5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．(直观想象)
2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题．(直观想象)
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 (0，0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展． ( )
(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． ( )
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． ( )
(4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． ( )
(5)将余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移个单位长度即可得到正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
类型1 正弦(余弦)函数图象的初步认识
【例1】 下列叙述中正确的个数是( )
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1 C．2 D．3
D [分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．故选D．]
正、余弦曲线的对称性
函数 对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1．
[跟进训练]
1．(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是( )
A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin (－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
BCD [由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．]
类型2 用“五点法”作三角函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[解] (1)①取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
②描点连线，如图所示．
(2)①取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1＋cos x 0 －1 －2 －1 0
②描点连线，如图所示．
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
[跟进训练]
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
[解] 取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
类型3 正弦(余弦)函数图象的应用
【例3】 利用正弦函数的图象，求满足sin x≥，x∈[0，2π]的x的集合．
思路导引：
[解] 在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象，如图，
由函数的图象知，sin ＝sin ．
根据图象可知，sin x≥的解集为．
[母题探究]
1．在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
[解] 在x∈[0，2π]上的解集为．
所以x∈R时，不等式的解集为．
2．求不等式cos x≤，x∈R的解集．
[解] 作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的3个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
[跟进训练]
3．利用正弦曲线，求满足sin x≤的x的集合．
[解] 首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和．
观察图象可知，在[0，2π]上，当x≤，或≤x时，不等式sin x≤成立．
所以sin x≤的解集为
．
1．(多选)用“五点法”画y＝3cos x，x∈[0，2π]的图象时，下列是关键点的是( )
A． B． C．(π，0) D．(2π，3)
BD [五个关键点依次为(0，3)，，(π，－3)，，(2π，3)．故选BD．]
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
B [根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．]
3．函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
A B
C D
B [y＝sin (－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称．故选B．]
4．不等式cos x0，x∈[0，2π]的解集为________．
[答案]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．画正(余)弦曲线的五个关键点分别是什么？
[提示] 正弦曲线：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦曲线：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．余弦曲线与正弦曲线的形状完全一样吗？如何通过平移余弦曲线得到正弦曲线？
[提示] 余弦曲线与正弦曲线形状相同；平移方法不唯一，如由y＝cos x的图象向右平移个单位长度可得y＝sin x的图象．
课时分层作业(四十八) 正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题
1．若点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
C [当x＝时，y＝sin ＝1，故－m＝1，m＝－1．故选C．]
2．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移π个单位长度
A [由于cos ＝sin x，所以只需将y＝cos x 的图象向右平移个单位长度即可．]
3．下列函数图象相同的是( )
A．f (x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x)
B．f (x)＝sin 与g(x)＝sin
C．f (x)＝sin x与g(x)＝sin (－x)
D．f (x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x
D [对于A，g(x)＝sin (π＋x)＝－sin x，故两函数图象不同；
对于B，f (x)＝－cos x，g(x)＝cos x，故两函数图象不同；
对于C，g(x)＝sin (－x)＝－sin x，故两函数图象不同；
对于D，f (x)＝sin (2π＋x)＝sin x＝g(x)，符合题意，故选D．]
4．函数y＝sin |x|的图象是( )
A B
C D
B [y＝sin |x|＝
结合选项可知B正确．]
5．(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是( )
A． B．
C． D．∪
AC [在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，
在(0，2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和．]
二、填空题
6．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
2 [由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]
7．函数y＝－cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为________．
(π，1) [函数y＝－cos x(x≥0)的图象如图所示：
则图象中与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．]
8．在[0，2π]内，不等式sin x－的解集为________．
[由图可知，当x∈时，不等式sin x－成立．
]
三、解答题
9．用“五点法”作下列函数的简图．
(1)y＝2sin x(x∈[0，2π])；
(2)y＝sin ．
[解] (1)列表如下：
x 0 π 2π
2sin x 0 2 0 －2 0
描点连线如图：
(2)列表如下：
x π 2π
sin 0 1 0 －1 0
描点连线如图：
10．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
A [在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．故选A．]
11．如图所示，函数y＝cos x·|tan x|的图象是( )
A B
C D
C [当0≤x＜时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；
当＜x≤π时，y＝cos x·|tan x|＝－sin x；
当π＜x＜时，y＝cos x·|tan x|＝sin x，故其图象为C．]
12．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________，所有的实数解的和为________．
2 0 [作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0．]
13．函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
