新人教A版必修第一册2023年秋高中数学 第五章 三角函数 综合测评（含答案）

章末综合测评(五)　三角函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各角中，与27°角终边相同的是(　　)
A．63° B．153°
C．207° D．387°
2．(2022·山东临沂期末)sin 70°sin 40°－sin 50°cos 110°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
3．(2022·北京朝阳期中)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点P(4，3)，则tan 的值为(　　)
A．－7 B. － C．1 D．7
4．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
5．若cos ＝－，且α∈，则sin (π－2α)等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．函数f(x)＝3cos x－sin x的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝　
C．x＝ D．x＝－
7．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
8．(2022·天津高考)已知f (x)＝sin 2x，关于该函数有下列四个说法：
①f (x)的最小正周期为2π；
②f (x)在上单调递增；
③当x∈时，f (x)的取值范围为；
④f (x)的图象可由g(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．(2022·山东潍坊期末)在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以2π为最小正周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝sin x
10．(2022·哈尔滨三中月考)已知函数y＝2sin (ω>0)在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值可以为(　　)
A．　　　C．1　　　D．2
11．(2022·广东深圳中学月考)在锐角三角形ABC中，sin A＝2sin B sin C，则下列等式中正确的是(　　)
A．tan B＋tan C＝2tan B tan C
B．tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C
C．tan (B＋C)＝2tan B tan C
D．tan A tan B tan C＝1
12．已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0|φ|π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f (x)的图象关于点对称
C．函数f (x)在区间上单调递增
D．函数y＝1与y＝f (x)的图象的所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________ cm2．
14．已知cos (45°＋α)＝，则cos (135°－α)＝________．
15．当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为________．
16．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝θ，且sin θ＝．
(1)求点B的坐标；
(2)求的值．
18．(本小题满分12分)(2022·江苏南京期末)已知α，β为锐角，tan α＝2，sin (α－β)＝．
(1)求cos 2α的值；
(2)求β的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝sin ．
(1)请用“五点法”列表并画出函数f (x)在[0，π]上的图象；
(2)若函数y＝f (x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调增区间．
20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π．
(1)从①f ＝0；②f ＝－1；③ x∈R，都有f (x)≤f 这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数f(x)的解析式；
(2)求(1)中所求得的函数f (x)在区间上的最大值和最小值．
注：如果选择多个条件解答，则按第一个解答计分．
21．(本小题满分12分)如表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度)．
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)求这个函数的周期；
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin ．
22．(本小题满分12分)(2022·湖南长沙长郡中学期末)如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C在弧AB上．现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道DE与OA垂直(垂足E在OA上)．
(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE的面积；
(2)试求街道CE长度的最小值．
章末综合测评(五)
1．D　2．C　3．D　4．D　5．D　6．A　7．B　8．A
9．CD　[对于A选项，当0故选CD．]
10．BD　[令2sin ＝0，则ωx－＝kπ，k∈Z，解得ω＝k∈Z，
又因为x∈k∈Z，
故ω∈k∈Z，
又函数y＝2sin (ω>0)在区间
故当k＝0时，ω∈k＝1时，ω∈
结合选项可知：ω可以为2．故选BD．]
11．AB　[由sin A＝2sin B sin C，得sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B＝2sin B sin C，
