4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系．(直观想象)
2．了解函数零点存在定理、会判断函数零点的个数．(逻辑推理)
请观察下图，这是气象局测得的某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度的时刻，你能帮助他吗？
知识点1 函数的零点
(1)函数的零点
对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)方程、函数、函数图象之间的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 函数y＝f (x)有零点．
函数的零点是函数与x轴的交点吗？
[提示] 不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点2 函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f (a)f (b)<0．两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f (a)·f (b)>0，则f (x)在[a，b]内无零点． ( )
(2)设f (x)＝，由于f (－1)f (1)<0，所以f (x)＝在(－1，1)内有零点． ( )
(3)若f (x)在(a，b)内有零点，则f (a)·f (b)<0． ( )
(4)若函数f (x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在区间(a，b)内只有一个零点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
类型1 求函数的零点
【例1】 (1)函数f (x)＝的零点为________；
(2)若函数f (x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，则函数g(x)＝bx2＋ax的零点为________．
(1)－3和e2 (2)0和－ [(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2．
所以函数f (x)＝的零点为－3和e2．
(2)由已知得f (3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a．
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝．所以函数g(x)的零点为0和－．]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟进训练]
1．(1)若函数f (x)＝＋a的零点是1，则实数a＝________；
(2)函数f (x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
(1)－ (2)1和10 [(1)由f (1)＝＋a＝0得a＝－．
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10．]
类型2 确定函数零点所在的区间
【例2】 (1)函数f (x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3，4) B．(2，e) C．(1，2) D．(0，1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
(1)C (2)C [(1)因为f (1)＝ln 2－<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选C．
(2)构造函数f (x)＝ex－x－3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f (0)＝1－3＝－2<0，f (1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f (2)＝7.39－5＝2.39>0，f (3)＝20.08－6＝14.08>0，
f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C．]
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0 C．1 D．3
A [f (x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0．故f (x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合．故选A．]
类型3 函数零点个数问题
判断函数零点个数
【例3】 判断下列函数零点的个数：
(1)f (x)＝x2－；
(2)f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2．
[解] (1)法一：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f (x)＝x2－只有一个零点．
法二：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝(x≠0)，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示．
由图象可知，两个函数图象只有一个交点，故函数f (x)只有一个零点．
(2)法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，
f (2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0，
∴f (x)＝0在(0，2)上必定存在实根．
又f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f (x)有且只有一个零点．
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg (x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示．
由图象知g(x)＝lg (x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个公共点，即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．
根据零点个数求参数范围
【例4】 函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有两个零点，则实数b的取值范围是( )
A．0
C．b<0 D．－1思路导引：
B [作出函数f (x)＝的图象如图所示．
令g(x)＝0，可得f (x)＝b，画出直线y＝b，可得当－1 判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f (x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f (x)零点的个数．
(3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f (x)零点的个数．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)＋x－3的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若函数y＝|x2－4x＋3|－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)a>1或a＝0 [(1)令g(x)＝0，得f (x)＝－x＋3，画出函数f (x)和y＝－x＋3的图象，如图所示：
函数g(x)的零点个数即f (x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B．
(2)由题意知：函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示．
若函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，则a>1或a＝0．所以实数a的取值范围是a>1或a＝0．]
1．函数y＝2x－1的零点是( )
A． B． C． D．2
A [由2x－1＝0得x＝．]
2．函数f (x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B． C． D．
B [f (1)＝2－1＝1>0，f ＝－2＝－2<0，即f f (1)<0，且f (x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f (x)的零点所在的区间是．]
3．对于函数f (x)，若f (－1)·f (3)<0，则( )
A．方程f (x)＝0一定有实数解
B．方程f (x)＝0一定无实数解
C．方程f (x)＝0一定有两实根
D．方程f (x)＝0可能无实数解
D [∵函数f (x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x)＝0在(－1，3)上可能无实数解．故选D．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 [由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系？
[提示] 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？
[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a)·f (b)<0．
3．探求函数零点个数的方法有哪些？
[提示] 解方程法；图象交点个数法；定理法．4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系．(直观想象)
2．了解函数零点存在定理、会判断函数零点的个数．(逻辑推理)
请观察下图，这是气象局测得的某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度的时候，你能帮助他吗？
知识点1 函数的零点
(1)函数的零点
对于函数y＝f (x)，把使________________叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)方程、函数、函数图象之间的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)的图象与________有公共点 函数y＝f (x)有________．
函数的零点是函数与x轴的交点吗？
知识点2 函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有____________，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f (a)f (b)<0．两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f (a)·f (b)>0，则f (x)在[a，b]内无零点． ( )
