5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换
1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理)
前面我们已经学习了二倍角公式，你能用cos α表示sin2 ，cos2 及tan2 吗？
知识点 半角公式
(1)sin ＝±；
(2)cos ＝±；
(3)tan ＝±；
(4)tan ＝．
半角公式中的“±”号由三角函数值在的终边所在象限的符号决定．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos ． ( )
(2)存在α∈R，使得cos cos α． ( )
(3)对于任意α∈R，sin sin α都不成立． ( )
(4)若α是第一象限角，则tan ． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
类型1 半角公式的应用
【例1】 (源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列条件下sin ，cos ，tan 的值：
(1)0；
(2)角α在第一象限．
[解] (1)当0时，0．
又sin α＝，
所以cos α＝＝，
所以sin ，
cos ，
tan ．
(2)当角α在第一象限时，2kπ2kπ＋(k∈Z)，则kπkπ＋(k∈Z)．
当k为偶数时，角在第一象限，故由(1)可得
sin ，cos ，tan ．
当k为奇数时，角在第三象限，此时有
sin ＝－，cos ＝－，tan ．
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题．
[跟进训练]
1．求sin ，cos ，tan 的值．
[解] sin ；
cos ；
tan －1．
类型2 化简求值问题
【例2】 设θ∈(0，π)，化简：．
[解] 原式＝
＝＝－．
因为0＜θ＜π，所以0＜，
所以cos ＞0，
所以原式＝－cos θ．
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[跟进训练]
2．设α∈，化简：．
[解] ∵α∈，∈，
∴cos α>0，cos 0，
故原式＝
＝＝－cos ．
类型3 三角恒等式的证明
【例3】 (源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
[证明] 当a≠2kπ＋π(k∈Z)时，利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1，
可得sin α＝2sin cos ．①
cos α＝cos2－sin2．②
将①②两式相除，可得
tan α＝．
证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[跟进训练]
3．已知3sin β＝sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝2tan α．
[证明] 由3sin β＝sin (2α＋β)，得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α
＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α，
即2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α．
由cos (α＋β)cos α≠0，两边同除以cos (α＋β)cos α，
可得tan (α＋β)＝2tan α．
1．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
C [∵sin α＝，cos α＝，
∴tan －2．]
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B． C．－ D．
D [cos2，由于sin 2α＝，所以cos2，故选D．]
3．设5π6π，cos ＝a，则sin 等于( )
A． B．
C．－ D．－
D [若5π6π，则，则sin ＝－＝－．故选D．]
4．化简的结果为________．
tan 2α [原式＝·＝tan 2α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．tan 与sin α，cos α存在怎样的等量关系？
[提示] tan ．
2．如何用cos α表示sin2，cos2？
[提示] sin2，cos2．
3．如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？
[提示] sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中α≠2kπ＋π(k∈Z)．5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换
1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理)
前面我们已经学习了二倍角公式，你能用cos α表示sin2，cos2及tan2吗？
知识点 半角公式
(1)sin ＝____________；
(2)cos ＝____________；
(3)tan ＝____________；
(4)tan ＝＝____________．
半角公式中的“±”号由三角函数值在的终边所在象限的符号决定．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos ＝． ( )
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α． ( )
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立． ( )
(4)若α是第一象限角，则tan ＝． ( )
类型1 半角公式的应用
【例1】 (源自湘教版教材)已知sin α＝，求下列条件下sin ，cos ，tan 的值：
(1)0<α<；(2)角α在第一象限．
[尝试解答]
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题．
[跟进训练]
1．求sin ，cos ，tan 的值．
类型2 化简求值问题
【例2】 设θ∈(0，π)，化简：．
[尝试解答]
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[跟进训练]
2．设α∈，化简：．
类型3 三角恒等式的证明
【例3】 (源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝．
[尝试解答]
证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[跟进训练]
3．已知3sin β＝sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝2tan α．
1．已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B． C．－ D．
3．设5π6π，cos ＝a，则sin 等于( )
A． B．
C．－ D．－
4．化简的结果为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1． tan 与sin α，cos α存在怎样的等量关系？
2．如何用cos α表示sin2，cos2？
3．如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？第2课时 三角恒等变换的应用
1．能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并．(数学运算)
2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．(数学建模)
你从等式sin 20°－cos 20°＝ sin 20°cos 60°－cos 20°sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°的变形化简中发现了什么？
知识点 辅助角公式
a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
若sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
－ [因为sin x－cos x＝2＝2sin ，又φ∈(－π，π)，所以φ＝－．]
类型1 辅助角公式
【例1】 化简下列各式：
(1)y＝3sin x－cos x；
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；
(3)y＝sin ＋sin ．
[解] (1)y＝3sin x－cos x＝2
＝2＝2sin ．
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2x cos 2x＋cos22x
＝sin 4x＋＝sin 4x＋cos 4x＋
＝＋
＝＋＝sin ＋．
(3)y＝sin ＋sin ＝sin ＋cos sin ＋sin
＝sin ＋＝sin ．
将三角函数y＝f (x)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的步骤
(1)将sin x cos x运用二倍角公式化为sin 2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[跟进训练]
1．化简：(1)(cos x－sin x)；
(2)3sin x＋3cos x．
[解] (1)(cos x－sin x)＝×＝2＝2cos ．
(2)3sin x＋3cos x＝6
＝6＝6cos ．
类型2 恒等变换与三角函数的性质
【例2】 已知函数f (x)＝2sin x cos x－2cos2x＋．
