5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(逻辑推理)
2．掌握两角差的余弦公式的应用．(数学运算)
观察下表中的数据：
cos (60°－30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos (120°－60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
－
从中你能发现cos (α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？
知识点 两角差的余弦公式
公式：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
(1)简记符号：C(α－β)．
(2)适用条件：公式中的角α，β是任意角．
(1)公式的左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．可用“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是角的组合，如cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α．
当α＝，β＝时，cos (α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α，β∈R时，cos (α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
[提示] 不恒成立，如当α＝，β＝时，cos (α－β)＝，cos α＋cos β＝．
cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________．
0 [原式＝cos (30°－120°)＝cos (－90°)＝0．]
类型1 给角求值问题
【例1】 (1)cos 15°的值是( )
A． B． C． D．
(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)＝________．
(1)D (2) [(1)cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×．
(2)原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－35°－25°)＝cos (－60°)＝cos 60°＝．]
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
[跟进训练]
1．求值：(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
(2)cos(θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)sin (θ＋10°)．
[解] (1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin (90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos (90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos (44°－14°)＝cos 30°＝．
(2)cos (θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)sin (θ＋10°)＝cos [(θ＋70°)－(θ＋10°)]＝cos 60°＝．
类型2 给值求值问题
【例2】 已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
思路导引：
[解] 因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝＝．
由cos (α＋β)＝－和0α＋β180°，
得sin (α＋β)＝＝．
于是cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×．
给值求值问题的解题策略
(1)求解此类问题先要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[跟进训练]
2．已知sin ，α∈，求cos α的值．
[解] ∵α∈，∴＋α∈，
∴cos ＝－
＝－＝－．
∵α＝－，
∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×．
类型3 给值求角问题
【例3】 已知sin α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[解] 因为sin α＝，0＜α＜，
所以cos α＝＝．
因为cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，
所以sin (α－β)＝＝，
所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×．
因为0＜β＜，所以β＝．
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．
(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角．
[跟进训练]
3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×．
又sin αsin β，∴0，∴－α－β0，故α－β＝－．
1．cos 20°等于( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
B [cos 20°＝cos (30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·sin 10°．]
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos (α－β)的值为( )
A．－ B．－ C． D．
A [∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，
∵β为第三象限角，sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．故选A．]
3．cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)＝________．
[ 原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝．]
4．已知α，β为锐角，cos α＝，sin (α＋β)＝，则角β＝________．
[∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝．又∵β为锐角，∴0α＋βπ．
∵sin (α＋β)＝sin α，∴α＋βπ，∴cos (α＋β)＝－，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×．∵β为锐角，∴β＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式C(α－β)的结构有何特点？
[提示]
可用口诀“余余正正，号相反”记忆公式．
2．公式C(α－β)中角α，β的适用条件是什么？
[提示] 公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos 中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．
3．通过本节课的学习，你能谈一下“活用公式”的具体体现吗？
[提示] 公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面．
①公式本身的变用，如cos (α－β)－cos αcos β＝sin αsin β．
②角的变用，也称为角的变换，如：
cos α＝cos [(α＋β)－β]，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]．5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(逻辑推理)
2．掌握两角差的余弦公式的应用．(数学运算)
观察下表中的数据：
cos (60°－30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos (120°－60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
－
从中你能发现cos (α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？
知识点 两角差的余弦公式
公式：cos (α－β)＝______________________________．
(1)简记符号：C(α－β)．
(2)适用条件：公式中的角α，β是任意角．
(1)公式的左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．可用“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是角的组合，如cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)·sin β＝cos [(α＋β)－β]＝cos α．
当α＝，β＝时，cos (α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α，β∈R时，cos (α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________．
类型1 给角求值问题
【例1】 (1)cos 15°的值是( )
A． B． C． D．
(2)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)·sin (α＋25°)＝________．
[尝试解答]
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
[跟进训练]
1．求值：(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
(2)cos (θ＋70°)cos (θ＋10°)＋sin (θ＋70°)·sin (θ＋10°)．
类型2 给值求值问题
【例2】 已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
思路导引：
[尝试解答]
给值求值问题的解题策略
(1)求解此类问题先要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[跟进训练]
2．已知sin ＝，α∈，求cos α的值．
类型3 给值求角问题
【例3】 已知sin α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[尝试解答]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)________________：根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的________________：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．