(2)设f (x)＝，由于f (－1)f (1)<0，所以f (x)＝在(－1，1)内有零点． ( )
(3)若f (x)在(a，b)内有零点，则f (a)·f (b) <0． ( )
(4)若函数f (x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在区间(a，b)内只有一个零点． ( )
类型1 求函数的零点
【例1】 (1)函数f (x)＝的零点为________；
(2)若函数f (x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，则函数g(x)＝bx2＋ax的零点为________．
[尝试解答]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟进训练]
1．(1)若函数f (x)＝＋a的零点是1，则实数a＝________；
(2)函数f (x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
类型2 确定函数零点所在的区间
【例2】 (1)函数f (x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3，4) B．(2，e) C．(1，2) D．(0，1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
[尝试解答]
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间________代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值________，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为________且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为________且函数连续，则在该区间内____________零点．
[跟进训练]
2．若函数f (x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0 C．1 D．3
类型3 函数零点个数问题
判断函数零点个数
【例3】 判断下列函数零点的个数：
(1)f (x)＝x2－；
(2)f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2．
[尝试解答]
根据零点个数求参数范围
【例4】 函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有两个零点，则实数b的取值范围是( )
A．0C．b<0 D．－1思路导引：
[尝试解答]
判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f (x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f (x)零点的个数．
(3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f (x)零点的个数．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝则函数g(x) ＝f (x)＋x－3的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若函数y＝|x2－4x＋3|－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
1．函数y＝2x－1的零点是( )
A． B． C． D．2
2．函数f (x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B． C． D．
3．对于函数f (x)，若f (－1)·f (3)<0，则( )
A．方程f (x)＝0一定有实数解
B．方程f (x)＝0一定无实数解
C．方程f (x)＝0一定有两实根
D．方程f (x)＝0可能无实数解
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系？
2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？
3．探求函数零点个数的方法有哪些？4.5.2 用二分法求方程的近似解
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(数学抽象)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(逻辑推理、数学运算)
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了．
问题：你知道他是如何做到的吗？
知识点1 二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
若函数y＝f (x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示] 不一定．二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f (x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
知识点2 二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)＜0．
(2)求区间(a，b)的中点c．
(3)计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f (a)f (c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f (c)f (b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． ( )
(2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． ( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
类型1 二分法概念的理解
【例1】 (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
(2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
(1)ACD (2)A [(1)二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．故选ACD．
(2)由题意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9．故选A．]
运用二分法求函数的零点应具备的2个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
[跟进训练]
1．(多选)下列关于函数y＝f (x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是( )
A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用
B．若x0是f (x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
AC [结合二分法的原理可知AC正确．]
类型2 用二分法求方程的近似解
【例2】 用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[解] 令f (x)＝2x＋x－4，
则f (1)＝2＋1－4<0，f (2)＝22＋2－4>0．
区间 区间中点值xn f (xn)的值及符号
(1，2) x1＝1.5 f (x1)＝0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f (x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f (x3)＝－0.035<0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解可取为1.375．
利用二分法求方程近似解的过程图示
[跟进训练]
2．(多选)用二分法求函数f (x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根据上述数据，可得f (x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为( )
A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096
BCD [已知f (0.093 75)<0，f (0.125)>0，则函数f (x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意．]
1．用二分法求函数y＝f (x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f (2)f (4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f (2)f (x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4) B．(2，3) C．(3，4) D．无法确定
[答案] B
2．已知函数f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3
D [图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点的个数为3．故选D．]
3．用二分法求函数f (x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|a－b|小于精确度ε时，便可结束计算．故选B．]
4．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f (x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．(答案不唯一)
1.56 [f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)<0，
且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，
∴区间(1.556 2，1.562 5)内的任意实数均是函数f (x)的零点，不妨取1.56．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？
[提示] 函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．
2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
[提示] 当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
3．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