4π [如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π．
]
14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y1．
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
[解] 列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y1．
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1a3或－1a1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)．
15．函数f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解] f (x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示，
若使f (x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3)．5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．(直观想象)
2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题．(直观想象)
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象 画法 五点法 五点法
关键 五点 ________， ，________， ，________ ________，， ________，， ________
正(余) 弦曲线 正(余)弦函数的______叫做正(余)弦曲线
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展． ( )
(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． ( )
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． ( )
(4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． ( )
(5)将余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移个单位长度即可得到正弦函数y＝sin x (x∈R)的图象． ( )
类型1 正弦(余弦)函数图象的初步认识
【例1】 下列叙述中正确的个数是( )
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1 C．2 D．3
[尝试解答]
正、余弦曲线的对称性
函数 对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1．
[跟进训练]
1．(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是( )
A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin (－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
类型2 用“五点法”作三角函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
[尝试解答]
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
[跟进训练]
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的图象．
类型3 正弦(余弦)函数图象的应用
【例3】 利用正弦函数的图象，求满足sin x≥，x∈[0，2π]的x的集合．
思路导引：作出直线y＝及函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象
[尝试解答]
[母题探究]
1．在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
2．求不等式cos x≤，x∈R的解集．
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的3个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
[跟进训练]
3．利用正弦曲线，求满足
1．(多选)用“五点法”画y＝3cos x，x∈[0，2π]的图象时，下列是关键点的是( )
A． B． C．(π，0) D．(2π，3)
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
3．函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
A B
C D
4．不等式cos x<0，x∈[0，2π]的解集为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．画正(余)弦曲线的五个关键点分别是什么？
2．余弦曲线与正弦曲线的形状完全一样吗？如何通过平移余弦曲线得到正弦曲线？5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)
2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1 函数的周期性
(1)周期函数：设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sin ＝sin ，则是函数y＝sin x的一个周期． ( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期． ( )
[答案] (1)× (2)×
2．函数y＝sin 的最小正周期为________，该函数是________函数(填奇偶性)．
2π 偶 [y＝sin ＝cos x，故此函数的最小正周期为2π且是偶函数．]
类型1 三角函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：
(1)f (x)＝cos ；(2)f (x)＝|sin x|．
[解] (1)法一(定义法)：
∵f (x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f (x＋π)，即f (x＋π)＝f (x)，
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
法二(公式法)：∵y＝cos ，
∴ω＝2．
又T＝＝π．
∴函数f (x)＝cos 的最小正周期T＝π．
(2)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，
∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，
∴f (x)的最小正周期为π．
法二(图象法)：
作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π．
求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
(2)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
(2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝|cos x|，x∈R．
[解] (1)因为7sin (x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π．
(2)因为sin 2(x＋π)＝sin (2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π．
(3) y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
类型2 三角函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝．
[解] (1)显然x∈R，f (x)＝cos ，
∵f (－x)＝cos ＝cos ＝f (x)，
∴f (x)是偶函数．
(2)由得cos x＝，
∴f (0)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f (x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵1＋sin x≠0，
∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
[跟进训练]
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；(2)f (x)＝cos sin ．
[解] (1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．
(2)f (x)的定义域为R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．
因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．
类型3 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f 等于( )
A．－ B． C．－ D．
(1)D (2)D [(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．故选D．
(2)f ＝f ＝f
＝f ＝f ＝f ＝sin ．]
[母题探究]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解] f ＝f ＝f
＝－f ＝－sin ＝－．
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[跟进训练]
