新人教A版必修第一册2023年秋高中数学 第三章 函数的概念与性质 综合测评（含答案）

章末综合测评(三)　函数的概念与性质
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2022·江苏连云港月考)函数f(x)＝(x－1)0＋＋的定义域为(　　)
A．(1，2)
B．(2，＋∞)
C．(1，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，2)
2．若幂函数的图象经过点，则f＝(　　)
A． B．3
C．9 D．8
3．(2022·河北石家庄外国语学校月考)已知f＝x＋1，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝(x≠－2)
B．f(x)＝(x≠0)
C．f(x)＝＋2(x≠0)
D．f(x)＝－1(x≠0)
4．(2021·江苏海门市第一中学期中)若函数f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
5．(2021·北京学业水平考试)某停车场的停车收费标准如表所示：
停车收费标准 小型车 大型车
白天(7：00－19：00) 首小时内 2.5元/15分 5元/15分
首小时后 3.75元/15分 7.5元/15分
夜间(19：00(不含)－次日7：00) 1元/2时 2元/2时
注：白天停车收费以15分为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用．
李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为(　　)
A．13.5元 B．18.5元
C．20元 D．27.5元
6．(2022·湖南张家界期末)已知函数y＝f(x)可表示为(　　)
x 0y 2 3 4 5
则下列结论正确的是(　　)
A．f(f(5))＝5
B．f(x)的值域是{2，3，4，5}
C．f(x)的值域是[2，5]
D．f(x)在区间[4，8]上单调递增
7．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
8．(2022·浙江台州中学月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝7，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．(2022·福建宁德市高级中学月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋2
C．y＝＋2 D．y＝t＋2
10．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝ D．y＝－
11．已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3，则(　　)
A．[f(x)]2－3g(x)是偶函数
B．f(x)＝－x
C．g(x)＝2x2＋1
D．g(2)＝4
12．(2022·信达外国语学校月考)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知f(x)＝是奇函数，则f(－3)＝________，f(g(－3))＝________．
14．(2020·江苏高考)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是__________．
15．已知函数f(x)＝满足 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0，则实数a的取值范围是________．
16．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a的取值范围为________；
(2)若f(x)在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a的值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)(2022·山东枣庄市第三中学月考)设全集U＝R，不等式<－1的解集为A，函数y＝的定义域为B，求A∩B，A∪B，A∩( UB)．
18．(本小题满分12分)对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，，x2－4x＋3中的较大者，求f(x)的最小值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)(2022·湖北黄石市第七中学月考)已知幂函数f(x)＝(2m2－5m＋3)xm的定义域为R.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)>3x＋k－1在[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1)＝4.
(1)求f(0)的值．
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
(3)若f(2x＋3)－f(x)＜8，求x的取值范围．
22．(本小题满分12分)(2022·山东省实验中学月考)某市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p(t)．
(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝－60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
章末综合测评(三)
1．C　2．B　3．C　4．D　5．B　6．B　7．D　8．C
9．BD　[函数y＝x＋2的定义域为R，
A．y＝()2的定义域为[－2，＋∞)，定义域不同，故不是同一个函数；
B．y＝＋2＝x＋2，定义域为R，故是同一个函数；
C．y＝2＝x＋2，定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一个函数；
D．y＝t＋2，定义域为R，故是同一个函数；故选BD．]
10．BC　[对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意；
对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
对于C，y＝(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
对于D，y＝－．]
11．ABC　[令F(x)＝[f (x)]2－3g(x)，因为f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以F(－x)＝[f (－x)]2－3g(－x)＝[－f (x)]2－3g(x)＝[f (x)]2－3g(x)＝F(x)，
所以F(x)＝[f (x)]2－3g(x)是偶函数，故A正确；
因为2f (x)＋3g(x)＝6x2－2x＋3①
所以2f (－x)＋3g(－x)＝6(－x)2－2(－x)＋3，
