4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念
1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象)
2．理解指数函数的概念，会求指数函数的定义域．(数学运算)
3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21S＝
x＝2 y＝4＝22S＝
x＝3 y＝8＝23S＝
… … …
知识点1 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．
指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
知识点2 两类指数模型
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数． ( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数． ( )
(3)函数f (x)＝xx为指数函数． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某地2020年GDP现价总量为a亿元，若预计以后每年比上一年增长11%，那么2025年GDP现价总量约为________亿元．(参考数据≈1.69)
1.69a [2025年GDP现价总量为a(1＋11%)5＝a×1.115≈1.69a．]
类型1 指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)D (2)∪(1，＋∞) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．
(2)由题意可知解得a>且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1．
[跟进训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
2 [由指数函数的定义知
由①得a＝1或a＝2，结合②得a＝2．]
类型2 指数函数的解析式
【例2】 (1)若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝2，则f (x)＝( )
A．()x B．2x
C． D．
(2)已知函数f (x)为指数函数，且，则f (－2)＝________．
(1)A (2) [(1)由题意，设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f (2)＝a2＝2，得a＝(负值舍去)，所以f (x)＝()x．
(2)设f (x)＝ax(a>0且a≠1)，由f 得，所以a＝3，所以f (x)＝3x，所以f (－2)＝3-2＝．]
[跟进训练]
2．如果指数函数y＝f (x)的图象经过点，那么f (4)·f (2)等于________．
64 [设y＝f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以a-2＝，所以a＝2，
所以f (4)·f (2)＝24×22＝64．]
类型3 指数函数的实际应用
【例3】 (源自湘教版教材)2012年某地区人均GDP为38 852元，2013年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2012年后的年数，将该地区人均GDP用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2020年该地区人均GDP数量和相对于2012年的增长倍数，并说明底数a的意义．
[解] 按假设条件和数据，有
G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992．
解得C＝38 852，a＝≈1.132．
因此该函数的解析式为G(x)＝38 852·1.132x．
依此估计出2020年该地区人均GDP为
G(8)＝C×a8≈38 852×1.1328≈38 852×2.696≈104 745(元)，
相对于2012年，增长了约1.7倍．
底数a是每年人均GDP与上一年的比，平均增长率为(a－1)×100%≈13.2%．
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
[跟进训练]
3．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝
A [由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6)．故选A．]
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x+1 B．y＝x3 C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [结合指数函数的定义可知D正确，故选D．]
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1 C．2 D．
C [依题意，有解得m＝2(m＝－1舍去)．]
3．若指数函数f (x)的图象过点(3，8)，则f (x)的解析式为( )
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x
B [设f (x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f (3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f (x)＝2x，故选B．]
4．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为________．
[设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为，即年衰变率为．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数f (x)＝ax是指数函数吗？
[提示] 不一定．当a>0且a≠1时，f (x)＝ax是指数函数．
2．指数模型的解析式具有怎样的形式？
[提示] 形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)．4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念
1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象)
2．理解指数函数的概念，会求指数函数的定义域．(数学运算)
3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模)
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21S＝
x＝2 y＝4＝22S＝＝
x＝3 y＝8＝23S＝＝
… … …
知识点1 指数函数的概念
一般地，函数________(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
知识点2 两类指数模型
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当______时为指数增长型函数模型．
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当______时为指数衰减型函数模型．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数． ( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数． ( )
(3)函数f (x)＝xx为指数函数． ( )
2．某地2020年GDP现价总量为a亿元，若预计以后每年比上一年增长11%，那么2025年GDP现价总量约为________亿元．(参考数据1.114≈1.52，1.115≈1.69)
类型1 指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
[尝试解答]
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是________________________；
(2)指数函数的自变量必须在________的位置上；
(3)ax的系数必须为________．
[跟进训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
类型2 指数函数的解析式
【例2】 (1)若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝2，则f (x)＝( )
A．()x B．2x
C． D．
(2)已知函数f (x)为指数函数，且f ＝，则f (－2)＝________．
[尝试解答]
[跟进训练]
2．如果指数函数y＝f (x)的图象经过点，那么f (4)·f (2)等于________．
类型3 指数函数的实际应用
【例3】 (源自湘教版教材)2012年某地区人均GDP为38 852元，2013年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2012年后的年数，将该地区人均GDP用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2020年该地区人均GDP数量和相对于2012年的增长倍数，并说明底数a的意义．
[尝试解答]
