新人教A版必修第一册2023年秋高中数学 第四章 指数函数与对数函数 综合测评（含答案）

章末综合测评(四)　指数函数与对数函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
2．函数y＝·ln (2－x)的定义域为(　　)
A．(1，2) B．[1，2)
C．(1，2] D．[1，2]
3．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(2022·河南信阳高一期末)若4m＝3，则log312＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
5．函数y＝log2(2x＋1)的值域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(0，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
6．(2022·四川泸州高一期末)在α型病毒病情初始阶段，可以用指数函数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律．指数增长率r与R0、T近似满足R0＝1＋rT，其中R0为病毒基本再生数，T为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10.据此，在α型病毒病情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少需要(参考数据：ln 2≈0.69)(　　)
A．6天　　　B．7天　　　C．8天　　　D．9天
7．设a，b，c均为正数，且2a＝，＝b＝log2c，则(　　)
A．aC．c8．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　)
A　　　　　　　　　B　
C　　　　　　　　　D　
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．(2022·河南南阳高一期中)已知函数f(x)＝ax+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则(　　)
A．a＝3
B．f(1)＝6
C．f(x)为R上的增函数
D．f(x)>10的解集为(2，＋∞)
10．(2022·江苏淮安高一期中)已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
11．若f(x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数
C．f(x)没有最大值
D．f(x)没有最小值
12．已知正实数x，y满足log2x＋y－，则下列结论一定正确的是(　　)
A． B．x3C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
14．已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个满足下列条件的对数型函数g(x)的解析式________．
①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞) 上单调递减．
15．(2022·江苏南京高一期末)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________℃.
16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9，3)．
(1)实数m的值为________；
(2)若函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a的值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)(2022·湖北襄阳五中期中)
(1)求(×)6＋×＋lg 500－lg 0.5的值；
(2)设2x＝3y＝72，求的值．
18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)过点(m，n)；在＋2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝logbx＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题．
(1)求f(x)的解析式，判断并证明g(x)＝f(x)＋的奇偶性；
(2)解不等式：loga(1＋x)＜loga(2－x)．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
21．(本小题满分12分)(2022·山东德州市第一中学期末)某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y(单位：微克)与时间t(单位：时)之间的关系满足如图所示的曲线，当t∈[0，1.5)时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y＝loga(t＋2.5)＋5(a＞0，a≠1)图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．
(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；
(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？(精确到0.1)(参考数据≈1.414)
22．(本小题满分12分)若在定义域内存在实数x0，使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.
(1)请判断函数f(x)＝是否有漂移点？并说明理由；
(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点；
(3)若函数f(x)＝lg在(0，＋∞)上有漂移点，求实数a的取值范围．
章末综合测评(四)
1．C　2．B　3．B　4．A　5．D　6．B　7．A　8．B
9．BCD　[由题意可得aa-2＋2＝3恒成立，故a＝2，A错误；
根据题意，得a＝2，∴f (x)＝2x+1＋2，
