5.7 三角函数的应用
1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义．(数学抽象)
2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．显然，i是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
函数y＝－sin 的初相是－吗？
[提示] 不是．因为函数y＝－sin ＝ sin ，故其初相是 ．
1．函数y＝3sin 的频率为________，相位为________，初相为________．
x－ － [频率为，相位为x－，初相为－．]
2．某人的血压满足函数式f (t)＝24sin 160πt＋110，其中f (t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
80 [∵f (t)＝24sin 160πt＋110，
∴T＝，f ＝＝80，
∴此人每分钟心跳的次数为80．]
类型1 三角函数模型在物理学中的应用
【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为：h＝3sin ．
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
(3)经过多长时间小球往返振动一次？
(4)每秒内小球能往返振动多少次？
[解] (1)令t＝0，得h＝3sin ，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处．
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为 s．
当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为 s．
(3)T＝＝π，即经过π s小球往返振动一次．
(4)f ＝，即每秒内小球往返振动次．
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
1．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为______(A)．
0 [由函数的图象可得A＝100，且×，故ω＝100π，而I＝100，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，故I(t)＝100sin ，故I＝100sin ＝0(A)．]
类型2 三角函数模型的实际应用
【例2】 (源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m，在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
思路导引：建系设y＝A sin (ωt＋φ)解决问题．
[解] (1)如图，建立平面直角坐标系．
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
由OP在t s内所转过的角为t＝t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t＋φ，故P点纵坐标为3sin ，则z＝3sin ＋2．
当t＝0时，z＝0，可得sin φ＝－．
因为－0，所以φ≈－0.73，
故所求函数关系式为z＝3sin ＋2．
(2)令z＝3sin ＋2＝5，得sin ＝1．
取t－0.73＝，解得t≈5.5．
故点P第一次到达最高点大约需要5.5 s．
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义注明函数的定义域．
[跟进训练]
2．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为( )
A．H＝55sin ，t∈[0，30]
B．H＝55sin ，t∈[0，30]
C．H＝55sin ＋55，t∈[0，30]
D．H＝55sin ＋65，t∈[0，30]
D [因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15 min，又因为摩天轮最高点距离地面高度为120 m，所以t＝15时，H＝120．对于A，t＝15时，H＝55sin ＝55sin ＝55，不符合题意；对于B，t＝15时，H＝55sin ＝55sin ＝－55，不符合题意；对于C，t＝15时，H＝55sin ＋55＝55sin ＋55＝0，不符合题意；对于D，t＝15时，H＝55sin ＋65＝55sin ＋65＝120，符合题意．故选D．]
类型3 数据拟合模型的应用
【例3】 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解] (1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|π．
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin ＋1，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，得sin t≥－．则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
[跟进训练]
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
y＝－4cos t，t∈[0，＋∞) [设y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin ，即y＝－4cos t，t∈[0，＋∞)．]
1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
B [y＝sin 的周期T＝＝6π，振幅为，初相为．故选B．]
2．如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系是( )
A．h＝8cos t＋10 B．h＝－8cos t＋10
C．h＝－8sin t＋10 D．h＝－8cos t＋10
D [由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C．]
3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
AD [由题图可知T＝0.6，∴T＝0.8．振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0．故选AD．]
4．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
y＝0.2sin ＋3.8(φ为常数) [设所求函数为y＝A sin (ωt＋φ)＋b，
由题意得T＝10，即ω＝，A＝0.2，b＝3.8，
故y＝0.2sin ＋3.8．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示] 在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝A sin (ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示]
正弦型函数与信号处理
两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．
那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图1是函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的图象，由此你能发现什么？
图1
可以看出，f (x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f (x)仍是一个周期函数)．不过，相对于正弦曲线来说，f (x)的图象变化更加丰富．
那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图2所示是函数f (x)＝的图象，如图3所示是某种信号的波形，两者相似吗？
图2
图3
事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．5．7 三角函数的应用
1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义．(数学抽象)
2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．显然，i是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
函数y＝－sin 的初相是－吗？
1．函数y＝3sin 的频率为________，相位为________，初相为________．
2．某人的血压满足函数式f (t)＝24sin 160πt＋110，其中f (t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
类型1 三角函数模型在物理学中的应用
【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为：h＝3sin ．
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
(3)经过多长时间小球往返振动一次？
(4)每秒内小球能往返振动多少次？
[尝试解答]
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
1．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为________(A)．
类型2 三角函数模型的实际应用
【例2】 (源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m，在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
思路导引：建系设y＝A sin (ωt＋φ)解决问题．
[尝试解答]
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义注明函数的定义域．
[跟进训练]
2．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为( )
A．H＝55sin ，t∈
B．H＝55sin ，t∈
C．H＝55sin ＋55，t∈
D．H＝55sin ＋65，t∈
类型3 数据拟合模型的应用
【例3】 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[尝试解答]
三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
[跟进训练]
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
2．如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系是( )
A．h＝8cos t＋10
B．h＝－8cos t＋10
C．h＝－8sin t＋10
D．h＝－8cos t＋10
3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
4．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
正弦型函数与信号处理
两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．
那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图1是函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的图象，由此你能发现什么？
图1
可以看出，f (x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f (x)仍是一个周期函数)．不过，相对于正弦曲线来说，f (x)的图象变化更加丰富．
那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图2所示是函数f (x)＝的图象，如图3所示是某种信号的波形，两者相似吗？
图2
图3
事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．