因为f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以－2f (x)＋3g(x)＝6x2＋2x＋3②
由①②，得f (x)＝－x，g(x)＝2x2＋1，故B，C正确；
因为g(x)＝2x2＋1，所以g(2)＝8＋1＝9，故D错误．
故选ABC．]
12．ACD　[根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f (x)＝x－[x]的解析式：
当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f (x)＝x＋1；
当0≤x<1时，[x]＝0，则f (x)＝x；
当1≤x<2时，[x]＝1，则f (x)＝x－1；
当2≤x<3时，[x]＝2，则f (x)＝x－2．
画函数f (x)＝x－[x]的部分图象如图所示：
A：根据定义可知，f (－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f (4.1)＝4.1－4＝0.1，
即f (－3.9)＝f (4.1)，所以A正确；
B：从图象可知，函数f (x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；
C：函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；
D：从图象可知y＝f (x)与y＝f (x)＝D正确．故选ACD．]
13．－6　－33　[因为函数f (x)是奇函数，所以f (－3)＝g(－3)＝－f (3)＝－6，所以f (g(－3))＝f (－6)＝－f (6)＝－33．]
14．－4　[y＝f (x)是奇函数，可得f (－x)＝－f (x)，
当x≥0时，f (x)＝
可得f (8)＝＝4，
则f (－8)＝－f (8)＝－4．]
15．　[因为对 x1，x2∈R，且x1≠x2都有>0成立，
所以函数在R上单调递增．
所以解得016．(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞)　(2)±　[令x－1＝t，则x＝t＋1，f (t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f (x)＝x2＋2ax＋2．
(1)因为f (x)的图象的对称轴为x＝－a，
由题意知－a≤－5或－a≥5，
解得a≥5或a≤－5．
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
(2)当a>5时，f (x)min＝f (－5)＝27－10a＝－1，解得a＝(舍去)；
当－5≤a≤5时，f (x)min＝f (－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±；
当a<－5时，f (x)min＝f (5)＝27＋10a＝－1，解得a＝(舍去)．综上，a＝±．]
17．解：由<－1，化简可得<0，所以(x－1)(x－3)<0，所以1所以集合A＝{x|1由y＝有意义可得－x2＋5x－6≥0，
所以x2－5x＋6≤0，所以(x－2)(x－3)≤0，所以2≤x≤3，
所以集合B＝{x|2≤x≤3}，
所以 UB＝{x|x<2或x>3}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}，A∪B＝{x|118．“函数f (x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8)．
从图象观察可得函数f (x)的表达式：
f (x)＝
f (x)的图象是图中的实线部分，
图象的最低点是点B(1，2)，所以f (x)的最小值是2．
19．解：(1)∵f (x)为R上的奇函数，
∴f (0)＝0，得b＝0，
又f (1)＝a＝1，
∴f (x)＝．
(2)f (x)在[1，＋∞)上单调递减，证明如下：
设x2＞x1≥1，
∴f (x2)－f (x1)＝－
＝
＝
＝．
∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，
∴f (x2)－f (x1)＜0，即f (x2)＜f (x1)，
∴f (x)在[1，＋∞]上单调递减．
(3)∵f (x)为奇函数且f (x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴f (x)在(－∞，－1]上单调递减，
又x∈[－4，－1]，
∴f (x)的最大值为f (－4)＝－f (x)的最小值为f (－1)＝－．
20．解：(1)∵f (x)是幂函数，
∴2m2－5m＋3＝1，
∴m＝2．
当m＝f (x)＝f (x)的定义域为R，
∴m＝2，∴f (x)＝x2．
(2)f (x)>3x＋k－1即x2－3x＋1－k>0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1－k，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－k在[－1，1]上的最小值大于0．
∵g(x)＝x2－3x＋1－k图象的对称轴为x＝g(x)在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－k－1，
由－k－1>0，得k<－1，
∴实数k的取值范围是(－∞，－1)．
21．解：(1)令x＝y＝0得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0．
(2)因为函数f (x)的定义域为R，
令y＝－x，
则有f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，
即f (x)＋f (－x)＝0，
∴f (－x)＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
(3)因为f (1)＝4，
所以f (2)＝f (1＋1)＝4＋4＝8，
又因为f (2x＋3)－f (x)＜8，
即有f (2x＋3－x)即f (x＋3)又因为f (x)是定义在R上的增函数，
∴x＋3<2，解得x<－1，
故x的取值范围为{x|x<－1}．
22．解：(1)由题设，当2≤t<10时，令p(t)＝500－k(10－t)2(k>0)，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴p(2)＝500－k(10－2)2＝372，解得k＝2．
∴p(t)＝
故t＝5时，p(5)＝500－2×52＝450，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人．
(2)由(1)得：Q(t)＝
∵2≤t<10时，Q(t)≤260＝132，当且仅当t＝4时等号成立，
∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(4)＝132，
而10≤t≤20时，Q(t)单调递减，
10)＝74.4，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大，为132元．