∴f (1)＝22＋2＝6，故B正确；
∵f (x)＝2x+1＋2，∴f (x)为R上的增函数，C正确；
f (x)＝2x+1＋2>10，解得x>2，D正确．故选BCD．]
10．CD　[因为ba＝4，所以logb4＝a，
故a＋log2b＝logb4＋log2b＝2logb2＋log2b＝3，
设log2b＝x，则logb2＝
故x＝3，解得x＝1或2，
当x＝1时，log2b＝1，故b＝2，a＝log24＝2，故a＋b＝4；
当x＝2时，log2b＝2，故b＝4，a＝log44＝1，故a＋b＝5．故选CD．]
11．ABC　[f (x)＝lg (|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示，
所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC．]
12．BC　[∵正实数x，y满足log2x＋log<
∴log2x－易知f (x)＝log2x－(0，＋∞)上为增函数，故x∴>x3∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC．]
13．　[因为f (x)＝R上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，所以a＝．经检验，a＝．]
14．g(x)＝＋2(答案不唯一)　[函数f (x)＝ax-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f (1)＝a0＋1＝2，所以f (x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝2，则g(1)＝2，满足条件①；
g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满足条件②；
易知g(x)在(0，＋∞)内单调递减，满足条件③．]
15.37.5　[由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝60，
所以，60＝30＋(90－30)e-14k，
可得e-14k＝
再经过28分钟后，该物体的温度为
θ＝30＋(90－30)e-42k＝30＋(90－30)(e-14k)3＝37.5．]
16．(1)2　(2)或　[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3，
∴α＝，f (x)＝，
∴m＝f (8)＝＝2．
(2)g(x)＝a，∵x∈[16，36]，
∴∈[4，6]，
当0由题意得a4＝2a6，解得a＝；
当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，
由题意得a6＝2a4，解得a＝．
综上，所求实数a的值为或．]
17．解：(1) (×)6＋×＋lg 500－lg 0.5
＝23×32＋3×4＋lg ＝72＋12＋3＝87．
(2)依题意有x＝log272，y＝log372，＝log722，＝log723，
所以＋＝3log722＋2log723＝log72(8×9)＝1．
18．解：(1)将点(－2，9)代入f (x)＝ax(a>0，a≠1)中得a-2＝9，解得a＝
∴f (x)＝．
(2)∵f (2m－1)－f (m＋3)<0，
∴f (2m－1)∵f (x)＝
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
19．解：(1)由①可知，＋＝0，即解得由②可知函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝logbx＋3(b＞0，且b≠1)过定点(1，3)，则
综上，三个条件中任选一个，均有即f (x)＝ax过(1，3)，
即a＝3，f (x)＝3x．
g(x)为偶函数．证明如下：
g(x)＝f (x)＋＝3x＋3－x，x∈R，
g(－x)＝f (－x)＋＝3x＋3－x＝g(x)，
∴g(x)为偶函数．
(2)loga(1＋x)＜loga(2－x)，
即log3(1＋x)＜log3(2－x)，
可化为2－x＞1＋x＞0，
∴－1＜x＜．
即不等式loga(1＋x)＜loga(2－x)的解集为．
20．解：(1)由已知得
得
解得a＝4，b＝2．
(2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)，
令f (x)＝0得4x－2x＝1，
即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，
又2x>0，∴2x＝，解得x＝log2．
(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，
则g(t)＝t2－t＝－，t∈[1，16]，
所以g(x)∈[0，240]．
21．解：(1)当0≤t<1.5时，由图象可设y＝k(t－1)2＋4，
将点(0，0)的坐标代入函数表达式，解得k＝－4，
即当0≤t<1.5时，y＝－4(t－1)2＋4，
当1.5≤t≤6时，将点(1.5，3)的坐标代入函数y＝loga(t＋2.5)＋5中，解得a＝．
故y＝
(2)令－4(t－1)2＋4≥2，
解得1－≤t≤1＋0.3≤t≤1.7，
又0≤t<1.5，∴0.3≤t<1.5，
故服药0.3小时之后开始有治疗效果，
＋5≥2，
解得－2.5又1.5≤t≤6，故1.5≤t≤5.5，
综上，0.3≤t≤5.5，
所以服药后的治疗效果能持续5.2小时．
22．解：(1)假设函数f (x)＝“漂移点”x0，则2，x0＋1＝0，因为此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f (x)＝．
(2)证明：令h(x)＝f (x＋1)－f (x)－f (1)＝(x＋1)2＋3x+1－(x2＋3x)－4＝2×3x＋2x－3，
所以h(0)＝－1，h(1)＝5．
所以h(0)h(1)<0．
又h(x)的图象在(0，1)上连续，
所以h(x)＝0在(0，1)上至少有一个实根x0，
即函数f (x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点．
(3)若f (x)＝lg (0，＋∞)上有漂移点x0，
所以lg ＝lg lg a成立，
即a，a>0，
整理得a＝
由x0>0，0<<1，则0则实数a的取值范围是{a|0