微专题1 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型1 不含参数的二次函数最值问题
【例1】 已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
[解] f (x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f (x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f (x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f (x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0，3]上，函数f (x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7．
(3)由图可知，函数f (x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4．
类型2 含参数的二次函数最值问题
【例2】 求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
[解] f (x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a．
(1)当a<0时，由图①可知，f (x)min＝f (0)＝－1，f (x)max＝f (2)＝3－4a．
图① 图②
(2)当0≤a<1时，由图②可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (2)＝3－4a．
(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (0)＝－1．
图③ 图④
(4)当a>2时，由图④可知，f (x)min＝f (2)＝3－4a，f (x)max＝f (0)＝－1．
综上，f (x)min＝
f (x)max＝
【例3】 求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解] f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1．
图① 图② 图③
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f (1)＝1；
当t>1时，函数图象如图③所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2．
综上可得，g(t)＝
类型3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题
【例4】 (2022·福建省厦门第二中学月考)在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数f (x)＝x2＋ax＋4．
(1)当a＝－2时，求函数f (x)在区间[－2，2]上的值域；
(2)若________，f (x)≥0，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝－2时，f (x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴f (x)在[－2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴f (x)min＝f (1)＝3，f (x)max＝f (－2)＝12，
∴函数f (x)在区间[－2，2]上的值域为[3，12]．
(2)方案一：选条件①．
由题意，得f (x)＝＋4－
若－≤－2，即a≥4，则函数f (x)在区间[－2，2]上单调递增，
∴f (x)min＝f (－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，
又a≥4，∴a＝4．
若－2<－<2，即－4
∴f (x)min＝f ＝4－≥0，
解得－4≤a≤4，∴－4若－≥2，即a≤－4，则函数f (x)在区间[－2，2]上单调递减，
∴f (x)min＝f (2)＝8＋2a≥0，
解得a≥－4，
又a≤－4，∴a＝－4．
综上所述，实数a的取值范围为[－4，4]．
方案二：选条件②．
∵ x∈[1，3]，f (x)≥0，
∴f (x)max≥0，
∵函数f (x)的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得．
∴f (1)≥0或f (3)≥0，解得a≥－5或a≥－，
∴a≥－5．
故实数a的取值范围为[－5，＋∞)．微专题1 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型1 不含参数的二次函数最值问题
【例1】 已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
[尝试解答]
类型2 含参数的二次函数最值问题
【例2】 求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
[尝试解答]
【例3】 求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1] 上的最小值g(t)．
[尝试解答]
类型3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题
【例4】 (2022·福建省厦门第二中学月考)在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数f (x)＝x2＋ax＋4．
(1)当a＝－2时，求函数f (x)在区间[－2，2]上的值域；
(2)若________，f (x)≥0，求实数a的取值范围．
[尝试解答]
微专题2 函数性质的综合问题
函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用．
类型1 函数的奇偶性与对称性
性质：函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f (x)的定义域为D，对 x∈D都有f (a＋x)＝f (a－x)(a为常数)，则x＝a是f (x)的对称轴．
(2)若函数f (x)的定义域为D，对 x∈D都有f (a＋x)＋f (a－x)＝2b(a，b为常数)，则点(a，b)是f (x)的对称中心．
【例1】 (1)定义在R上的偶函数y＝f (x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f (x)＝－x＋，则f 等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．
(2)(多选)(2022·浙江杭州学军中学月考)已知y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，且y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则( )
A．y＝f (x)是奇函数
B．y＝g(x)是偶函数
C．y＝f (x)关于直线x＝2对称
D．y＝g(x)关于点(4，0)对称
(1)B (2)ACD [(1)∵y＝f (x)的图象关于点对称，∴f ＋f ＝0，
即f (1＋x)＋f (－x)＝0．
又∵y＝f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
∴f (1＋x)＋f (x)＝0，即f (1＋x)＝－f (x)，
∴f ＝－f ＝0．
(2)由于y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，则y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，则y＝g(x)的图象关于x＝－2对称，因为y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则y＝f (x)的图象关于x＝2对称，
又y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，则y＝f (x)的图象关于点(0，0)成中心对称，
故y＝f (x)为奇函数，A正确；
因为y＝f (x)为奇函数，故f (－x)＝－f (x)，
由y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，可得f (x)＝g(－x)，g(x)＝f (－x)，
