第5章 章末综合提升
类型1 三角函数式的化简与求值
1．对于三角函数的化简与求值问题，要抓住三角函数的同角基本关系及和、差、倍、半角等公式及其变形．特别地，公式cos2α＝，sin2α＝常用来降幂．
2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
3．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例1】 (1)化简： ＝________．
(2)已知sin sin ，α∈，则的值为__________．
(1)tan (2)－ [(1)原式＝
＝＝tan ．
(2)∵＋，
∴sin ＝cos ．
∴sin sin ＝sin cos
＝sin ，∴sin ，
即cos 2α＝．
又α∈，
∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－．
∴cos2α＝．
∴＝－．]
类型2 三角函数的图象与性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时，常视“ωx＋φ”为一个整体求解．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
①“五点法”作图；②图象伸缩、平移变换．
3．掌握三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养．
三角函数的图象变换
【例2】 (1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下列结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)设函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________．
(1)D (2)3＋ [(1)因为y＝sin ＝cos ＝cos ，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos ．故选D．
(2)由图可知A＝2，－，所以T＝2π，所以ω＝1．再根据f ＝2，得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋．]
三角函数的性质
【例3】 (2022·天津南开期末)已知函数f (x)＝2sin sin x－2cos2x＋．
(1)求f (x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值．
[解] (1)f (x)＝2sin sin x－2cos2x＋
＝2sin x cos x－2cos2x＋
＝sin 2x－2＋
＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
所以函数y＝f (x)的最小正周期为T＝＝π．
由2x－＝kπ，可得x＝＋，
函数y＝f (x)的对称中心为．
(2)解不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得kπ＋≤x≤kπ＋．
因此，函数y＝f (x)的单调递减区间为．
(3)当x∈时，≤2x－≤，
所以当2x－，即x＝时，
函数y＝f (x)取得最大值，最大值为．
类型3 三角函数模型的应用
1．在几何图形中，引入参数角，用其来表示边等量，这样就会把一些几何的最值问题转化为三角函数的最值问题．
2．通过建立三角函数模型，提升数学建模素养．
【例4】 (2022·山东济宁邹城期中)我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为△CDP．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧MPN上．设OC与直径MN所成的角为θ．
(1)试用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积；
(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(包含桥的宽度费用)，建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：θ的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．(结果保留整数)
[解] (1)由题意，∠COB＝θ∈，
易得OB＝cos θ，BC＝sin θ．
所以矩形ABCD的面积为S＝2cos θsin θ，
△CDP的面积为S△CDP＝×2cos θ(1－sin θ)＝cos θ－sin θcos θ．
(2)设建造观景区所需总费用为F(θ)，
由题意，F(θ)＝16(cos θ－sin θcos θ)＋8×2sin θ＋5，θ∈，
即F(θ)＝16(sin θ＋cos θ－sin θcos θ)＋5，θ∈，
令f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，θ∈，
设sin θ＋cos θ＝t，则2sin θcos θ＝t2－1，
由t＝sin θ＋cos θ＝sin ∈(1，]，
从而f (t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1．
当t＝，即θ＝时，有f (t)min＝－．
所以F(θ)的最小值为16＋5＝16－3≈20(万元)．
故当θ＝时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元．第5章 章末综合提升
类型1 三角函数式的化简与求值
1．对于三角函数的化简与求值问题，要抓住三角函数的同角基本关系及和、差、倍、半角等公式及其变形．特别地，公式cos2α＝，sin2α＝常用来降幂．
2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
3．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例1】 (1)化简： ＝________．
(2)已知sin sin ＝，α∈，则的值为__________．
[尝试解答]
类型2 三角函数的图象与性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时，常视“ωx＋φ”为一个整体求解．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
①“五点法”作图；②图象伸缩、平移变换．
3．掌握三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养．
三角函数的图象变换
【例2】 (1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下列结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)设函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________．
[尝试解答]
三角函数的性质
【例3】 (2022·天津南开期末)已知函数f ＝2sin sin x－2cos2x＋．
(1)求f 的最小正周期和对称中心；
(2)求f 的单调递减区间；
(3)当x∈时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值．
[尝试解答]
类型3 三角函数模型的应用
1．在几何图形中，引入参数角，用其来表示边等量，这样就会把一些几何的最值问题转化为三角函数的最值问题．
2．通过建立三角函数模型，提升数学建模素养．
【例4】 (2022·山东济宁邹城期中)我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为△CDP．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧MPN上．设OC与直径MN所成的角为θ．
(1)试用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积；
(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(包含桥的宽度费用)，建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：θ的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．(结果保留整数)
[尝试解答]
