第4章 章末综合提升
类型1 指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．掌握指数与对数的运算性质，提升数学运算素养．
【例1】 (1)(多选)(2022·云南师大附中期中)下列计算正确的是( )
A．－(6)0－＝－1
B．＋ln (ln e)＝7
C．log23×log34＝log67
D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
(2)(2022·江苏矿大附中月考)若实数a，b，c满足3a＝4，4b＝5，5c＝9，则abc＝________．
(1)ABD (2)2 [(1)对于A中，原式＝－1－＝－1，所以A正确；
对于B中，原式＝＋ln (ln e)＝7＋0＝7，所以B正确；
对于C中，原式＝××＝2，所以C错误；
对于D中，原式＝lg 52＋lg 23
－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，所以D正确．故选ABD．
(2)因为3a＝4，4b＝5，5c＝9，
所以a＝log34，b＝log45，c＝log59，
故abc＝log34×log45×log59，
由换底公式可得：abc＝log34××＝log39＝2．]
类型2 指数函数、对数函数的图象及应用
1．函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象．
2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
【例2】 (1)已知a>0且a≠1，则函数f (x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是( )
A B
C D
(2)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<－1 B．a>0，－1
C．0(1)C (2)D [(1)函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B；若01，则f (x)＝ax是增函数，此时g(x)＝是增函数，C满足．故选C．
(2)因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，
又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1类型3 指数函数、对数函数的性质及应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推理素养．
【例3】 (1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)设函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f (x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f (x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)C (2)A [(1)因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故，D错误．故选C．
(2)由题意可得，函数f (x)的定义域为(－1，1)，且f (－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．又f (x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0，1)上为增函数，故f (x)在(0，1)上为增函数．]
(3)[解] ①因为loga3>loga2，所以f (x)＝logax在[a，3a]上为增函数．
又f (x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3．
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－＋2＝＋．
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1．
所以y＝＋∈
．
类型4 函数的零点与方程的根
1．函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．
【例4】 (1)方程的根x0所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)已知函数f (x)＝其中m＞0．若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(1)B (2)(3，＋∞) [(1)令f (x)＝－，易知f (x)在R上单调递增，f (1)＝－<0，f (2)＝2－>0，
∴f (1)·f (2)<0，∴f (x)在(1，2)上有零点．故选B．
(2)如图，当x≤m时，f (x)＝|x|．
当x＞m时，f (x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数．
若存在实数b，使方程f (x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|．
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3．
故m的取值范围为(3，＋∞)．]
类型5 函数的实际应用
1．本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
2．掌握函数建模方法，提升数学建模素养．
【例5】 某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了．
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
[解] (1)根据题意，得p0＝p0e－k，
∴e－k＝，∴p(t)＝p0．
(2)由p(t)＝p0≤p0，
得≤10-3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30．
因此，至少需过滤30个小时．第4章 章末综合提升
类型1 指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．掌握指数与对数的运算性质，提升数学运算素养．
【例1】 (1)(多选)(2022·云南师大附中期中)下列计算正确的是( )
A．－(6)0－＝－1
B．＋ln (ln e)＝7
C．log23×log34＝log67
D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
(2)(2022·江苏矿大附中月考)若实数a，b，c满足3a＝4，4b＝5，5c＝9，则abc＝______．
[尝试解答]
类型2 指数函数、对数函数的图象及应用
1．函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象．
2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
【例2】 (1)已知a>0且a≠1，则函数f (x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是( )
A B C D
(2)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0[尝试解答]
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用
1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推理素养．
【例3】 (1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)设函数f (x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f (x)是( )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f (x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
[尝试解答]
类型4 函数的零点与方程的根
1．函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．
【例4】 (1)方程＝的根x0所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)已知函数f (x)＝其中m＞0．若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
[尝试解答]
类型5 函数的实际应用
1．本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
2．掌握函数建模方法，提升数学建模素养．
【例5】 某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了．
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
[尝试解答]