等式两边同时除以cos B cos C，所以tan B＋tan C＝2tan B tan C，故选项A正确；由tan (A＋B)＝＝tan (π－C)＝－tan C，得tan A＋tan B＝tan A tan B tan C－tan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，故选项B正确；假设tan (B＋C)＝2tan B tan C，由选项A得tan (B＋C)＝tan B＋tan C，所以－tan A＝tan B＋tan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝0，因为△ABC是锐角三角形，所以tan A>0，tan B>0，tan C>0，所以tan A＋tan B＋tan C>0，与tan A＋tan B＋tan C＝0矛盾，所以选项C错误；假设tan A tan B tan C＝1，所以tan B tan C＝A得tan B＋tan C＝tan2B＋tan2C＝－2，显然不成立，所以选项D错误．]
12．BCD　[由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0|φ|π)的图象可得，
A＝2，－，因此T＝π，
所以ω＝＝2，
所以f (x)＝2sin (2x＋φ)，又f (x)过点，
因此＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0|φ|π，
所以φ＝，
所以f (x)＝2sin ．
当x＝时，f ＝－1，故A错误；
当x＝－时，f ＝0，故B正确；
当x∈时，2x＋∈，所以f (x)＝2sin 在x∈上单调递增，故C正确；
由f (x)＝2sin ＝1，得sin ，∴2x＋＋2kπ或2x＋＋2kπ，k∈Z．取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或．∴函数y＝1与y＝f (x)的图象的所有交点的横坐标之和为0＋＋π＋，故D正确．故选BCD．]
13．　[根据题意得：圆心角为60°，即，S扇形＝××102＝(cm2)．]
14．－　[cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)]
＝－cos (45°＋α)＝－．]
15．[－2，]　[由题意知，关于x的方程sin x－cos x－m＝0，即sin x－cos x＝m在x∈上有解，则函数y＝sin x－cos x＝2sin 的图象与直线y＝m在上有交点，如图，
由图象易得，－2≤m≤．]
16．　　[3sin α－sin ，
∴3sin α－cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
则cos 2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝．]
17．解：(1)设点B坐标为(x，y)，则y＝sin θ＝．
因为点B在第二象限，x＝cos θ＝－
所以点B坐标为．
(2)tan θ＝
∴＝．
18．解：(1)因为tan α＝2，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝．
(2)因为α，β为锐角，则－<α－β<
而sin (α－β)＝cos (α－β)＝
所以tan (α－β)＝
所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝1，
∴β＝．
19．解：　(1)列表如下：
x 0 π
2x＋ π 2π
f (x) 1 0 －1 0
函数f (x)在[0，π]上的图象如下：
(2)函数y＝f (x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin ，再向右平移个单位长度，得到g(x)＝sin ＝sin ，
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，
所以y＝g(x)的单调增区间为．
20．解：　(1)因为函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，所以4π＝，可得ω＝．
选①②时，因为f ＝0，所以sin ＝0，
所以φ－＝kπ，k∈Z，又|φ|，所以φ＝，
而f ＝－1，
所以A sin ＝－1，
即A sin ＝－1，所以A＝2，
所以f (x)＝2sin ．
选②③时，因为任意x∈R，都有f (x)≤f ，
所以x＝时取得最大值，
即×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
而|φ|，解得φ＝．
而f ＝－1，
所以A sin ＝－1，解得A＝2，
所以f (x)＝2sin ．
(2)因为f (x)＝2sin ，x∈，
则x＋∈，
所以sin ∈，
所以f (x)＝2sin ∈[－1，]，
且x＝－时函数取得最小值－1，x＝时函数取得最大值．所以函数在x∈上的最小值为－1，最大值为．
21．解：　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12．
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8．
(4)∵x＝月份－1，
∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得>1≠cos ，∴①不适合．
代入②，得0≠cos ，
∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合．
22．解：　(1)如图，连接OC，过C作CR⊥OA，垂足为R．当弧BC的长为弧CA长的三分之一时，∠COR＝45°，在△COR中，OC＝4，CR⊥OA，故CR＝2，OR＝2．在△ODE中，DE＝CR＝2，∠DOR＝60°，所以＝tan 60°＝，则OE＝，所以CD＝RE＝2－，可得△CDE的面积S＝·CD·DE＝·2(平方千米)．
(2)设∠COA＝θ(0)，则CR＝4sin θ，OR＝4cos θ，DE＝CR＝4sin θ，
又＝tan 60°＝，则OE＝sin θ，
所以CD＝ER＝4cos θ－sin θ．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2＋DE2＝(4cos θ－＋(4sin θ)2
＝－(2sin 2θ＋cos 2θ)＝－sin (2θ＋φ)，
其中tan φ＝．
因为0，所以φ2θ＋φ＋φ，又0，所以当2θ＋φ＝时，CE2有最小值为，
即CEmin＝．
综上，街道CE长度的最小值为千米．