第3章 章末综合提升
类型1 函数的概念及其表示
1．函数有三要素：定义域、对应关系和值域，只要定义域和对应关系相同，两个函数就是同一个函数；函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，其中分段函数是高中学习的重点．
2．掌握函数定义域、值域的求法，提升逻辑推理和数学抽象素养．
【例1】 (1)(2022·贵州遵义四中月考)下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是( )
A．f (x)＝，g(x)＝x
B．f (x)＝，g(x)＝
C．f (x)＝，g(x)＝x
D．f (x)＝|x－2|，g(t)＝
(2)(多选)已知函数f (x)＝关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4]
C．若f (x)＝2，则x的值是－
D．f (x)1的解集为(－1，1)
(3)(2022·江苏海安高级中学月考)f (＋1)＝x－1，则f (x)＝________．
(1)D (2)BC (3)x2－2x(x≥1) [(1)对于A，f (x)＝＝x(x≠0)，二者定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数；
对于B，f (x)＝(x≥2)，二者定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数；
对于C，f (x)＝＝|x|，二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；
对于D，f (x)＝|x－2|＝ 二者定义域、对应法则均相同，是同一函数．故选D．
(2)函数f (x)＝定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x1时，f (x)＝x2，值域为[0，4]，x≥1时，f (x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当－2≤x1时，令x2＝2，解得x＝－或x＝(舍去)；当x≥1时，令－x＋2＝2，解得x＝0(舍去)，所以x＝故C正确；当－2≤x1时，令f (x)＝x21，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋21，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC．
(3)令＋1＝t(t≥1) x＝(t－1)2(t≥1)，
于是有f (t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1) f (x)＝x2－2x(x≥1)．]
类型2 函数图象的画法及应用
1．利用函数的图象可以直观观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．
2．掌握简单的基本函数的图象，提升直观想象和数据分析素养．
【例2】 已知f (x)是R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝－x2＋2x＋2．
(1)求f (－1)；
(2)求f (x)的解析式；
(3)画出f (x)的图象，并指出f (x)的单调区间．
[解] (1)由于函数f (x)是R上的奇函数，所以对任意的实数x都有f (－x)＝－f (x)，
所以f (－1)＝－f (1)＝－(－1＋2＋2)＝－3．
(2)设x0，则－x>0，于是f (－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2．又因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．因此f (x)＝x2＋2x－2．
又因为f (0)＝0，
所以f (x)＝
(3)先画出y＝f (x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f (x)(x0)的图象，其图象如图所示．
由图可知，f (x)的单调递增区间为[－1，0)和(0，1]，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
类型3 函数的性质及应用
1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．
【例3】 已知函数f (x)＝．
(1)判断f (x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，判断f (x)的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足f (3m)>f (5－2m)，求m的取值范围．
[解] (1)函数f (x)是奇函数．证明如下：
函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f (－x)＝＝－＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数．
(2)函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2>1，则
f (x1)－f (x2)＝－＝，
因为x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得1m2，
所以m的取值范围为(1，2)．
类型4 函数的应用
1．本章主要学习了一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的建模问题，通过上述模型可以解决生活中的成本最少、利润最高等问题．
2．通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】 为响应国家环保的号召，某企业计划2023年引进新型环保设备生产新能源汽车，通过市场分析，全年需投入固定成本1 000万元，每生产x(百辆)汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝ 若每辆新能源汽车售价为8万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．
(1)求2023年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式L(x)(其中利润＝销售额－成本)
(2)当2023年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．
[解] (1)根据题意可知，
当0x20时，L(x)＝800x－10x2－500x－1 000＝－10x2＋300x－1 000，
当x≥20时，L(x)＝800x－801x－＋2 000－1 000＝1 000－，
所以L(x)＝
(2)当0x20时，L(x)＝－10x2＋300x－1 000，
∴当x＝15时，L(x)取得最大值1 250；
当x≥20时，L(x)＝1 000－≤1 000－＝960，
当且仅当x＝，即x＝20时取等号．
∴综上，当x＝15时，L(x)取得最大值1 250．
即2023年产量为1 500辆时，企业所获利润最大，最大利润为1 250万元．第3章 章末综合提升
类型1 函数的概念及其表示
1．函数有三要素：定义域、对应关系和值域，只要定义域和对应关系相同，两个函数就是同一个函数；函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，其中分段函数是高中学习的重点．
2．掌握函数定义域、值域的求法，提升逻辑推理和数学抽象素养．
【例1】 (1)(2022·贵州遵义四中月考)下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是( )
A．f (x)＝，g(x)＝x
B．f (x)＝·，g(x)＝
C．f (x)＝，g(x)＝x
D．f (x)＝|x－2|，g(t)＝
(2)(多选)已知函数f (x)＝
关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4]
C．若f (x)＝2，则x的值是－
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
(3)(2022·江苏海安高级中学月考)f (＋1)＝x－1，则f (x)＝________．
[尝试解答]
类型2 函数图象的画法及应用
1．利用函数的图象可以直观观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．
2．掌握简单的基本函数的图象，提升直观想象和数据分析素养．
【例2】 已知f (x)是R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝－x2＋2x＋2．
(1)求f (－1)；
(2)求f (x)的解析式；
(3)画出f (x)的图象，并指出f (x)的单调区间．
[尝试解答]
类型3 函数的性质及应用
1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．
【例3】 已知函数f (x)＝．
(1)判断f (x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，判断f (x)的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足f (3m)>f (5－2m)，求m的取值范围．
[尝试解答]
类型4 函数的应用
1．本章主要学习了一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的建模问题，通过上述模型可以解决生活中的成本最少、利润最高等问题．
2．通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】 为响应国家环保的号召，某企业计划2023年引进新型环保设备生产新能源汽车，通过市场分析，全年需投入固定成本1 000万元，每生产x(百辆)汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝ 若每辆新能源汽车售价为8万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．
(1)求2023年的利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式L(x)(其中利润＝销售额－成本)
(2)当2023年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．
[尝试解答]
