f (x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？
知识点1 增函数与减函数的定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数f (x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1x2时，
都有f (x1)f (x2)
结论 f (x)在区间I上单调递增 f (x)在区间I上单调递减
增(减)函数定义中x1，x2的三个特征
(1)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替．
(2)有大小，通常规定x1x2．
(3)属于同一个单调区间I．
在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？
[提示] 不能．如对于函数y＝－x2，存在－42，且－22，但y＝－x2不是增函数．
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间．
对函数单调性的理解
(1)讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
(2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，函数的单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用并集符号“∪”连接．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性． ( )
(2)若函数y＝f (x)在定义域上有f (1)f (2)，则该函数是增函数． ( )
(3)若f (x)为R上的减函数，则f (0)>f (1)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是________．
[－3，1] [由图可知，函数y＝f (x)的单调递增区间为[－3，1]．]
3．函数y＝的单调递减区间是________．
(－∞，0)和(0，＋∞) [结合y＝的图象(图略)可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．]
类型1 求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．
(1)f (x)＝－；
(2)f (x)＝
(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．
[解] (1)函数f (x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．
(2)当x≥1时，f (x)是增函数，当x1时，f (x)是减函数，所以f (x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f (x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f (x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．
f (x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减．
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接，如本例(3)．
[跟进训练]
1．(1)如图所示，写出函数在每一单调区间上的单调性；
(2)写出f (x)＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解] (1)函数在[－1，0]，[2，4]上单调递减，在[0，2]，[4，5]上单调递增．
(2)先画出
f (x)＝的图象，如图．
所以f (x)＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞)．
类型2 定义法判定函数的单调性
【例2】 (源自湘教版教材)证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
[证明] x1，x2∈(0，1)，且x1x2，
有f (x1)－f (x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，
∵0x1x21，
∴x1－x20，0x1x21，则－1＋x1x20，
∴>0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2．
(2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号．
(4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般是几个因式乘积的形式．
[跟进训练]
2．试用函数单调性的定义证明：f (x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
[证明] f (x)＝＝2＋， x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，
有f (x1)－f (x2)＝－＝，
因为x2>x1>1，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f (x1) >f (x2)，所以f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
类型3 函数单调性的应用
已知函数的单调性求参数
【例3】 (多选)(2022·河南南阳中学月考)已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数k的可能的取值有( )
A．4 B．5 C．6 D．7
思路导引：
ABC [因为函数f (x)是R上的减函数，
所以，解得2≤k≤6．故ABC正确，D错误．故选ABC．]
利用单调性解不等式
【例4】 已知函数y＝f (x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a)f (2a－1)，求实数a的取值范围．
思路导引：
[解] 由题意知解得0a，
即所求a的取值范围是．
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
[跟进训练]
3．(1)(2022·福建省厦门第六中学月考)若函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，则f (m)与f (1)的大小关系是( )
A．f (m)f (1) B．f (m)>f (1)
C．f (m)≤f (1) D．f (m)≥f (1)
(2)已知函数f (x)＝若f (x) 在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2) [(1)∵函数f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，∴m－1>0，解得m>1，则f(m)>f(1)，故选B．
(2)当x≤1时，y＝－x2＋4ax图象的对称轴为x＝2a，因为函数f(x)＝在R上是增函数，则
1．函数f (x)在R上是减函数，则有( )
A．f (3)C．f (3)>f (5) D．f (3)≥f (5)
C [∵3<5，且f (x)为R上的减函数，
∴f (3)>f (5)．故选C．]
2．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
B [由题意可知－≥2，即a≤－．故选B．]
3．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A．>0
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
ABD [因为f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f (x1)－f (x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x14．若f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x) [∵f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x)∴即
解得0≤x<．所以不等式的解集为．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若x1，x2是区间I上任意实数，且(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，则f (x)在I上是否具有单调性？
[提示] f (x)在I上单调递增．
2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？
[提示] 定义法、图象法和基本初等函数法．
3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？
[提示] 一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．
4．在应用函数单调性解题时应注意什么？
[提示] 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f (x)在I上单调递增，则f (x1)第1课时 函数的单调性
1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性．(直观想象、数学抽象)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(逻辑推理)
