5.2.1 三角函数的概念
第1课时 任意角三角函数的定义
借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象、直观想象)
初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有sin α＝，cos α＝，tan α＝．
当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？
知识点 任意角的三角函数的定义
?条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α
余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α
正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cosx，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠Z
三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？
[提示] 无关．三角函数值是比值，是一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积． ( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大． ( )
[答案] (1)× (2)×
2．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．
[答案] －
类型1 单位圆法求三角函数值
【例1】 (源自北师大版教材)在单位圆中，α＝－．
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值．
[解] (1)如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M．于是α＝∠MOP＝－即为所作的角．
(2)设点P(u，v)，则u＝，v＝－，sin ＝v＝－，cos ＝u＝．
首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解．
[跟进训练]
1．求的正弦、余弦和正切值．
[解] 在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ，cos ＝－，tan ＝－．
类型2 坐标法求三角函数值
角的终边过定点
【例2】 若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[解] 因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝，cos α＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝，cos α＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
角的终边在定直线上
【例3】 已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] ∵角α的终边落在直线x＋y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(t，－t)(t≠0)．
则r＝＝2|t|．
当t>0时，r＝2t，sin α＝＝－，cos α＝，tan α＝＝－；
当t<0时，r＝－2t，sin α＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－．
利用定义的推广形式求值的方法
(1)取点：在终边上取异于原点的任意一点P(x，y)；
(2)计算r：r＝|OP|＝；
(3)求值：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[跟进训练]
2．已知角α的终边在函数y＝－x(x>0)的图象上，求sin α，cos α的值．
[解] 在函数y＝－x(x>0)的图象上取一点(2，－1)，则sin α＝＝－，cos α＝．
1．(多选)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则下列表示正确的是( )
A．sin α＝－ B．cos α＝
C．tan α＝－ D．tan α＝－
[答案] ABD
2．已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1 C． D．－
B [由三角函数定义知tan α＝＝－1．故选B．]
3．sin ＝________，cosπ＝________．
1 －1 [∵单位圆x2＋y2＝1与角，π的终边的交点坐标分别为(0，1)，(－1，0)，
∴sin ＝1，cos π＝－1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？
[提示] sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
2．若角α的终边上任意一点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？
[提示] sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．若已知角α终边上的点的坐标含参数，求解时注意什么？
[提示] 若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．5.2.1 三角函数的概念
第1课时 任意角三角函数的定义
借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象、直观想象)
初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有sin α＝，cos α＝，tan α＝．
当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？
知识点 任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 点P的________叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝________
余弦 点P的________叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝________
正切 点P的纵坐标与横坐标的________叫做α的正切，记作tan α，即＝______(x≠0)
三角 函数 正弦函数y＝sin x，x∈______ 余弦函数y＝cos x，x∈______ 正切函数y＝tan x，x≠________
三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积． ( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大． ( )
2．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．
类型1 单位圆法求三角函数值
【例1】 (源自北师大版教材)在单位圆中，α＝－．
(1)画出角α；
(2)求角α的正弦函数值和余弦函数值．
[尝试解答]
首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解．
[跟进训练]
1．求的正弦、余弦和正切值．
类型2 坐标法求三角函数值
角的终边过定点
【例2】 若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
[尝试解答]
角的终边在定直线上
【例3】 已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[尝试解答]
利用定义的推广形式求值的方法
(1)取点：在终边上取异于原点的任意一点P(x，y)；
(2)计算r：r＝|OP|＝________；
(3)求值：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝(x≠0)．
[跟进训练]
2．已知角α的终边在函数y＝－x的图象上，求sin α，cos α的值．
1．(多选)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则下列表示正确的是( )
A．sin α＝－ B．cos α＝
C．tan α＝－ D．tan α＝－
2．已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
3．sin ＝________，cos π＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？
2．若角α的终边上任意一点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？
3．若已知角α终边上的点的坐标含参数，求解时注意什么？第2课时 三角函数值的符号及公式一
1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理)
2．通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)
从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律．
知识点1 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点2 诱导公式一
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0． ( )
(2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． ( )
[答案] (1)√ (2)×
2．求值：
(1)sin 390°＝________；
(2)cos (－330°)＝________；
(3)tan 750°＝________．
(1) (2) (3) [(1)sin 390°＝sin (360°＋30°)＝sin 30°＝．
(2)cos (－330°)＝cos (－360°＋30°)＝cos 30°＝．
(3)tan 750°＝tan (720°＋30°)＝tan 30°＝．]
类型1 判断三角函数值的符号
【例1】 (源自人教B版教材)确定下列各值的符号．
(1)cos 260°；(2)sin ；(3)tan (－672°20′)；(4)tan ．
[解] (1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0．
(2)因为－是第四象限角，所以sin <0．
(3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan (－672°20′)>0．
(4)由＋2π，可知是第三象限角，所以tan >0．
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
[跟进训练]