[提示] 精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
二分法在搜索中的应用
日常生活中，我们经常要利用计算机、网络来搜索信息．二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色．
下图中的15个数是按从小到大排列的．
2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77
如果随机给出一个不大于100的自然数x，要让计算机查找x是否在上面这列数中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结果呢？
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较，那么在有些情况下，只要比较1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情况下，却要比较15次才能完成任务(例如x＝80)．
如果我们用二分法的思想来查找，情况就不一样了：每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可能的位置范围．例如，x＝13时的查找过程可用下图表示．
由此不难看出，不管给出的是什么数，最多4次就能完成任务．
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！4.5.2 用二分法求方程的近似解
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(数学抽象)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(逻辑推理、数学运算)
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km 长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了．
问题：你知道他是如何做到的吗？
知识点1 二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象_______且_______的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
若函数y＝f (x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
知识点2 二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)＜0．
(2)求区间(a，b)的中点c．
(3)计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f (a)f (c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f (c)f (b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． ( )
(2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． ( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． ( )
类型1 二分法概念的理解
【例1】 (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
(2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
[尝试解答]
运用二分法求函数的零点应具备的2个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
[跟进训练]
1．(多选)下列关于函数y＝f (x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的是( )
A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用
B．若x0是f (x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
类型2 用二分法求方程的近似解
【例2】 用二分法求2x＋x＝4在区间(1，2)内的近似解(精确度为0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[尝试解答]
利用二分法求方程近似解的过程图示
[跟进训练]
2．(多选)用二分法求函数f (x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f (x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根据上述数据，可得f (x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为( )
A．0.625 B．0.093 75
C．0.125 D．0.096
1．用二分法求函数y＝f (x)在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f (2)f (4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f (2)f (x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4) B．(2，3)
C．(3，4) D．无法确定
2．已知函数f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3
3．用二分法求函数f (x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
4．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f (x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．(答案不唯一)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？
2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
3．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
二分法在搜索中的应用
日常生活中，我们经常要利用计算机、网络来搜索信息．二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色．
下图中的15个数是按从小到大排列的．
2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77
如果随机给出一个不大于100的自然数x，要让计算机查找x是否在上面这列数中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结果呢？
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较，那么在有些情况下，只要比较1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情况下，却要比较15次才能完成任务(例如x＝80)．
如果我们用二分法的思想来查找，情况就不一样了：每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可能的位置范围．例如，x＝13时的查找过程可用下图表示．
由此不难看出，不管给出的是什么数，最多4次就能完成任务．
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！4.5.3 函数模型的应用
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算)
2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量呈对数增长．
知识点 常见函数模型
一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型 y＝
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． ( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． ( )
(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型． ( )
(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3) × (4) ×
类型1 利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 (2022·江西赣州月考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．72 B．74 C．76 D．78
B [由于L＝，所以L＝，
依题意0.4＝，则D＝，L＝0.5×．
由L＝0.5×<0.2，得
≈73.9，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．故选B．]
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[跟进训练]
1．(2022·河南新乡期中)塑料主要分为可降解塑料和不可降解塑料，其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解，而可降解塑料只需5～8年就可完全分解．现有某种可降解塑料的分解率y与时间x(月)近似满足函数关系式y＝mnx(其中m，n为非零常数)．当经过28个月时，这种可降解塑料的分解率为10%，当经过56个月时，这种可降解塑料的分解率为50%，则这种可降解塑料完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据：取lg 2＝0.3)( )
A．86个月 B．80个月 C．68个月 D．60个月
C [由题意得得
所以y＝．令y＝＝1，得＝50，所以x＝28log550＝28(log525＋log52)＝28＝28＝68．
故选C．]
类型2 自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 (2022·浙江杭州期末)根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，12]时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，且过点B(12，78)；当t∈(12，40]时，曲线是函数p＝loga(t－7)＋79(0(1)试求p＝f (t)的函数关系式；
(2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？
[解] (1) t∈(0，12]，p＝f (t)＝m(t－10)2＋80，
将(12，78)代入得m＝－．
所以t∈(0，12]时，
p＝f (t)＝－(t－10)2＋80．