3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是( )
A B
C D
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 023)＝________．
(1)B (2)3 [(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，
∴f (2 023)＝f (3×674＋1)＝f (1)＝f (－1)＝3．]
1．函数y＝sin 的最小正周期为( )
A．π B．2π C．4π D．
C [T＝＝4π．故选C．]
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
A [f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]
3．函数f (x)＝7sin 是( )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
A [∵f (x)＝7cos x，∴T＝3π，为偶函数．故选A．]
4．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________．
－3 [由已知得f (x＋3)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
[提示] 不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示] 函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝．
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)
2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1 函数的周期性
(1)周期函数：设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个________T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________，那么函数f (x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的__________，那么这个最小__________就叫做f (x)的最小正周期．
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 ________________ 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π ________
奇偶性 ________ ________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sin ＝sin ，则是函数y＝sin x的一个周期． ( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期． ( )
2．函数y＝sin 的最小正周期为______，该函数是________函数(填奇偶性)．
类型1 三角函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：
(1)f (x)＝cos ；
(2)f (x)＝|sin x|．
[尝试解答]
求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
(2)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|A sin (ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝7sin x，x∈R；
(2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝|cos x|，x∈R．
类型2 三角函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝．
[尝试解答]
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
[跟进训练]
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x sin (π－x)；
(2)f (x)＝cos sin ．
类型3 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f 等于( )
A．－ B． C．－ D．
[尝试解答]
[母题探究]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[跟进训练]
3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是( )
A B
C D
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 023)＝________．
1．函数y＝sin 的最小正周期为( )
A．π B．2π C．4π D．
2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数f (x)＝7sin 是( )
A．周期为3π的偶函数
B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数
D．周期为的偶函数
4．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？
2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？第2课时 单调性与最值
1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算)
2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该工具包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)几个循环路径．正弦曲线、余弦曲线也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它们的哪些性质？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
单调 性 在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数． ( )
(2)存在x∈R满足cos x＝1.2． ( )
(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0． ( )
(4)函数y＝sin x的增区间恰好是y＝sin (－x)的减区间． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝________．
2 π＋2kπ，k∈Z [当x＝π＋2kπ，k∈Z时y＝－2cos x取得最大值2．]
3．函数y＝sin x的图象的对称轴方程为________，对称中心为________．
x＝＋kπ，k∈Z (kπ，0)，k∈Z
类型1 求正弦函数、余弦函数的单调区间
【例1】 求函数y＝2sin 的单调区间．
[解] 令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin 也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z)．
[母题探究]
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
[解] 由例题知f (x)＝2sin 的单调递增区间为k∈Z．
又∵x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为．
∴函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
[解] y＝sin ＝－sin ，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin 的单调递增区间为，k∈Z．
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)求函数y＝cos 的单调递增区间．
[解] cos ＝cos ．
令z＝2x－，函数y＝cos z的单调递增区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z．
由π＋2kπ≤2x－≤2π＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
因此，函数y＝cos 的单调递增区间是，k∈Z．
类型2 利用三角函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos 与cos ．
[解] (1)∵－＜－＜－，且y＝sin x在上是单调递增的，
∴sin ＞sin ．
(2)sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°．
(3)cos ＝cos π
＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π
＝cos ＝cos ．
∵0＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是单调递减的，
∴cos π＜cos ，
即cos ＜cos ．
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
[跟进训练]
2．比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；
(2)cos 1，sin 1．
[解] (1)cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0＜＜π，