(1)求f (x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值．
思路导引：f (x)f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k研究其性质．
[解] (1)f (x)＝2sin x cos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
∴f (x)的最小正周期为＝π．
由2x－＝kπ(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z)，
∴函数f (x)的对称中心为(k∈Z)．
(2)由2x－∈(k∈Z)，
可得x∈(k∈Z)，
∴f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－∈，
∴2x－，即x＝时，函数f (x)取得最大值，最大值为．
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
(1)降幂将解析式化为f (x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式：如将sin x cos x运用二倍角公式化为sin 2x，利用降幂公式sin2x＝，cos2x＝将解析式化为一次式．
(2)利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知函数f (x)＝2sin cos ＋cos ，求函数f (x)的周期、最大值和最小值．
[解] 因为f (x)＝sin ＋cos
＝＝2sin ．
所以f (x)的周期T＝＝4π．
当sin ＝1时，f (x)取得最大值2；
当sin ＝－1时，f (x)取得最小值－2．
类型3 三角函数在实际问题中的应用
【例3】 在扇形OPQ中，OP＝R，圆心角∠POQ＝，若将此木料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈，
在Rt△MOE中，ME＝R sin α，OM＝R cos α，
在Rt△ONH中，＝tan ，得ON＝NH＝R sin α，
则MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)．
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)
＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin －R2，
由α∈，则＜2α＋，
所以当2α＋，
即α＝时，Smax＝(2－)R2．
所以矩形面积的最大值为(2－)R2．
用三角函数解实际问题应注意以下三点
(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
(2)注意实际问题中变量的范围；
(3)重视三角函数有界性的影响．
[跟进训练]
3．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解] 如图，设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝R sin α，OB＝R cos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α
＝R(sin α＋cos α)＋R＝R sin ＋R．
∵0，∴α＋，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋，即α＝．
∴当∠AOB＝时，△OAB的周长最大．
1．(多选)cos α－sin α的化简结果是( )
A．sin B．cos
C．sin D．cos
AD [cos α－sin α＝cos sin ．故选AD．]
2．函数f (x)＝cos2，x∈R，则f (x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
D [原式＝＝(1－sin 2x)＝－sin 2x，
此函数既不是奇函数也不是偶函数．故选D．]
3．函数f (x)＝sin2x的最小正周期为________．
π [因为f (x)＝sin2x＝，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π．]
4．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________．
[由题意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，
所以cos θ－sin θ＝，
又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
所以cos θ＋sin θ＝，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结解决三角函数综合问题的步骤．
[提示] 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：
↓
↓
利用辅助角公式化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质
2．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
[提示] 通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．第2课时 三角恒等变换的应用
1．能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并．(数学运算)
2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．(数学建模)
你从等式sin 20°－cos 20°＝ sin 20°·cos 60°－cos 20°sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°的变形化简中发现了什么？
知识点 辅助角公式
a sin x＋b cos x＝________________(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
若sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
类型1 辅助角公式
【例1】 化简下列各式：
(1)y＝3sin x－cos x；
(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；
(3)y＝sin ＋sin ．
[尝试解答]
将三角函数y＝f (x)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的步骤
(1)将sin x cos x运用二倍角公式化为sin 2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．
(2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝·sin(α＋φ)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式．
[跟进训练]
1．化简：(1)(cos x－sin x)；
(2)3sin x＋3cos x．
类型2 恒等变换与三角函数的性质
【例2】 已知函数f (x)＝2sin x cos x－2cos2x＋．
(1)求f (x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值．
思路导引：f (x)f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k研究其性质．
[尝试解答]
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
(1)降幂将解析式化为f (x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式：如将sin x cos x运用二倍角公式化为sin 2x，利用降幂公式sin2x＝，cos2x＝将解析式化为一次式．
(2)利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式．
(3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材)已知函数f (x)＝2sin ·cos ＋cos ，求函数f (x)的周期、最大值和最小值．
类型3 三角函数在实际问题中的应用
【例3】 在扇形OPQ中，OP＝R，圆心角∠POQ＝，若将此木料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值．
[尝试解答]
用三角函数解实际问题应注意以下三点
(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
(2)注意实际问题中变量的范围；
(3)重视三角函数有界性的影响．
[跟进训练]
3．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
1．(多选)cos α－sin α的化简结果是( )
A．sin B．cos
C．sin D．cos
2．函数f (x)＝cos2，x∈R，则f (x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
3．函数f (x)＝sin2x的最小正周期为________．
4．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos2θ＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试总结解决三角函数综合问题的步骤．
2．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