将(12，78)代入p＝f (t)＝loga(t－7)＋79得a＝，
所以t∈(12，40]时，p＝f (t)＝＋79．
所以p＝f (t)＝
(2)当t∈(0，12]时，由－(t－10)2＋80≥77得10－≤t≤12．
当t∈(12，40]时，由＋79≥77得12所以当t∈(0，10－)和(32，40]这两个时间段时老师多提问，增加活动环节．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
[跟进训练]
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得
lg 1.08x≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥，
故x≥，
因为lg 108＝lg (33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥≈≈14.3．约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
类型3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】 (2022·厦门期末)在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：时)的关系为：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①y＝alog2x＋b，②y＝a＋b，③y＝2x－a＋b．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．
[解] (1)依题意，所选函数必须满足三个条件：
①定义域包含[2，＋∞)；
②增函数；
③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
因为函数y＝a＋b的定义域为[3，＋∞)，x＝2时无意义，故不符合实际的函数模型；函数y＝2x－a＋b随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故不符合实际的函数模型．因为函数y＝alog2x＋b可以同时符合上述条件，所以应该选择函数y＝alog2x＋b．
(2)依题意知
解得所以y＝log2x＋3．
令y＝log2x＋3≥5，解得x≥16．
所以，至少再经过14个小时，细菌数量达到5百万个．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[跟进训练]
3．数据显示，某新创业的IT公司2022年上半年五个月的收入情况如表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入/万元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据，在建立该公司2022年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y＝与y＝供选择．
(1)你认为哪个函数模型较好，建立坐标系画出散点图，并结合散点图简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1；月份取整数)
[解] (1)根据表格提供的数据，画出散点图以及函数y＝与y＝的图象：
观察发现，这些点基本上是落在函数y＝图象上或附近，因此用y＝这一函数模型．
(2)当＝100时，2x＝300，
∵28＝256<300，29＝512>300，且1≤x≤12，x∈N，∴x＝9，
∴大约在9月份该公司的月收入会超过100万元．
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝log2t
D [由题图知，该函数可能是y＝log2t．故选D．]
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝·m
B．y＝·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
A [设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%．由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝·m．故选A．]
3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则下列函数(其中a，b为待定系数)中，与x，y的函数关系最接近的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝bx
C．y＝ax2＋b D．y＝
B [散点图如图：
由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D．故选B．]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
4 [设至少要洗x次，则≤，
所以x≥≈3.322，
所以至少需清洗4次．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示] 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：4.5.3 函数模型的应用
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算)
2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模)
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析)
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量呈对数增长．
知识点 常见函数模型
一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
分段函数模型 y＝
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． ( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． ( )
(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型． ( )
(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． ( )
类型1 利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 (2022·江西赣州月考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．72 B．74 C．76 D．78
[尝试解答]
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[跟进训练]
1．(2022·河南新乡期中)塑料主要分为可降解塑料和不可降解塑料，其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解，而可降解塑料只需5～8年就可完全分解．现有某种可降解塑料的分解率y与时间x(月)近似满足函数关系式y＝mnx(其中m，n为非零常数)．当经过28个月时，这种可降解塑料的分解率为10%，当经过56个月时，这种可降解塑料的分解率为50%，则这种可降解塑料完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据：取lg 2＝0.3)( )
A．86个月 B．80个月
C．68个月 D．60个月
类型2 自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 (2022·浙江杭州期末)根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，12]时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，且过点B(12，78)；当t∈(12，40]时，曲线是函数p＝loga(t－7)＋79(0(1)试求p＝f (t)的函数关系式；
(2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？
[尝试解答]
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
[跟进训练]
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
类型3 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】 (2022·厦门期末)在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：时)的关系为：
x 2 3 4 5 6 8
y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①y＝alog2x＋b，②y＝a＋b，③y＝2x－a＋b．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．
[尝试解答]
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出________．
(2)通过观察散点图，画出________________________．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的_________________________________________．
(4)利用____________，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[跟进训练]
3．数据显示，某新创业的IT公司2022年上半年五个月的收入情况如表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入/万元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据，在建立该公司2022年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y＝与y＝供选择．
(1)你认为哪个函数模型较好，建立坐标系画出散点图，并结合散点图简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1；月份取整数)
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
A．y＝·m
B．y＝·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则下列函数(其中a，b为待定系数)中，与x，y的函数关系最接近的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝bx
C．y＝ax2＋b D．y＝
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？