而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ＞cos ，即cos ＞cos ．
(2)因为cos 1＝sin ，
而0＜－1＜1＜，且y＝sin x在上单调递增，所以sin ＜sin 1，即cos 1＜sin 1．
类型3 正弦函数、余弦函数的最值问题
正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例3】 求函数y＝2cos ，x∈的值域．
[解] ∵－x，∴02x＋，
∴－cos 1，
∴函数y＝2cos ，x∈的值域为(－1，2)．
二次函数型三角函数最值(值域)问题
【例4】 求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
思路导引：
[解] y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx
＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sin x－2)2＋5．
所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4．
所以ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是．
三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
[跟进训练]
3．求函数y＝cos2x－sinx，x∈的最值．
[解] y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－＋．
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－．
1．下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
D [对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故B错误，D正确．]
2．y＝2cos x的值域是( )
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[－2，0] D．R
A [因为x∈R，所以y＝2cos x∈[－2，2]．故选A．]
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
＞ [sin ＝sin ＝sin ，
因为0＜，y＝sin x在上是单调递增函数，所以sin ＜sin ，即sin ＞sin ．]
4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间为________．
(k∈Z) [求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数y＝1－sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示] 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
[提示] 比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示] 单调性法、配方法或换元法等．第2课时 单调性与最值
1．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(数学运算)
2．能利用单调性比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题．(逻辑推理、数学运算)
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该工具包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)几个循环路径．正弦曲线、余弦曲线也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它们的哪些性质？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 ________ ________
单调 性 在(k∈Z)上单调递增，在(k∈Z)上单调递减 在________________上单调递增， 在__________________上单调递减
最值 x＝____________时，ymax＝1；x＝______________时，ymin＝－1 x＝__________时，ymax＝1；x＝____________时，ymin＝－1
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数． ( )
(2)存在x∈R满足cos x＝1.2． ( )
(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0． ( )
(4)函数y＝sin x的增区间恰好是y＝sin (－x)的减区间． ( )
2．函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝________．
3．函数y＝sin x的图象的对称轴方程为________，对称中心为________．
类型1 求正弦函数、余弦函数的单调区间
【例1】 求函数y＝2sin 的单调区间．
[尝试解答]
[母题探究]
1．求函数f (x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调区间．
2．求函数y＝sin 的单调递增区间．
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合法：结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)整体代换：在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
[跟进训练]
1．(源自湘教版教材)求函数y＝cos 的单调递增区间．
类型2 利用三角函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos 与cos ．
[尝试解答]
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
[跟进训练]
2．比较下列各组数的大小：
(1)cos ，cos ；(2)cos 1，sin1．
类型3 正弦函数、余弦函数的最值问题
正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例3】 求函数y＝2cos ，x∈的值域．
[尝试解答]
二次函数型三角函数最值(值域)问题
【例4】 求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
思路导引：
[尝试解答]
三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的________，注意对________的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得________的范围，然后求得________________________的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝________，转化为二次函数y＝____________求最值，t的范围需要根据________来确定．
[跟进训练]
3．求函数y＝cos2x－sinx，x∈的最值．
1．下列命题中正确的是( )
A．y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B．y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C．y＝cos x在上单调递减
D．y＝sin x在上单调递增
2．y＝2cos x的值域是( )
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[－2，0] D．R
3．sin ________sin (填“＞”或“＜”)．
4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？5.4.3 正切函数的性质与图象
1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)
2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
类比借助单位圆绘制函数y＝sin x图象的方法，先画出y＝tan x的图象，进而借助图象分析函数性质，这就是本节课的知识，让我们来一起学习．
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域 _
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ，k∈Z
单调性 在每一个区间，k∈Z上都单调递增
正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？
[提示] 不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R． ( )
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． ( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
类型1 正切函数的图象
【例1】 函数y＝tan 在一个周期内的图象是( )
A B C D
A [法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．
法二：当x＝时，tan ＝0，排除C、D．
当x＝时，tan ＝tan ，无意义，排除B．故选A．]
解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[跟进训练]
1．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