1．判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos (－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5．
[解] (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，
∴sin 145°cos (－210°)＜0．
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0．
类型2 三角函数值符号的应用
【例2】 (源自湘教版教材)设sin θ<0且tan θ>0，试确定θ是第几象限角．
[解] 因为sin θ<0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为tan θ>0，所以θ的终边在第一、三象限．
因此满足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限角．
由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
[跟进训练]
2．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
(1)C (2)－2＜a≤3 [(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．故选C．
(2)因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3．]
类型3 诱导公式一的应用
【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin cos＋tan cos．
[解] (1)原式＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋．
(2)原式＝sin cos ＋tan cos
＝sin cos ＋tan cos ＝×＋1×．
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
[跟进训练]
3．化简下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos (－1 080°)；
(2)sin ＋cosπ·tan 4π．
[解] (1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
(2)sin ＋cos π·tan 4π
＝sin ＋cos π·tan 0
＝sin ＋0＝．
1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．故选B．]
2．sin (－315°)的值是( )
A．－ B．－ C． D．
C [sin (－315°)＝sin (－360°＋45°)＝sin 45°＝．故选C．]
3．(多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin (－100°) B．cos (－220°)
C．tan 10 D．cosπ
ABD [－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos (－220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0；cos π＝－1<0．]
4．计算：sin ＋cos＋tan ＝________．
2 [原式＝sin ＋cos ＋tan ＝sin ＋cos ＋tan ＋＋1＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．三角函数值的符号有何规律？
[提示] “一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？
[提示] (1)公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋2kπ，右边的角为α．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图(1)，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，如图(2)，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．
图(1) 图(2)第2课时 三角函数值的符号及公式一
1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理)
2．通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)
从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律．
知识点1 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二________，三______，四________”．
知识点2 诱导公式一
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0． ( )
(2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． ( )
2．求值：
(1)sin 390°＝________；
(2)cos (－330°)＝________；
(3)tan 750°＝________．
类型1 判断三角函数值的符号
【例1】 (源自人教B版教材)确定下列各值的符号．
(1)cos 260°；
(2)sin ；
(3)tan (－672°20′)；
(4)tan ．
[尝试解答]
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“____________________________”来判断．
[跟进训练]
1．判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos (－210°)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5．
类型2 三角函数值符号的应用
【例2】 (源自湘教版教材)设sin θ<0且 tan θ>0，试确定θ是第几象限角．
[尝试解答]
由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
[跟进训练]
2．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
类型3 诱导公式一的应用
【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin cos ＋tan cos ．
[尝试解答]
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
[跟进训练]
3．化简下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)；
(2)sin ＋cos π·tan 4π．
1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．sin (－315°)的值是( )
A．－ B．－ C． D．
3．(多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin (－100°) B．cos (－220°)
C．tan 10 D．cos π
4．计算：sin ＋cos ＋tan ＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．三角函数值的符号有何规律？
2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图(1)，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，如图(2)，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．
图(1) 图(2)5.2.2 同角三角函数的基本关系
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(逻辑推理)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(数学运算)
我们已经知道，如果P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝，cos α＝．
如果选取的P点坐标满足x2＋y2＝1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个表示吗？
知识点 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：＝tan α．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1． ( )
(2)sin2＋cos2＝1． ( )
(3)对任意的角α，都有tan α＝成立． ( )
(4)若sin α＝，则cos α＝． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
类型1 直接应用同角三角函数关系求值
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[解] ∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝，
tan α＝＝－．
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝．
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cosθ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cosθ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
[跟进训练]
1．(源自苏教版教材)已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
[解] 由＝tan α＝，得sin α＝cos α．
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1．
解得cos2α＝．
又由tan α>0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则
cos α＝，tan α＝，sin α＝；
若α是第三象限角，则
cos α＝－，tan α＝，sin α＝－．
类型2 变形应用同角三角函数关系求值
弦切互化求值
【例2】 已知tan α＝3，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sinαcos α＋1．
[解] (1)法一：(切化弦法)
由 tan α＝3，得sin α＝3cos α．
所以原式＝．