3．会求一些具体函数的单调区间．(数学运算)
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，那么不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f (x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？
知识点1 增函数与减函数的定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数f (x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1都有____________ 都有____________
结论 f (x)在区间I上单调________ f (x)在区间I上单调________
增(减)函数定义中x1，x2的三个特征
(1)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替．
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间I．
在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上__________________________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的________．
对函数单调性的理解
(1)讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
(2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，函数的单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用并集符号“∪”连接．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性． ( )
(2)若函数y＝f (x)在定义域上有f (1)(3)若f (x)为R上的减函数，则f (0)>f (1)． ( )
2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是________．
3．函数y＝的单调递减区间是________．
类型1 求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．
(1)f (x)＝－；
(2)f (x)＝
(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．
[尝试解答]
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接，如本例(3)．
[跟进训练]
1．(1)如图所示，写出函数在每一单调区间上的单调性；
(2)写出f (x)＝|x2－2x－3|的单调区间．
类型2 定义法判定函数的单调性
【例2】 (源自湘教版教材)证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．
[尝试解答]
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的__________，且x1(2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过________、________、________、有理化等手段，转化为易判断________的式子．
(3)定号：确定____________的符号．
(4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般是几个因式乘积的形式．
[跟进训练]
2．试用函数单调性的定义证明：f (x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
类型3 函数单调性的应用
已知函数的单调性求参数
【例3】 (多选)(2022·河南南阳中学月考)已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数k的可能的取值有( )
A．4 B．5 C．6 D．7
思路导引：
[尝试解答]
利用单调性解不等式
【例4】 已知函数y＝f (x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a)思路导引：
[尝试解答]
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
[跟进训练]
3．(1)(2022·福建省厦门第六中学月考)若函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，则f (m)与f (1)的大小关系是( )
A．f (m)f (1)
C．f (m)≤f (1) D．f (m)≥f (1)
(2)已知函数f (x)＝
若f (x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．
1．函数f (x)在R上是减函数，则有( )
A．f (3)C．f (3)>f (5) D．f (3)≥f (5)
2．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
3．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A．>0
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
4．若f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若x1，x2是区间I上任意实数，且(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，则f (x)在I上是否具有单调性？
2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？
3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？
4．在应用函数单调性解题时应注意什么？第2课时 函数的最大(小)值
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象)
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算)
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模)
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．
问题：(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点 函数最大值与最小值
最值 最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f (x)≤M f (x)≥M
x0∈D，使得f (x0)＝M
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
几何 意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标
函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标．
在函数的最大值定义的两个条件中，能否去掉其中的一个？
[提示] 不能．若只有(1)，则M不一定是最大值，如f (x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f (x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值．而最大值的核心就是不等式f (x)≤M，故也不能只有(2)．
函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．
－1 2 [由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．]
类型1 图象法求函数的最值(值域)
【例1】 已知函数f (x)＝
(1)在直角坐标系内画出f (x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解] (1)图象如图所示：
(2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．
图象法求最值的基本步骤
[跟进训练]
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
B [f (x)的图象如图中实线所示，f (x)的最大值是1，故选B．
]
类型2 单调性法求函数的最值(值域)
【例2】 已知函数f (x)＝．
(1)证明：函数f (x)在上单调递减；
(2)求函数f (x)在[1，5]上的最值．
[解] (1)证明： x1，x2∈，且x2>x1>，有f (x1)－f (x2)＝－＝．
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)＝在区间上单调递减．
(2)由(1)知，函数f (x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f (x)＝在区间[1，5]的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝．
