5.3 诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四
1．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．(逻辑推理)
2．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(数学运算)
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点 公式二～四
名称 终边关系 图示 公式
公 式 二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin (π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α
公 式 三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α
公 式 四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α
诱导公式中角α只能是锐角吗？
[提示] 诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z．
填空：
(1)若sin (π＋α)＝，则sin α＝________．
(2)若cos (π－α)＝，则cos α＝________．
(3)已知tan α＝6，则tan (－α)＝________．
(4)sin 585°＝________．
[答案] (1)－ (2)－ (3)－6 (4)－
类型1 给角求值问题
【例1】 (源自苏教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos；(3)tan (－1 560°)．
[解] (1)sin ＝sin ＝－sin ＝－．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－．
(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝．
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”－－用公式一或三来转化．
(2)“大化小”－－用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”－－用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”－－得到锐角的三角函数后求值．
[跟进训练]
1．计算：sin ＋tan －cos．
[解] 原式＝sin ＋tan －cos
＝sin ＋tan －cos
＝sin －tan ＋cos －1＋＝0．
类型2 给值(式)求值问题
【例2】 已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
思路导引：
[解] ∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin (α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝．
[母题探究]
本例条件不变，求cos (255°－α)的值．
[解] cos (255°－α)＝cos [180°－(α－75°)]
＝－cos (α－75°)＝．
解决条件求值问题的技巧
[跟进训练]
2．已知cos，求cos－sin2的值．
[解] 因为cos ＝cos
＝－cos ＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－，
所以cos －sin2＝－－＝－．
类型3 利用诱导公式化简
【例3】 化简：
(1)；
(2)．
[解] (1)原式＝＝＝－tan α．
(2)原式＝＝＝＝－1．
三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
[跟进训练]
3．tan (5π＋α)＝m，则的值为( )
A． B． C．－1 D．1
A [∵tan (5π＋α)＝tan α＝m，
∴
＝．故选A．]
1．计算：sin 210°＝( )
A． B．－ C． D．－
D [sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D．]
2．(多选)下列式子中正确的是( )
A．sin (π－α)＝－sin α B．cos (π＋α)＝－cos α
C．sin (π＋α)＝sin α D．sin (2π＋α)＝sin α
BD [A中sin (π－α)＝sin α，C中sin (π＋α)＝－sin α，B，D正确．]
3．已知sin (45°＋α)＝，则sin (135°－α)＝________．
[sin (135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]
＝sin (45°＋α)＝．]
4．化简：(1)＝________；
(2)＝________．
(1)－cos2α (2)－cosα [(1)
＝＝＝－cos2α．
(2)＝＝－cos α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能概括一下公式一～四的特征吗？
[提示] 诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”，或者简述为“函数名不变，符合看象限”．
2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
[提示] 5.3 诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四
1．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．(逻辑推理)
2．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(数学运算)
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点 公式二～四
名称 终边关系 图示 公式
公 式 二 角π＋α与角α的终边关于____对称 sin (π＋α)＝________， cos (π＋α)＝________， tan (π＋α)＝________
公 式 三 角－α与角α的终边关于______轴对称 sin (－α)＝________， cos (－α)＝________， tan (－α)＝________
公 式 四 角π－α与角α的终边关于____轴对称 sin (π－α)＝________， cos (π－α)＝________， tan (π－α)＝________
诱导公式中角α只能是锐角吗？
填空：
(1)若sin (π＋α)＝，则sin α＝________．
(2)若cos (π－α)＝，则cos α＝________．
(3)已知tan α＝6，则tan (－α)＝________．
(4)sin 585°＝________．
类型1 给角求值问题
【例1】 (源自苏教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)．
[尝试解答]
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
[跟进训练]
1．计算：sin ＋tan －cos ．
类型2 给值(式)求值问题
【例2】 已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
思路导引：
[尝试解答]
[母题探究]
本例条件不变，求cos (255°－α)的值．
解决条件求值问题的技巧
[跟进训练]
2．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
类型3 利用诱导公式化简
【例3】 化简：
(1)；
(2)．
[尝试解答]
三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
[跟进训练]
3．tan (5π＋α)＝m，则的值为( )
A． C．－1 D．1
1．计算：sin 210°＝( )
A． B．－ C． D．－
2．(多选)下列式子中正确的是( )
A．sin (π－α)＝－sin α
B．cos (π＋α)＝－cos α
C．sin (π＋α)＝sin α
D．sin (2π＋α)＝sin α