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝____________．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝______________．
(3)指数型函数
把形如________________________的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
[跟进训练]
3．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x+1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
3．若指数函数f (x)的图象过点(3，8)，则f (x)的解析式为( )
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x
4．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数f (x)＝ax是指数函数吗？
2．指数模型的解析式具有怎样的形式？第2课时 指数函数的图象和性质
1．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(直观想象)
2．学会用指数函数的图象和性质比较函数值的大小．(逻辑推理)
分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质．
知识点 指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0，1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
指数函数图象的其他特征：在y轴右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函数． ( )
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数． ( )
(3)所有的指数函数图象过定点(0，1)． ( )
(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
类型1 指数函数的图象
【例1】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
[跟进训练]
1．已知0A B C D
C [由于0类型2 指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
(2)利用函数y＝f (x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象：
①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|．
(1)(－1，－1) [因为y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f (－1)＝－1，故f (x)＝2ax+1－3的图象过定点(－1，－1)．]
(2)[解] 利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象．如图所示．
① ②
③ ④ ⑤
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[跟进训练]
2．(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)要使g(x)＝3x+1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．t≤－1 B．t<－1
C．t≤－3 D．t≥－3
(1)D (2)C [(1)由于f (x)在R上单调递减，所以0又00，所以b<0，故选D．
(2)∵函数g(x)＝3x+1＋t的图象过定点(0，3＋t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3＋t≤0，解得t≤－3．]
类型3 利用指数函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0 比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小时，要按底数a>1和0[跟进训练]
3．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.90.3＞0.93.1 D．
BC [对于A，∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5<1.73，故A错误；对于B，，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－∴，故B正确；对于C，＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且，∴，又函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且，∴，∴，故D错误．故选BC．]
1．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝，∴B选项正确．]
2．函数f (x)＝πx与g(x)＝的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
C [设点(x，y)为函数f (x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f (x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称．]
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．bC [∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6．
即b4．函数f (x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
(－1，2) [∵y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，
∴令x＋1＝0，即x＝－1，则f (－1)＝2．
故f (x)＝3－ax+1的图象恒过定点(－1，2)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，图象的高低与a的取值有何关系？
[提示] 指数函数y＝ax的图象如图所示．在第一象限内，底数a自上向下依次递减．
图中底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．
2．比较幂的大小的常用方法有哪些？
[提示] 第2课时 指数函数的图象和性质
1．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(直观想象)
2．学会用指数函数的图象和性质比较函数值的大小．(逻辑推理)
分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质．
知识点 指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 ________
过定点 ________，即当x＝0时，y＝______
单调性 在R上是______ 在R上是______
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于________对称
指数函数图象的其他特征：在y轴右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函数． ( )
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数． ( )
(3)所有的指数函数图象过定点(0，1)． ( )
(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的． ( )
类型1 指数函数的图象
【例1】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
[尝试解答]
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
[跟进训练]
1．已知0A B C D
类型2 指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1) 的图象恒过的定点是________．
(2)利用函数y＝f (x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象：
①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|．
[尝试解答]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[跟进训练]
2．(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)要使g(x)＝3x+1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．t≤－1 B．t<－1
C．t≤－3 D．t≥－3
类型3 利用指数函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[尝试解答]