函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．
提醒：不判断单调性而直接将区间的两端点值代入是求函数最值时最容易出现的错误．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝．
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下： x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2，
有f (x1)－f (x2)＝－，
因为－1x1x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x20，
所以f (x1)－f (x2)0 f (x1)f (x2)，
所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增，
所以f (x)的最小值为f (2)＝，
最大值f (4)＝．
类型3 函数最值的实际应用
【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
思路导引：
[解] (1)当0x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x．
故y＝(x∈N*)．
(2)当0x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，y最大值＝156．而当x>20时，160－x140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的4个步骤
[跟进训练]
3．某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
[解] 设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．
因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)＝200(10＋x)(16－x)＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]＝－200(x－3)2＋33 800．
从而可知，当x＝3时，y的最大值为33 800．
因此每间房单价提到200＋20×3＝260元时，每天客房的租金总收入最高．
1．设函数f (x)＝2x－1(x0)，则f (x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
D [∵f (x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f (x)f (0)＝－1．故选D．]
2．(多选)设函数f (x)的定义域为R，则下列四个命题中真命题是( )
A．若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f (x)≤M，则M是函数f (x)的最大值
B．若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f (x)f (x0)，则f (x0)是函数f (x)的最大值
C．若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f (x)f (x0)，则f (x0)是函数f (x)的最大值
D．若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f (x)≤f (x0)，则f (x0)是函数f (x)的最大值
[答案] BD
3．函数f (x)＝则f (x)的最大值为________，最小值为________．
10 6 [当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x1时，6≤x＋78，∴f (x)最小值＝f (－1)＝6，f (x)最大值＝f (2)＝10．]
4．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m．
3 [设隔墙长为x(0x6)m，矩形面积为y m2，
则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时ymax＝18．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解函数最值定义中的“任意”和“存在”两个量词？
[提示] 函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)值，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数最值的常用方法有哪些？
[提示] (1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．如何求分段函数的最值？
[提示] 可先分段求出每段的最值，再采用“大中取大，小中取小”的原则求出最值．第2课时 函数的最大(小)值
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象)
2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算)
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模)
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．
问题：(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点 函数最大值与最小值
最值 最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f (x)______M f (x)______M
x0∈D，使得____________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
几何 意义 f (x)图象上最高点的________ f (x)图象上最低点的________
函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标．
在函数的最大值定义的两个条件中，能否去掉其中的一个？
函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．
类型1 图象法求函数的最值(值域)
【例1】 已知函数f (x)＝
(1)在直角坐标系内画出f (x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[尝试解答]
图象法求最值的基本步骤
[跟进训练]
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
类型2 单调性法求函数的最值(值域)
【例2】 已知函数f (x)＝．
(1)证明：函数f (x)在上单调递减；
(2)求函数f (x)在[1，5]上的最值．
[尝试解答]
函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是______，最大(小)值是________．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是________，最小(大)值是f (a)与f (c)中________的一个．
提醒：不判断单调性而直接将区间的两端点值代入是求函数最值时最容易出现的错误．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝．
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
类型3 函数最值的实际应用
【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
思路导引：
[尝试解答]
解实际应用题的4个步骤
[跟进训练]
3．某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
1．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)( )
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
2．(多选)设函数f (x)的定义域为R，则下列四个命题中真命题是( )
A．若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f (x)≤M，则M是函数f (x)的最大值
B．若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f (x)C．若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f (x)D．若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f (x)≤f (x0)，则f (x0)是函数f (x)的最大值
3．函数f (x)＝则f (x)的最大值为________，最小值为________．
4．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解函数最值定义中的“任意”和“存在”两个量词？
2．求函数最值的常用方法有哪些？
3．如何求分段函数的最值？3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象)
2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象)
