3.3 幂函数
1．了解幂函数的概念．(数学抽象)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象，掌握它们的性质．(直观想象)
3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数解析式的特征：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
知识点2 五个幂函数的图象与性质
(1)在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示：
(2)五个幂函数的性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 在[0，＋∞)上增 在(－∞，0)上减 增 增 在(0，＋∞)上减 在(－∞，0)上减
公共点 都经过点(1，1)
对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． ( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． ( )
(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关． ( )
(4)当幂指数α取2，时，幂函数y＝xα是增函数． ( )
(5)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．下列函数中不是幂函数的是________．
①y＝x0;②y＝x3；③y＝2x;④y＝x-1．
[答案] ③
3．幂函数y＝x-1，y＝，y＝x2，y＝x3依次对应的图象为________．
① ② ③ ④
[答案] ④③②①
4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为________；函数y＝xα为奇函数的所有α的值为________．
[答案] 1，3 －1，1，3
类型1 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知y＝＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
(1)B [∵y＝＝x-2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B．]
(2)[解] 由题意得
解得
所以m＝－3，n＝．
判断一个函数为幂函数的依据
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1．
[跟进训练]
1．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A． B．1 C． D．2
C [由幂函数的定义知k＝1．
又f ，所以，
解得α＝，从而k＋α＝．]
类型2 幂函数的图象及应用
【例2】 (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)已知幂函数f (x)＝xα的图象过点P，试画出f (x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
(1)B [令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．]
(2)[解] 因为f (x)＝xα的图象过点P，
所以f (2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f (x)＝x-2，
f (x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断．
[跟进训练]
2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2
B [∵幂函数f (x)＝xα的图象过④⑧部分，∴f (x)＝xα在第一象限内单调递减，∴α0．又易知当x＝2时，f (x)>，∴只有B项符合题意．]
类型3 幂函数性质的综合应用
【例3】 (源自苏教版教材)试比较下列各组数的大小：
(1)1.13，0.893；
(2)，，；
(3)，1，．
思路导引：
[解] (1)因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
(2)因为函数y＝在区间[0，＋∞)上是增函数，又2.1>2>1.8，所以>>．
(3)因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1＝11.3，1，所以11.3＝1．
因为函数y＝在区间[0，＋∞)上是增函数，又＝1，3>1，所以>＝1．于是1．
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
[跟进训练]
3．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与．
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又，所以．
(2)因为幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－－，所以．
1．(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x-1
ABD [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD．]
2．下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
3．已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是( )
A B
C D
A [设幂函数为y＝xα，
因为该幂函数的图象经过点P，
所以4α＝，即22α＝2-1，解得α＝－，
即函数为y＝，
则函数的定义域为(0，＋∞)，所以排除CD，
因为α＝－0，所以y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，故选A．]
4．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f (x)＝________．
①f (x)＝xα(α∈R)；②f (x)在R上单调递增；③f (－x)＝－f (x)．
x(答案不唯一) [例如f (x)＝x，是单调递增函数，f (－x)＝－x＝－f (x)，满足三个条件．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？
[提示] 关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1，1)吗？
[提示] 当α0时，幂函数在原点处无意义，图象都过点(1，1)．
3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？
[提示] 观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面第一象限中的直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞) y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1) y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0) y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．3.3 幂函数
1．了解幂函数的概念．(数学抽象)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．(直观想象)
3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数．
幂函数解析式的特征：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
知识点2 五个幂函数的图象与性质
(1)在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示：
(2)五个幂函数的性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定义域 R R R ________ ________
值域 R [0，＋∞) ____ ________ ________
奇偶性 奇 偶 ____ ________ ____
单调性 增 在[0，＋∞)上____ 在(－∞，0)上____ ____ ____ 在(0，＋∞) 上____ 在(－∞，0)上____
公共点 都经过点(1，1)
对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． ( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． ( )
(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关． ( )
(4)当幂指数α取2，时，幂函数y＝xα是增函数． ( )
(5)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． ( )
2．下列函数中不是幂函数的是________．
①y＝x0; ②y＝x3；③y＝2x;④y＝x-1．
3．幂函数y＝x-1，y＝，y＝x2，y＝x3依次对应的图象为________．
① ② ③ ④
4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为______________；函数y＝xα为奇函数的所有α的值为__________．
类型1 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知y＝＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[尝试解答]
判断一个函数为幂函数的依据
(1)指数为________；(2)底数为__________；(3)系数为________．
[跟进训练]
1．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A． B．1 C． D．2
类型2 幂函数的图象及应用
【例2】 (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)已知幂函数f (x)＝xα的图象过点P，试画出f (x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
[尝试解答]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断．
[跟进训练]
2．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2
类型3 幂函数性质的综合应用
【例3】 (源自苏教版教材)试比较下列各组数的大小：
(1)1.13，0.893；
(2)，，；
(3)，1，．
思路导引：
[尝试解答]
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
[跟进训练]
3．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与．
1．(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x-1
2．下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
3．已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是( )
A B
C D
4．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f (x)＝________．
①f (x)＝xα(α∈R)；
②f (x)在R上单调递增；
③f (－x)＝－f (x)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？
2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1，1)吗？
3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？