3．已知sin (45°＋α)＝，则sin (135°－α)＝________．
4．化简：(1)＝________；
(2)＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能概括一下公式一～四的特征吗？
2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？第2课时 公式五和公式六
1．了解公式五和公式六的推导方法．(逻辑推理)
2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算)
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
知识点 诱导公式五、六
名称 公式五 公式六
终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直
图形
公式 sin ＝cos α， cos＝sin α sin ＝cos α， cos＝－sin α
诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
如何由公式四及公式五推导公式六？
[提示] sin ＝sin ＝sin ＝cos α．
cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α．
(1)已知sin α＝，则cos＝________；
(2)若α∈，sin ，则cos α＝________．
(1) (2) [(1)∵sin α＝，∴cos ＝sin α＝．
(2)∵α∈，sin ＝cos α＝，∴cos α＝．]
类型1 利用诱导公式化简
【例1】 化简：．
[解] 原式＝
＝＝＝－＝－1．
三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
[跟进训练]
1．化简：·sin cos．
[解] 原式＝·sin ·(－sin α)
＝(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)＝－cos2α．
类型2 利用诱导公式求值
【例2】 (源自苏教版教材)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<<－90°，求cos (15°－α) 的值．
[解] 由－180°<<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，则sin (75°＋α)<0．
又cos (75°＋α)＝，
所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－＝－＝－．
利用互余(互补)关系求值的步骤
(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．
[跟进训练]
2．已知cos，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin ．
[解] (1)sin ＝sin ＝cos ．
(2)sin ＝sin
＝－sin ＝－cos ＝－．
类型3 诱导公式的综合应用
【例3】 已知f (α)＝．
(1)若α＝－，求f (α)的值；
(2)若α为第二象限角，且cos，求f (α)的值．
[解] (1)∵f (α)＝
＝＝cos α，
∴f ＝cos ＝cos ．
(2)∵cos ，
∴sin α＝．
∵α为第二象限角，
∴f (α)＝cos α＝－＝－．
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看名：一般是弦切互化．
三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟进训练]
3．在△ABC中，已知sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．
[解] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．
又sin ＝sin ，∴sin ＝sin ，
∴sin ＝sin ，∴cos C＝cos B，
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形．
1．已知sin α＝，则cos等于( )
A． B． C．－ D．－
C [cos ＝－sin α＝－．]
2．(多选)下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin (π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
CD [sin (π＋θ)＝－sin θ；sin ＝cos θ；
cos ＝sin θ；cos ＝sin θ．故选CD．]
3．已知sin ，则cos的值为( )
A． B．－ C． D．－
C [cos ＝cos ＝sin ．]
4．化简sin (π＋α)cos＋sin cos (π＋α)＝________．
－1 [原式＝(－sin α)sin α＋cos α(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝－1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？
[提示] 公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述诱导公式一～六？
[提示] “奇变偶不变、符号看象限”．第2课时 公式五和公式六
1．了解公式五和公式六的推导方法．(逻辑推理)
2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算)
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
知识点 诱导公式五、六
名称 公式五 公式六
终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直
图形
公式 sin ＝______， cos ＝______ sin ＝______， cos ＝______
诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
如何由公式四及公式五推导公式六？
(1)已知sin α＝，则cos ＝________；
(2)若α∈，sin ＝，则cos α＝________．
类型1 利用诱导公式化简
【例1】 化简：．
[尝试解答]
三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
[跟进训练]
1．化简：·sin cos ．
类型2 利用诱导公式求值
【例2】 (源自苏教版教材)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α) 的值．
[尝试解答]
利用互余(互补)关系求值的步骤
(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．
[跟进训练]
2．已知cos ＝，求下列各式的值：
(1)sin ；(2)sin ．
类型3 诱导公式的综合应用
【例3】 已知f (α)＝．
(1)若α＝－，求f (α)的值；
(2)若α为第二象限角，且cos ＝，求f (α)的值．
[尝试解答]
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看名：一般是弦切互化．
三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟进训练]
3．在△ABC中，已知sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．
1．已知sin α＝，则cos 等于( )
A． C．－ D．－
2．(多选)下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin (π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
3．已知sin ＝，则cos 的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．化简sin (π＋α)cos ＋sin cos (π＋α)＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？
2．如何用一个口诀描述诱导公式一～六？