3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．
x －3 －2 －1 1 2 3
f (x)＝x2
g(x)＝
知识点 函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D
结论 f (－x)＝f (x) f (－x)＝－f (x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称．
(3)当f (x)的定义域关于原点对称时：
①若f (－x)≠±f (x) f (x)是非奇非偶函数；
②若f (－x)＝±f (x) f (x)既是奇函数又是偶函数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f (－1)＝f (1)，则函数y＝f (x)(x∈R)一定是偶函数． ( )
(2)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数． ( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． ( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于________．
1 [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．]
类型1 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝
[解] (1)函数的定义域为R，因为 x∈R，都有－x∈R．
且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，
因此函数f (x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1．
因此函数的定义域为{－1，1}，因为 x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，因为 x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
－x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不成立，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为 x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}．
f (－x)＝
即f (－x)＝
于是有f (－x)＝－f (x)．
所以f (x)为奇函数．
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
[跟进训练]
1．(多选)下列判断正确的是( )
A．f (x)＝(x－1)是偶函数
B．f (x)＝ 是奇函数
C．f (x)＝|x＋1|＋|x－1|是偶函数
D．f (x)＝是非奇非偶函数
BC [对于A，f (x)的定义域为[－1，1)，定义域不关于原点对称，∴f (x)不是偶函数，∴A错误；
对于B，当x>0时，－x<0，
∴f (－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f (x)．
当x＜0时，－x＞0，
∴f (－x)＝－x2－x＝－f (x)，
∴f (x)是奇函数，∴B正确；
对于C，f (x)的定义域是R．
∵f (－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f (x)，∴f (x)是偶函数，∴C正确；
对于D，解
得－1≤x<0或0∴f (x)＝＝，
∵f (－x)＝＝－＝－f (x)，
∴f (x)是奇函数，∴D错误．]
类型2 奇偶函数的图象问题
【例2】 已知奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f (x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f (x)是奇函数，所以y＝f (x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．
由y＝f (x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．
[母题探究]
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解] (1)如图所示：
(2)由(1)可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5)．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题．
[跟进训练]
2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f (x)的增区间；
(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．
[解] (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
类型3 利用函数的奇偶性求值
【例3】 (1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝______；
(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．
思路导引：(1)
(2)
(1) 0 (2)7 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝
又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f (－3)＝－3，
所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7．]
由函数的奇偶性求参数值的思路
(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．
(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f (－x) 与f (x)的关系式恒成立来确定参数的值．
(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解．注意，该方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．
[跟进训练]
3．(1)若函数f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．
(1)D (2)4 [(1)∵f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f (－x)＝f (x)对于任意x∈R都成立．
∴f (－1)＝f (1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0．当a＝0时，经检验，满足题意．故选D．
(2)法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．
法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．
法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数，
∴4－a＝0，∴a＝4．]
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
B [B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．故选B．]
2．下列函数中是偶函数的有( )
A．y＝－2x B．y＝x3＋1
C．y＝x＋ D．y＝|x|＋
D [对于A，定义域为R，因为f (－x)＝－2(－x)＝2x＝－(－2x)＝－f (x)，所以函数为奇函数；对于B，定义域为R，因为f (－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠f (x)，所以函数不是偶函数；对于C，定义域为{x|x≠0}，因为f (－x)＝－x＋＝－＝－f (x)，所以函数为奇函数；对于D，定义域为{x|x≠0}，因为f (－x)＝|－x|＋＝|x|＋＝f (x)≠－f (x)，所以函数为偶函数，故选D．]
3．若函数f (x)(f (x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f (x)f (－x)>0 B．f (x)f (－x)<0
C．f (x)f (－x)
B [∵f (x)为奇函数，
∴f (－x)＝－f (x)，
又f (x)≠0，
∴f (x)f (－x)＝－[f (x)]2<0．故选B．]
4．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于________．
－1 [由题意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？
[提示] (1)定义域特点：关于原点对称；
(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；
(3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数满足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0．
2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？