(3)________：结合三角函数值及角的范围求角．
[跟进训练]
3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
1．cos 20°等于( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos (α－β)的值为( )
A．－ B．－ C． D．
3．cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)＝________．
4．已知α，β为锐角，cos α＝，sin (α＋β)＝，则角β＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式C(α－β)的结构有何特点？
2．公式C(α－β)中角α，β的适用条件是什么？
3．通过本节课的学习，你能谈一下“活用公式”的具体体现吗？第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(逻辑推理)
2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(数学运算)
你能借助公式C(α－β)推导出C(α＋β)吗？如何推导？如何实现正弦函数与余弦函数的转换，由此可以导出S(α＋β)吗？让我们一起进入今天的学习课堂．
知识点 三个公式
(1)两角和的余弦公式
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)．
(2)两角和的正弦公式
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；
(3)两角差的正弦公式
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)．
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin α＝________，sin ＝________．
[答案] － －
2．(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________．
(2)sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝________．
[答案] (1) (2)
类型1 给角求值问题
【例1】 (1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为( )
A．－ B．－ C． D．
(2)＝________．
(1)B (2)2－ [(1)法一：原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－．
法二：原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°
＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin (40°－70°)＝sin (－30°)
＝－sin 30°＝－．
(2)原式＝＝
＝＝＝2－．]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[跟进训练]
1．求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；
(2)sin 15°＋sin 75°＝________．
(1) (2) [(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝．
(2)sin 15°＋sin 75°＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝．]
类型2 给值求值问题
【例2】 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角．求cos (α＋β)、sin (α－β)的值．
[解] 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝．
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－．
所以 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－．
[母题探究]
若本例条件不变，求sin (α＋β)的值．
[解] 由本例可知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×．
给值求值问题的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟进训练]
2．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均为锐角，求sin α的值．
[解] 由α，β均为锐角，可知0°α＋β180°，从而sin β>0，sin (α＋β)>0．
由cos (α＋β)＝，得
sin (α＋β)＝＝．
由cos β＝，得sin β＝＝．
由公式S(α－β)，可得
sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)·sin β＝×－×．
类型3 给值求角问题
【例3】 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
[解] 因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－＝－，cos β＝－＝－．
由α和β均为钝角，得πα＋β2π，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×．所以α＋β＝．
已知三角函数值求角的方法
已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．
[跟进训练]
3．若sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．
[解] 因为α∈，β∈，且sin α＝－，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝，因此sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－×＋×，又因为α∈，β∈，
所以α＋β∈，故α＋β＝．
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )
A． B．－ C． D．－
D [原式＝sin (21°－81°)＝－sin 60°＝－．故选D．]
2．sin 105°的值为( )
A． B． C． D．
D [sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝×＋×．故选D．]
3．化简：sin cos α－cos sin α＝________．
[原式＝sin ＝sin ．]
4．若cos α＝－，α∈，则cos ＝________．
－ [因为cos α＝－，α∈，
所以sin α＝＝，
所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－×－×＝－．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)间存在怎样的联系？
[提示]
2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？
[提示] 根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(逻辑推理)
2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(数学运算)
你能借助公式C(α－β)推导出C(α＋β)吗？如何推导？如何实现正弦函数与余弦函数的转换，由此可以导出S(α＋β)吗？让我们一起进入今天的学习课堂．
知识点 三个公式
(1)两角和的余弦公式
cos (α＋β)＝________________________，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)．
(2)两角和的正弦公式
sin (α＋β)＝________________________，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；
(3)两角差的正弦公式
sin (α－β)＝________________________，其中α，β∈R，简记作S(α－β)．
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin α＝________，sin ＝________．
2．(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________．
(2)sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝________．
类型1 给角求值问题
【例1】 (1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为( )
A．－ B．－ C． D．
(2)＝________．
[尝试解答]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[跟进训练]
1．求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；
(2)sin 15°＋sin 75°＝________．
类型2 给值求值问题
【例2】 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角．求cos (α＋β)、sin(α－β) 的值．
[尝试解答]
[母题探究]
若本例条件不变，求sin (α＋β)的值．
给值求值问题的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟进训练]
2．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β ＝，α，β均为锐角，求sin α的值．
类型3 给值求角问题
【例3】 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
[尝试解答]
已知三角函数值求角的方法
已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．
[跟进训练]
3．若sin α＝－，cos β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )
A． B．－ C． D．－
2．sin 105°的值为( )
A． B． C． D．
3．化简：sin cos α－cos sin α＝________．
4．若cos α＝－，α∈，则cos ＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)间存在怎样的联系？
2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？第3课时 两角和与差的正切公式
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理)