a b
c d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－
(1)D (2)AD [(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D．
(2)令2x－＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，∴直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan 的图象不相交，
令k＝－1，得x＝－，令k＝0，得x＝．]
类型2 正切函数的周期性、奇偶性与对称性
【例2】 (1)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(2)y＝tan 的最小正周期为________；对称中心为________．
(1)A (2) (k∈Z) [(1)由题意可知，自变量x的取值范围为．
又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故选A．
(2)T＝，令2x＋(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)．
所以对称中心为(k∈Z)．]
与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[跟进训练]
2．(1)函数y＝tan 的一个对称中心是( )
A．(0，0) B． C． D．(π，0)
(2)函数f (x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
(1)C (2)D [(1)令x＋，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z．令k＝2，可得函数的一个对称中心为．
(2)f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)为偶函数，T＝．故选D．]
类型3 正切函数的单调性
比较大小
【例3】 (源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
[解] (1)由于 －－π－3.1－3－π，
且函数y＝tan x 在区间上单调递增，
因此tan (－3.1)tan (－3)．
(2)由于－＋π＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan tan ．
求正切函数的单调区间
【例4】 求函数y＝3tan 的单调区间．
[解] y＝3tan ＝－3tan ，
由－＋kπ＜2x－＋kπ，k∈Z得，
－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以y＝3tan 的单调递减区间为，k∈Z．
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπωx＋φ＋kπ，k∈Z即可；当ω0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[跟进训练]
3．(1)函数y＝tan 的单调递增区间为________．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；
②tan π________tan ．
(1)，k∈Z (2)①> ②> [(1)由kπ－x－kπ＋，k∈Z，得kπ－xkπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．
(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在上单调递增，
所以tan 220°>tan 200°．
②tan π＝tan ＝tan ，tan ＝tan ＝tan ，
因为－，
y＝tan x在上单调递增，所以tan ，
即tan π>tan ．]
1．函数y＝2tan 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
B [T＝．故选B．]
2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的定义域是
C．f (x)在上单调递增
D．y＝f (x)的图象的对称中心是，k∈Z
ACD [f (x)的定义域为，B错误；f (－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f (x)，∴f (x)是奇函数，A正确；令－＋kπ2x＋kπ，k∈Z，则－＋x＋，k∈Z，故f (x)在上单调递增，C正确；令2x＝，k∈Z，则x＝，k∈Z，故y＝f (x)的图象的对称中心是，k∈Z，D正确．故选ACD．]
3．不等式tan x≥1的解集为________．
[因为tan x≥1＝tan ，
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z．]
4．比较大小：tan ________tan ．
[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0，y＝tan x在上单调递增，
所以tan tan ，即tan tan ．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]
性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、 余弦函数(y＝cos x)
定义域 R
值域 R [－1，1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个5.4.3 正切函数的性质与图象
1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象)
2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算)
类比借助单位圆绘制函数y＝sin x图象的方法，先画出y＝tan x的图象，进而借助图象分析函数性质，这就是本节课的知识，让我们来一起学习．
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域 ____________________
值域 ____________________
周期 ____________________
奇偶性 ____________________
对称 中心 ____________________
单调性 在每一个区间____________________上都单调递增
正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R． ( )
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． ( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． ( )
类型1 正切函数的图象
【例1】 函数y＝tan 在一个周期内的图象是( )
A B
C D
[尝试解答]
解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法
(1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．
(2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．
[跟进训练]
1．(1)图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
a b
c d
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
(2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
类型2 正切函数的周期性、奇偶性与对称性
【例2】 (1)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(2)y＝tan 的最小正周期为______；对称中心为________．
[尝试解答]
与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系．
[跟进训练]
2．(1)函数y＝tan 的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
(2)函数f (x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
类型3 正切函数的单调性
比较大小
【例3】 (源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan(－3)，tan (－3.1)；(2)tan ，tan ．
[尝试解答]
求正切函数的单调区间
【例4】 求函数y＝3tan 的单调区间．
[尝试解答]
1．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0 时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
[跟进训练]
3．(1)函数y＝tan 的单调递增区间为________．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°________tan 200°；
②tan π________tan ．
1．函数y＝2tan 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
2．(多选)已知函数f (x)＝tan 2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的定义域是
C．f (x)在上单调递增
D．y＝f (x)的图象的对称中心是，k∈Z
3．不等式tan x≥1的解集为________．
4．比较大小：tan ________tan ．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