[提示] 定义法和图象法．3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象)
2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象)
3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．
x －3 －2 －1 1 2 3
f (x)＝x2
g(x)＝
知识点 函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D
结论 f (－x)＝______ f (－x)＝______
图象特点 关于______对称 关于______对称
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称．
(3)当f (x)的定义域关于原点对称时：
①若f (－x)≠±f (x) f (x)是非奇非偶函数；
②若f (－x)＝±f (x) f (x)既是奇函数又是偶函数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f (－1)＝f (1)，则函数y＝f (x)(x∈R)一定是偶函数． ( )
(2)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x) 一定是奇函数． ( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． ( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．
( )
2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于________．
类型1 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝
[尝试解答]
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
[跟进训练]
1．(多选)下列判断正确的是( )
A．f (x)＝(x－1)是偶函数
B．f (x)＝ 是奇函数
C．f (x)＝|x＋1|＋|x－1|是偶函数
D．f (x)＝是非奇非偶函数
类型2 奇偶函数的图象问题
【例2】 已知奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f (x)<0的x的取值集合．
[尝试解答]
[母题探究]
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题．
[跟进训练]
2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f (x)的增区间；
(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．
类型3 利用函数的奇偶性求值
【例3】 (1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．
思路导引：(1)
(2)
[尝试解答]
由函数的奇偶性求参数值的思路
(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．
(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f (－x)与f (x)的关系式恒成立来确定参数的值．
(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解．注意，该方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．
[跟进训练]
3．(1)若函数f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
2．下列函数中是偶函数的有( )
A．y＝－2x B．y＝x3＋1
C．y＝x＋ D．y＝|x|＋
3．若函数f (x)(f (x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f (x)f (－x)>0 B．f (x)f (－x)<0
C．f (x)f (－x)
4．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？
2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？第2课时 奇偶性的应用
1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(数学运算)
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题．(逻辑推理、数学运算)
类型1 利用函数的奇偶性求解析式
【例1】 函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．
[解] 设x<0，则－x>0，
∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数，
∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，
∴当x<0时，f (x)＝－x－1．
又x＝0时，f (0)＝0，
所以f (x)＝
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．
提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)是R上的偶函数，且当x<0时，f (x)＝x(x－1)，则当x>0时，f (x)＝________．
(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，则函数f (x)的解析式为__________．
(1)x(x＋1) (2)f (x)＝ [(1)设x>0，则－x<0，所以f (－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f (x)为R上的偶函数，故当x>0时，f (x)＝f (－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f (x)＝x(x＋1)．
(2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．
由f (x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝，
∴f (x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f (x)＝]
类型2 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
【例2】 设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f (π)＜f (－3)＜f (－2)
D．f (π)＜f (－2)＜f (－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f (x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，
∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．]
[母题探究]
(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
[解] (1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)．
(2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，
因为－3<－2<π，所以f (－3) 比较函数值大小的求解策略
奇函数在对称区间上单调性一致(相同)；偶函数在对称区间上单调性相反．
(1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[跟进训练]
2．函数y＝f (x)在[0，2]上单调递增，且函数f (x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f (1)B．f C．f D．f B [∵函数f (x＋2)是偶函数，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f (x)在[0，2]上单调递增，
∴f 类型3 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
【例3】 已知定义在[－2，2]上的函数f (x)在[0，2]上单调递减，且f (1－m)(1)若f (x)是奇函数，求m的取值范围；
(2)若f (x)是偶函数，求m的取值范围．
思路导引：
[解] (1)若f (x)是奇函数，则f (x)在[－2，2]上单调递减，由f (1－m)解得m∈，故m的取值范围为
(2)若f (x)是偶函数，因为f (x)在[0，2]上单调递减，故在[－2，0)上单调递增，
由f (1－m)故解得m∈，
故m的取值范围为
利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略
(1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式；
(2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．