比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用________的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断．
(4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小时，要按底数a>1和0[跟进训练]
3．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.90.3＞0.93.1 D．
1．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
2．函数f (x)＝πx与g(x)＝的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b4．函数f (x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，图象的高低与a的取值有何关系？
2．比较幂的大小的常用方法有哪些？第3课时 指数函数的性质的应用
能利用函数的单调性解不等式、求函数定义域与值域．(逻辑推理、数学运算)
类型1 指数型不等式的解法
【例1】 (1)解不等式≤2；
(2)已知0，且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤．
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1 指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f (x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[跟进训练]
1．已知3x≥，求实数x的取值范围．
[解] 因为＝30.5，所以由3x≥可得，3x≥30.5，
因为y＝3x为增函数，故x≥0.5．
类型2 指数型函数的值域
【例2】 (1)求函数y＝(－1≤x≤3)的值域；
(2)求函数y＝＋＋1的值域．
[解] (1)因为－1≤x≤3，所以u＝－2x2－8x＋1＝－2(x＋2)2＋9∈[－41，7]．
又因为y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以y∈
类型2 指数型函数的值域
【例2】 (1)求函数y＝(－1≤x≤3)的值域；
(2)求函数y＝＋＋1的值域．
[解] (1)因为－1≤x≤3，所以u＝－2x2－8x＋1＝－2(x＋2)2＋9∈[－41，7]．
又因为y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以y∈，即值域为．
(2)令t＝>0，则y＝t2＋t＋1＝＋在(0，＋∞)上单调递增，∴值域为(1，＋∞)．
y＝af (x)型函数的值域的求法
(1)形如y＝af (x)的函数的值域，先求出u＝f (x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af (x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论．
(2)求函数y＝f (ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f (t)的值域．
[跟进训练]
2．已知0≤x≤2，求函数y＝－2×＋2的值域．
[解] 令＝t，∵0≤x≤2，∴t∈，
又y＝4t2－2t＋2在上单调递增，
∴y∈．∴此函数的值域为．
类型3 指数型函数的单调性及应用
【例3】 判断f (x)＝的单调性．
思路导引：
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴f (x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
[母题探究]
把本例的函数改为“y＝”，求其单调区间．
[解] 函数y＝的定义域是R．
令u＝－x2＋2x，则y＝2u．
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝是增函数，
所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝是增函数，所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]．
函数y＝af (x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f (φ(x))的单调性．
[跟进训练]
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
[解] (1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，
∵a>1时，y＝au在R上单调递增，
故函数y＝(a＞1)的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x-1在[1，＋∞)上单调递增；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x．
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21-x在(－∞，1)上为减函数．
故函数y＝2|x-1|的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)．
1．若2x+1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D [∵2x+1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1．故选D．]
2．函数y＝(x≥8)的值域是( )
A．R B．
C． D．
B [因为y＝在[8，＋∞)上单调递减，所以0<≤＝．故选B．]
3．f (x)＝，x∈R，那么f (x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
D [由x∈R且f (－x)＝f (x)知f (x)是偶函数，
当x>0时，f (x)＝在(0，＋∞)上是减函数．]
4．函数y＝的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－≥0得≤1＝，
∴x≥0，∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数y＝af (x)的单调性与y＝f (x)的单调性存在怎样的对应关系？
[提示] 当a>1时，y＝af (x)与f (x)的单调性相同；
当0即“同增异减”．
2．如何求函数y＝af (x)的值域？
[提示] 函数y＝af (x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f (x)；
(2)求t＝f (x)的值域M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝af (x)的值域．第3课时 指数函数的性质的应用
能利用函数的单调性解不等式、求函数定义域与值域．(逻辑推理、数学运算)
类型1 指数型不等式的解法
【例1】 (1)解不等式≤2；
(2)已知0，且a≠1)，求x的取值范围．
[尝试解答]
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，____________；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形将不等式两边的________进行统一，此时常用到以下结论：1＝________(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[跟进训练]
1．已知3x≥，求实数x的取值范围．
类型2 指数型函数的值域
【例2】 (1)求函数y＝(－1≤x≤3)的值域；
(2)求函数y＝＋＋1的值域．
[尝试解答]
y＝af (x)型函数的值域的求法
(1)形如y＝af (x)的函数的值域，先求出u＝f (x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af (x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论．
(2)求函数y＝f (ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f (t)的值域．
[跟进训练]
2．已知0≤x≤2，求函数y＝－2×＋2的值域．
类型3 指数型函数的单调性及应用
【例3】 判断f (x)＝的单调性．
思路导引：
[尝试解答]
[母题探究]
把本例的函数改为“y＝2－x2＋2x”，求其单调区间．
函数y＝af (x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f (φ(x))的单调性．
[跟进训练]
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
1．若2x+1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
2．函数y＝(x≥8)的值域是( )
A．R B．
C． D．
3．f (x)＝，x∈R，那么f (x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
4．函数y＝的定义域是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数y＝af (x)的单调性与y＝f (x)的单调性存在怎样的对应关系？
2．如何求函数y＝af (x)的值域？