故g(－x)＝f (x)＝－f (－x)＝－g(x) ，故y＝g(x)为奇函数，B错误；由A的分析可知y＝f (x)的图象关于x＝2对称，故C正确；由A的分析可知y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，y＝f (x)为奇函数，
则y＝f (x)的图象也关于点(－4，0)成中心对称，
而y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，
则y＝g(x)的图象关于点(4，0)成中心对称，故D正确，故选ACD．]
类型2 函数的奇偶性、单调性与最值
性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则f (x)max＋f (x)min＝0，且若0∈D，则f (0)＝0．
【例2】 (1)设函数f (x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 024的值为________．
(2)奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．
(1)1 (2)－7 [(1)f (x)＝＋1，
设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数，
g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，
故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2 024＝(2－1)2 024＝1．
(2)由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，
故f (3)＝－1，f (6)＝4．
∵f (x)是奇函数，
∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．]
类型3 函数的奇偶性、单调性与不等式
性质：具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
【例3】 (1)设定义在R上的奇函数f (x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有0，且f (2)＝0，则不等式≥0的解集为( )
A．(－∞，－2]∪(0，2]
B．[－2，0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的为( )
A．f (b)－f (－a)g(a)－g(－b)
B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a)
D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
(1)C (2)AC [(1)由题意可得，函数的图象关于原点对称，
对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
都有0，
故函数在(0，＋∞)上单调递减，
故函数在(－∞，0)上也单调递减．
由不等式≥0可得≤0．
再由f (2)＝0可得f (－2)＝0，故由不等式结合图象可得x≥2，或x≤－2，故选C．
(2)函数f (x)为R上的奇函数，且为减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，由a>b>0，得f (a)f (b)0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)；
对于A，f (b)－f (－a)g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)0(因为在a>0上f (a)＝g(a))，所以A正确；
对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，这与f (b)0矛盾，所以B错误；
对于C，f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]0，这与f (a)f (b)符合，所以C正确；
对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)f (b)矛盾，所以D错误．故选AC．]
【例4】 定义在R上的函数f (x)满足对任意x，y∈R恒有f (xy)＝f (x)＋f (y)，且f (x)不恒为0．
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)试判断f (x)的奇偶性，并加以证明；
(3)若当x≥0时，f (x)为增函数，求满足不等式f (x＋1)－f (2－x)≤0的x的取值集合．
[解] (1)令x＝y＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)．
∴f (1)＝0．令x＝y＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
∴f (－1)＝0．
(2)f (x)为偶函数．证明如下：
令y＝－1，由f (xy)＝f (x)＋f (y)，
得f (－x)＝f (x)＋f (－1)，
又f (－1)＝0，
∴f (－x)＝f (x)，
又f (x)不恒为0，
∴f (x)为偶函数．
(3)由f (x＋1)－f (2－x)≤0，知f (x＋1)≤f (2－x)．
又由(2)知f (x)＝f (|x|)，
∴f (|x＋1|)≤f (|2－x|)．
又∵f (x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴|x＋1|≤|2－x|，解得x≤．
故x的取值集合为．微专题2 函数性质的综合问题
函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用．
类型1 函数的奇偶性与对称性
性质：函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f (x)的定义域为D，对 x∈D都有f (a＋x)＝f (a－x)(a为常数)，则x＝a是f (x)的对称轴．
(2)若函数f (x)的定义域为D，对 x∈D都有f (a＋x)＋f (a－x)＝2b(a，b为常数)，则点(a，b)是f (x)的对称中心．
【例1】 (1)定义在R上的偶函数y＝f (x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f (x)＝－x＋，则f 等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．
(2)(多选)(2022·浙江杭州学军中学月考)已知y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，且y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则( )
A．y＝f (x)是奇函数
B．y＝g(x)是偶函数
C．y＝f (x)关于直线x＝2对称
D．y＝g(x)关于点(4，0)对称
[尝试解答]
类型2 函数的奇偶性、单调性与最值
性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则＋f (x)min＝0，且若0∈D，则f (0)＝0．
【例2】 (1)设函数f (x)＝在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 024的值为________．
(2)奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．
[尝试解答]
类型3 函数的奇偶性、单调性与不等式
性质：具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
【例3】 (1)设定义在R上的奇函数f (x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f (2)＝0，则不等式≥0的解集为( )
A．(－∞，－2]∪(0，2]
B．[－2，0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的为( )
A．f (b)－f (－a)B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
[尝试解答]
【例4】 定义在R上的函数f (x)满足对任意x，y∈R恒有f (xy)＝f (x)＋f (y)，且f (x)不恒为0．
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)试判断f (x)的奇偶性，并加以证明；
(3)若当x≥0时，f (x)为增函数，求满足不等式f (x＋1)－f (2－x)≤0的x的取值集合．
[尝试解答]