提醒：利用好偶函数性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算；同时注意函数自身定义域对参数的影响．
[跟进训练]
3．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．
(－3，0)∪(3，＋∞) [结合题意，画出草图如图所示，
由<0可知：当x<0时，f (x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f (x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．]
类型4 证明函数图象的对称性
【例4】 (源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称．
[证明] 任取h∈R，因为f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2，
f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2，
所以f (－2＋h)＝f (－2－h)，
这就说明函数的图象关于x＝－2对称．
(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)．
(2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．
[跟进训练]
4．证明函数f (x)＝的图象关于点(－1，1)对称．
[证明] 函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f (－1＋x)＋f (－1－x)＝＋
＝＋＝2，
即f (－1＋x)＋f (－1－x)＝2×1，
∴f (x)的图象关于点(－1，1)对称．
1．(2022·陕西安康高一期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x＋2，则当x0时，f (x)＝( )
A．－x－2 B．－x＋2
C．x－2 D．x＋2
C [∵当x0时，－x>0，f (－x)＝－x＋2，
∴f (x)＝－f (－x)＝x－2，故选C．]
2．(2022·山西晋城一中月考)已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，且x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－1)＋f (0)＝( )
A．1 B．0 C．－2 D．2
C [因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，
所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2，
所以f (－1)＋f (0)＝－2．故选C．]
3．(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是( )
A．f (－1)f (3) B．f (1)f (－3)
C．f (3)>f (2) D．f (2)>f (0)
AB [∵f (x)为偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．]
4．已知定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，若f (a)>f (3)，则实数a的取值范围是______．
(－3，3) [由题意可知|a|3，解得－3a3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若奇函数f (x)在原点处有定义，则f (0)为定值吗？若f (x)为偶函数呢？
[提示] 若f (x)为奇函数，且在原点处有定义，则f (0)＝0；
若f (x)为偶函数，则无法判断该值的大小．
2．如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？
[提示] 如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增．
3．若奇函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (a)>f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？
[提示] 奇函数时，a>b；偶函数时，|a||b|．第2课时 奇偶性的应用
1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(数学运算)
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题．(逻辑推理、数学运算)
类型1 利用函数的奇偶性求解析式
【例1】 函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．
[尝试解答]
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．
提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)是R上的偶函数，且当x<0时，f (x)＝x(x－1)，则当x>0时，f (x)＝________．
(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，则函数f (x)的解析式为__________．
类型2 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
【例2】 设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f (π)＜f (－3)＜f (－2)
D．f (π)＜f (－2)＜f (－3)
[尝试解答]
[母题探究]
(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3) 的大小关系如何？
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
比较函数值大小的求解策略
奇函数在对称区间上单调性一致(相同)；偶函数在对称区间上单调性相反．
(1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[跟进训练]
2．函数y＝f (x)在[0，2]上单调递增，且函数f (x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f (1)B．f C．f D．f 类型3 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
【例3】 已知定义在[－2，2]上的函数f (x)在[0，2]上单调递减，且f (1－m)(1)若f (x)是奇函数，求m的取值范围；
(2)若f (x)是偶函数，求m的取值范围．
思路导引：
[尝试解答]
利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略
(1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式；
(2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．
提醒：利用好偶函数性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算；同时注意函数自身定义域对参数的影响．
[跟进训练]
3．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．
类型4 证明函数图象的对称性
【例4】 (源自人教B版教材)求证：二次函数f (x)＝x2＋4x＋6的图象关于x＝－2对称．
[尝试解答]
(1)要证明函数f (x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (h－x)＝f (h＋x)．
(2)要证明函数f (x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．
[跟进训练]
4．证明函数f (x)＝的图象关于点(－1，1)对称．
1．(2022·陕西安康高一期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x＋2，则当x<0时，f (x)＝( )
A．－x－2 B．－x＋2
C．x－2 D．x＋2
2．(2022·山西晋城一中月考)已知函数f (x)为定义在R上的奇函数，且x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－1)＋f (0)＝( )
A．1 B．0 C．－2 D．2
3．(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是( )
A．f (－1)C．f (3)>f (2) D．f (2)>f (0)
4．已知定义在R上的偶函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，若f (a)>f (3)，则实数a的取值范围是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若奇函数f (x)在原点处有定义，则f (0)为定值吗？若f (x)为偶函数呢？
2．如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？
3．若奇函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (a)>f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？