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(数学运算)
3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(数学运算)
根据同角三角函数的商数关系tan θ＝，怎样由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式将tan (α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan (α－β)用tan α，tan β来表示？
知识点 两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
两角差的 正切 T(α－β) tan (α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
T(α±β)体现了tan αtan β与tan α±tan β的内在联系．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． ( )
(2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立． ( )
[答案] (1)√ (2)×
2．(1)已知tan α＝2，则tan ＝________；
(2)＝________．
[答案] (1)－3 (2)
类型1 公式的正用、逆用
【例1】 (源自人教B版教材)求下列各式的值．
(1)tan 75°；(2)；(3)．
[解] (1)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝2＋．
(2)＝tan (17°＋43°)＝tan 60°＝．
(3)因为tan 45°＝1，所以＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝．
公式T(α±β)的正用、逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ，tan 等．
要特别注意tan ，tan 之间的互化或变形．
[跟进训练]
1．(1)若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝( )
A． B． C． D．
(2)计算：＝________．
(1)A (2)1 [(1)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝．
(2)原式＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1．]
类型2 公式的变形应用
【例2】 求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°；
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．
[解] (1)∵tan 67°－tan 22°
＝tan (67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1．
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2．
[母题探究]
1．将例2(1)中的角同时增加1°结果又如何？
[解] ∵tan 45°＝tan (68°－23°)＝，
∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，
即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1．
2．能否为例2(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明．
[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，
则tan α－tan β－tan αtan β＝1．
证明：∵tan 45°＝tan (α－β)＝，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
即tan α－tan β－tan αtan β＝1．
两角和的正切公式的常见4种变形
(1)tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)．
(2)1－tan αtan β＝．
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)．
(4)tan αtan β＝1－．
[跟进训练]
2．若α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
[解] ∵α＋β＝45°，∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1．
∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β
＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2．
类型3 公式的综合应用
【例3】 (源自苏教版教材)如图，有三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝．
[证明] 由题图可知tan α＝，tan β＝，
从而得tan (α＋β)＝＝1．
因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)．
在区间(0，π)内，正切值为1的角只有1个，
即tan ＝1．故α＋β＝．
探究利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．
(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
[跟进训练]
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，．
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
[解] (1)由条件得cos α＝，cos β＝．
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝．
因此tan α＝＝7，tan β＝．
∴tan (α＋β)＝＝－3．
(2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝＝，
∴tan (α＋2β)＝＝－1．
∵α，β为锐角，∴0α＋2β，∴α＋2β＝．
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)等于( )
A．3 B．－3 C． D．－
C [tan (α－β)＝．故选C．]
2．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24°
C．tan 42° D．tan 21°
B [原式＝＝tan (45°－21°)＝tan 24°．]
3．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A． B． C． D．
B [因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝，tan α＝，
所以tan (α＋β)＝＝－1．
又α＋β∈，故α＋β＝．]
4．计算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．
1 [由tan (α＋β)＝的变形
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)得：
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能分析一下T(α±β)公式的特征吗？
[提示] 公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反．
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？当式子中同时出现这些关系中的几个时常怎么处理？
[提示] 揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．
若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．第3课时 两角和与差的正切公式
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理)
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(数学运算)
3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(数学运算)
根据同角三角函数的商数关系tan θ＝，怎样由sin (α＋β)以及cos (α＋β)的公式将tan (α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan (α－β)用tan α，tan β来表示？
知识点 两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角 和的 正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ __________ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
两角 差的 正切 T(α－β) tan (α－β)＝ ____________ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
T(α±β)体现了tan αtan β与tan α±tan β的内在联系．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立． ( )
(2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立． ( )
2．(1)已知tan α＝2，则tan ＝________；
(2)＝________．
类型1 公式的正用、逆用
【例1】 (源自人教B版教材)求下列各式的值．
(1)tan 75°；
(2)；
(3)．
[尝试解答]
公式T(α±β)的正用、逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特别注意tan ＝，tan ＝之间的互化或变形．
[跟进训练]
1．(1)若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝( )
A． B． C． D．
(2)计算： ＝________．
类型2 公式的变形应用
【例2】 求值：(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°；
(2)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)．
[尝试解答]
[母题探究]
1．将例2(1)中的角同时增加1°结果又如何？
2．能否为例2(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明．
两角和的正切公式的常见4种变形