法二：(弦化切法)
由tan α＝3得，
原式＝．
(2)原式＝＝＋1＝．
“sin α±cos α”“sin αcos α”型求值问题
【例3】 已知sin α＋cos α＝－，0<<π．
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[解] (1)由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，
所以sin αcos α＝－．
(2)因为0<<π，
所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0．
所以sin α－cos α＝．
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
2．已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如分子、分母同时除以cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如求解．
[跟进训练]
2．(1)已知sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________．
(2)已知2cos2α－3sinαcos α＝，则tan α＝______．
(1)－ (2)或－ [(1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈，
故sin α－cos α＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sinαcos α＝＝，
整理得9tan2α＋30tanα－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－．]
类型3 应用同角三角函数关系式化简证明
【例4】 (1)化简＝________．
(2)求证：．
(1)1 [原式＝＝＝1．]
(2)[证明] 法一：(切化弦)
左边＝，
右边＝＝．
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)，
所以，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝＝
＝＝＝＝左边，
所以原等式成立．
1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1．
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[跟进训练]
3．(1)化简tan α，其中α是第二象限角．
(2)求证：＝．
(1)[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0．
故tan α＝tan α＝tan α·＝＝－1．
(2)[证明] 左边＝＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
1．若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )
A． B．－ C． D．－
C [因为sin α＝－，且α为第三象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝．]
2．已知tan α＝－，则的值是( )
A． B．3 C．－ D．－3
A [因为tan α＝－，
所以＝＝．故选A．]
3．cos2x等于( )
A．tanx B．sin x C．cosx D．
D [原式＝·cos2x＝·cos2x
＝·cos2x＝．故选D．]
4．已知sin θ＋cosθ＝，则tan θ＋＝________．
－4 [∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－，
∴tan θ＋＋＝－4．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．sin α，cos α，tan α间存在怎样的等量关系？
[提示] sin2 α＋cos2 α＝1，tanα＝，sin2α＝1－cos2 α，cos2 α＝1－sin2 α，sinα＝tan αcos α，…．
2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？
[提示] 借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α实现三者之间的转化．
3．常用哪些方法证明三角恒等式？
[提示] (1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)左右归一．
(4)比较法．
(5)综合法等．
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r>0，此时
(1)称为α的正割，记作sec α，即sec α＝；
(2)称为α的余割，记作csc α，即csc α＝；
(3)称为α的余切，记作cot α，即cot α＝．
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义．
同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＋1＝＝＝sec2α，
因此tan2α＋1＝sec2α．
类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α．
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即
cosαsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αcot α＝1．
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！5.2.2 同角三角函数的基本关系
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(逻辑推理)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(数学运算)
我们已经知道，如果P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝，cos α＝．
如果选取的P点坐标满足x2＋y2＝1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个表示吗？
知识点 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________；
(2)商数关系：＝________．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1． ( )
(2)sin2＋cos2＝1． ( )
(3)对任意的角α，都有tan α＝成立． ( )
(4)若sin α＝，则cos α＝． ( )
类型1 直接应用同角三角函数关系求值
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[尝试解答]
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
[跟进训练]
1．(源自苏教版教材)已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
类型2 变形应用同角三角函数关系求值
弦切互化求值
【例2】 已知tan α＝3，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sinαcos α＋1．
[尝试解答]
“sin α±cos α”“sin αcos α”型求值问题
【例3】 已知sin α＋cos α＝－，0<α<π．
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[尝试解答]
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝________________．
2．已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以______________________；形如分子、分母同时除以________，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为________，转化为形如
求解．
[跟进训练]
2．(1)已知sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α ＝________．
(2)已知2cos2α－3sinαcos α＝，则tan α＝______．
类型3 应用同角三角函数关系式化简证明
【例4】 (1)化简＝________．
(2)求证：＝．
[尝试解答]
1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1．
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[跟进训练]
3．(1)化简tan α，其中α是第二象限角．
(2)求证：＝．
1．若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )
A． B．－ C． D．－
2．已知tan α＝－，则的值是( )
A． B．3 C．－ D．－3
3．cos2x等于( )
A．tanx B．sin x
C．cos x D．
4．已知sin θ＋cos θ＝，则tan θ＋＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．sin α，cos α，tan α间存在怎样的等量关系？
2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？
3．常用哪些方法证明三角恒等式？
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r>0，此时
(1)称为α的正割，记作sec α，即
sec α＝；
(2)称为α的余割，记作csc α，即
csc α＝；
(3)称为α的余切，记作cot α，即
cot α＝．
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义．
同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＋1
＝
＝＝sec2α，
因此tan2α＋1＝sec2α．
类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α．
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即
cosαsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αcot α＝1．
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！
