4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 1.函数与方程、化归与转化、数形结合思想.
2.了会求函数的零点. 2.数学运算、逻辑推理素养.
3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间及零点个数. 3.逻辑推理、数学运算素养.
新知引入
观察下列二次函数和对应的方程，思考函数图象与x轴的交点与方程的根有什么关系？
结论：函数的图象与x轴交点横坐标是方程的根.
新知探究
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否有类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况？
1.函数零点的概念
与二次函数的零点一样，
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero).
注意：
(1) 零点是一个实数，不是点；
新知探究
1.函数零点的概念
(2)函数y=f(x)的零点,就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标.
即
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
由此可知，求方程的解，就是确定函数的零点.一般地，对于不能用公式求解的方程,我们可以把它与相应函数联系起来,利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的解.
新知探究
对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象,发现
它在区间[2, 4]上有零点.这时，函数图象与x轴有什
么关系 在区间[-2, 0]上是否也有这种关系 你认为
应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴.函数在端点x=2和x =4的取值异号，即 f(2) f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0的一个根.
同样地，f(-2) f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2, 0)内有零点x= -1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.
2.零点存在性定理
新知探究
2.零点存在性定理
再任意画几个函数图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法.
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
x
y
0
1
2
1
.
.
.
[0.5,1.5] f(0.5)<0, f(1.5)>0
f(0.5)·f(1.5)<0
（0.5,1.5) x=1,lgx=0的一个根.
新知探究
2.零点存在性定理
再任意画几个函数图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法.
x
y
O
a
b
c
d
观察函数的图象并填空:
1.在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
2. 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
3.在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点.
＜
有
＜
有
＜
有
新知探究
2.零点存在定理
零点存在定理 如果函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在开区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的解.
一般地，我们有：
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
不一定
新知探究
2.函数零点存在定理
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
函数零点存在定理中，“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可.
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
x
y
0
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件.
不一定
不一定
新知探究
2.函数零点存在定理
思考4： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数.
需要结合图象与性质去判定零点个数.
新知探究
3.函数零点存在定理推广
0
y
x
已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象如下图，则函数 y=f(x) 在区间 [a,b]内有几个零点
1
-1
-2
-1
2
1
0
3
2
1
-1
-1
2
1
0
问题：函数 y=f(x) 什么情况下再区间[a,b]上有唯一一个零点？
五个
单调函数
新知探究
3.函数零点存在定理推广
已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象如下图，则函数 y=f(x) 在区间 [a,b]内有几个零点
问题：函数 y=f(x) 什么情况下再区间[a,b]上有唯一一个零点？
函数y=f(x)图象连续
函数在区间[a,b]内单调
+
+
函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一一个零点
新知探究
3.函数零点存在定理推广
函数零点存在定理的推论
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b) ＜ 0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.
新知讲解
【例1】求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
解：
分析：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x,y对应值表，为观察、判定零点所在区间提供帮助.
方法1：设函数f(x)=lnx+2x-6,借助计算工具,列出函数y=f(x)对应值表，并画出图象.
x y
1 -4
2 -1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
题型1.几判定方程根的个数（函数零点个数）
新知讲解
【例1】求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
解：
由对应表和图象可知，定义域内是连续的，
f(2)<0, f(3)>0，
即f(2) f(3)<0，
由函数零点存在定理可知，
这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点.
容易证明，函数f(x)=lnx+2x-6，x∈(0，+∞)是增函数，所以它只有一个零点，即方程lnx+2x-6=0只有一个实数解.
题型1.几判定方程根的个数（函数零点个数）
新知讲解
【例1】求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
解：
方法2：求方程lnx+2x－6=0解的个数，即求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
即求方程 lnx=-2x+6的解的个数，
即判断函数y=lnx与函数y=-2x+6图像的交点个数.
6
0
x
1
2
3
4
y
由图可知,这两个函数的图象只有一个交点,
即方程只有一根.
所以函数f(x)=lnx+2x-6只有一个零点,即方程lnx+2x-6=0只有一个实数解.
题型1.几判定方程根的个数（函数零点个数）
新知讲解
题型1.几判定方程根的个数（函数零点个数）
判断函数零点个数的常用方法：
(1)解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2)直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3)若f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．
(4)若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调．
初试身手
1.你能用几种方法，确定下列函数零点个数：
(1)f(x)＝x2－5x＋3；　 (2)f(x)＝＋2x－3.
解：
(1)①判别式法:Δ＝25－4×3>0，f(x)＝0有两个不同的根．
②图象法(略)．
(2)图象法:
设y1＝，y2＝－2x＋3，图象如右图所示．
由图可得f(x)有两个零点．
新知讲解
【例2】(多选）已知函数.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(1，4)　　　B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
解：
题型2.判断函数零点所在的区间
∵f(1)＝6－log21＝6>0,f(2)＝3－log22＝2>0,f(4)＝－log24＝
－<0
∴f(1) f(4)<0,f(2) f(4)<0,
∴函数f(x)的零点所在区间为(2，4)或（1，4），故选AC.
初试身手
2.在函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是（ ）
A.(0,1) B.(1,10) C.(10,100) D.(100，＋∞)
3.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
B
ABD
课堂小结
1.对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero).
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
2.零点存在定理 如果函数y＝f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在开区间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)，使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的解.
课堂小结
函数y=f(x)图象连续
+
+
函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一一个零点
函数在区间[a,b]内单调
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b) ＜ 0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.
作业布置
作业：P155 习题4. 第1，2,3,7题.
补充：
1.函数的零点个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.在下列（ ）区间内，函数一定有零点.
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
3.已知函数的图象是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应数值，那么该函数在区间[1,6]上的零点有（ ）.
A.只有3个 B.至少3个 C.至多3个 D.2个
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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