(1)tan α＋tan β＝___________________________________________．
(2)1－tan αtan β＝____________．
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝________________________________．
(4)tan αtan β＝1－．
[跟进训练]
2．若α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
类型3 公式的综合应用
【例3】 (源自苏教版教材)如图，有三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝．
[尝试解答]
探究利用公式T(α±β)求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．
(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
[跟进训练]
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，．
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)等于( )
A．3 B．－3 C． D．－
2．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21°
3．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A． C．
4．计算tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能分析一下T(α±β)公式的特征吗？
2．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？当式子中同时出现这些关系中的几个时常怎么处理？第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(数学运算)
在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，则上述公式会有什么变化？
对于cos 2α的等式能否可以变成只含有sin α或cos α的式子？
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan2α＝ T2α
倍角公式中的“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α＝2sin cos ． ( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． ( )
(3)对任意角α，总有tan 2α＝． ( )
(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
类型1 二倍角公式的正用、逆用
【例1】 求下列各式的值．
(1)1－2sin2 750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°．
[解] (1)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝．
(2)原式＝＝＝＝2．
(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝．
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α．
(3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α cos αcos 2αcos 22α…cos 2n-1α＝．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)；
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°．
[解] (1)原式＝－＝－cos π＝－cos ＝cos ．
(2) 原式＝2×＝－2．
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°
＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝
＝
＝．
类型2 条件求值问题
【例2】 已知sin ，0x，求的值．
[解] 原式＝＝＝2sin ．
∵sin ＝cos ，且0x，
∴＋x∈，∴sin ，
∴原式＝2×．
当遇到“±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
cos 2x＝sin ＝2sin cos ．
类似的变换还有：
cos 2x＝sin ＝2sin cos ，
sin 2x＝cos ＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos ＝1－2cos2等．
[跟进训练]
2．(1)已知sin ，则sin 2α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
(2)已知sin ，那么cos 等于( )
A．－ B．－ C． D．
(1)C (2)A [(1)sin 2α＝－cos ＝2sin2－1
＝2×－1＝－．故选C．
(2)cos ＝－cos ＝－cos
＝2sin2－1＝2×－1＝－．故选A．]
类型3 二倍角公式的综合应用
【例3】 (2022·东北师大附中月考)已知 tan ＝2．
(1)求tan α；
(2)求 的值．
[解] (1)由tan ＝2得＝2，
即＝2，解得tan ，
所以tan α＝．
(2)＝．
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化．
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[跟进训练]
3．证明：．
[证明] 原式变形为1＋sin4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*)
而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos 4θ＝左边，
∴(*)式成立，即原式得证．
1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
D [因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－．故选D．]
2．若sin ，则cos α等于( )
A．－ B．－ C． C．
C [cos α＝1－2sin2＝1－2×．故选C．]
3．化简＝( )
A．1 B．2 C． D．－1
B [＝2．故选B．]
4．已知cos ，x∈，则cos 2x＝________．
－ [sin 2x＝cos ＝2cos2－1＝－，因为x∈，则2x∈，因此cos 2x＝－＝－．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节学习了哪些二倍角公式？
[提示] sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝．
2．二倍角公式的常见变形有哪些？
[提示] (1)sinαcos α＝sin 2α；
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；
(3)cos2α＝，sin2α＝等．第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(数学运算)
在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，则上述公式会有什么变化？
对于cos 2α的等式能否可以变成只含有sin α或cos α的式子？
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α＝____________ S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝____________ C2α
正切 tan2α＝____________ T2α
倍角公式中的“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍，“α＋β”是“”的二倍等等．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α＝2sin cos ． ( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． ( )
(3)对任意角α，总有tan 2α＝． ( )
(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α． ( )
类型1 二倍角公式的正用、逆用
【例1】 求下列各式的值．
(1)1－2sin2750°；
(2)；
(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°．
[尝试解答]
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α．
(3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α cos αcos 2αcos 22α…cos 2n-1α＝．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)sin2π－cos2π；
(2)；
(3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°．
类型2 条件求值问题
【例2】 已知sin ＝，0[尝试解答]
当遇到“±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
cos 2x＝sin ＝2sin cos ．
类似的变换还有：
cos 2x＝sin ＝2sin cos ，
sin 2x＝cos ＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos ＝1－2cos2等．
[跟进训练]
2．(1)已知sin ，则sin 2α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
(2)已知sin ，那么cos 等于( )
A．－ B．－ C． D．
类型3 二倍角公式的综合应用
【例3】 (2022·东北师大附中月考)已知 tan ＝2．
(1)求tan α；
(2)求 的值．
[尝试解答]
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化．
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[跟进训练]
3．证明：＝．
1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
2．若sin ，则cos α等于( )
A．－ B．－ C． C．
3．化简＝( )
A．1 B．2 C． D．－1
4．已知cos ，x∈，则cos 2x＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节学习了哪些二倍角公式？
2．二倍角公式的常见变形有哪些？
