湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上册数学入学检测试卷
1．（2023高二上·长沙开学考）已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
2．（2023高二上·长沙开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高二上·长沙开学考）已知，则且是且成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2023高二上·长沙开学考）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
5．（2023高二上·长沙开学考）已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…的平均数和方差分别是（ ）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
6．（2023高二上·长沙开学考）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
7．（2023高二上·长沙开学考）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
8．（2023高二上·长沙开学考）如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高二上·长沙开学考）已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二上·长沙开学考）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高二上·长沙开学考）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
12．（2023高二上·长沙开学考）如图，正方体 的棱长为1， 分别为 的中点.则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面 的距离相等
13．（2023高二上·长沙开学考） 2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取 人.
14．（2023高二上·长沙开学考）在平行六面体中，，，则 .
15．（2023高二上·长沙开学考）已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是 .
16．（2023高二上·长沙开学考）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥的体积的取值范围是 .
17．（2023高二上·长沙开学考）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求的解析式及对称中心；
（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
18．（2023高二上·长沙开学考）如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，DC的中点.
（1）求证：；
（2）若点M，N分别在，AF上，且，.求证：；
（3）棱上是否存在点P，使平面平面AFP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.
19．（2023高二上·长沙开学考）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
20．（2023高二上·长沙开学考）如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求二面角的正弦值.
21．（2023高二上·长沙开学考）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为.
（1）若两机器人运动方向的夹角为，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若，AD足够长，机器人乙挑战成功，求.
②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
22．（2023高二上·长沙开学考）定义：为实数，，…，对的“正弦方差”.
（1）若，，，证明：实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，，，，，若实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求，值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意，，
∵ 复数是纯虚数 ；
∴，解得；
故答案为：B .
【分析】先将复数 化简为，再根据复数是纯虚数， 可知实部为0，虚部不为0，列方程求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意， 集合与的交集，即为 与的交点；
解方程，解得，
∴，
故答案为：B .
【分析】根据点集的概念，A与B的交集，即为与的交点，联立方程求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵且且，且 且；
∴且是且的充分必要条件；
故答案为：A .
【分析】根据不等式的运算，结合充要条件的概念判断即可.
4．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
5．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据，，…，的平均数和方差分别为和， 设，，…的平均数和方差分别为和
由题意，，，
∵，
∴，；
故答案为：D.
【分析】根据平均数和方差的公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意，，解得；
∴ 学生的成绩在区间内的频率为；
则成绩在区间内的学生人数为：（人）；
故答案为：B .
【分析】根据频率分布直方图的面积即为频率，且频率之和为1，可得，解方程即可求出a，再利用频数=总数x频率，即可求出成绩在区间内的学生人数.
7．【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意， ，，
令y=1，则有，即；
令x+1替换x，则有；
由①②可得；
即
令x+3替换x，得
∴，
∴ 函数 为周期函数，周期T=6；
对，
令x=1，y=0，则有，解得；
令x=y=1，可得，解得；
令x=2，y=1，可得，解得；
令x=3，y=1，可得，解得；
令x=4，y=1，可得，解得；
令x=5，y=1，可得，解得；
则一个周期内的数据之和：；
∴
故答案为：A .
【分析】根据，可得函数 为周期函数，周期为T=6；再代入数据分别求出、、、、、，再根据周期函数的性质可求出.
8．【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点，
如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ，
设正方体的棱长为，
因为点，，分别是，的中点
所以，即，
因为，
所以
则过点，，的截面下方体积为：，
∴另一部分体积为，
∴.
故答案为：C.
【分析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，
∵ ，
∴，；
又∵，
∴
∴，A正确；
对于B，
由，；
可得 ，B错误；
对于C，
由基本不等式可知，，当a=b时取等号；
又∵
∴，即，C正确；
对于D，
由均值不等式可得 ，当a=b时取等号；
又∵
∴，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】先通过指对转化，得到，，再通过基本不等式即可判定答案对错.
10．【答案】B,C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】对于A，因为，所以，所以只有一解；A不符合题意；
对于B，因为，
所以由正弦定理得，
因为，即，所以，所以有两解（，或），B符合题意；
对于C，因为，
所以由正弦定理得，即，
因为，所以有两解（，或，），C符合题意；
对于D，因为，
所以由正弦定理得，
由于，故，所以只有一解，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据已知条件，利用正弦定理建立关系式，结合大边对大角定理对取值逐项进行判断，得到三角形解的个数，可得答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，根据定义可知，对立事件一定是互斥事件，A正确；
对于B，
只有A，B为两个事件为互斥事件，才有，B错误 ；
对于C，
若事件A，B，C 彼此互斥，则，C错误；
对于D，
若事件A，B满足，则A，B可能是对立事件，也可能不是互斥事件，D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可.
12．【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A：在正方体 中， ，因为直线 与直线 不垂直，所以直线 与直线 不垂直.A不符合题意；
对于B： 取 的中点N，连结GN，A1N，因为 ，N分别为 ， 的中点，所以由三角形中位线定理得： 所以
因为 面 ，EF 面 ，所以 面 .
同理可证： 面 .
又 面 ， 面 ， ，
所以面 面 ，所以直线 与平面 平行.B符合题意；
对于C：连结 ，由上面证明过程可知 ，所以平面 截正方体所得的截面为面 .因为 ， ，
所以 为等腰梯形，如图示：
过E、F分别作EP、FQ垂直AD1于P、Q，则 ，
所以 ，
所以等腰梯形 的面积为 .
C符合题意.
对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】 对于A，利用线线平行，将D1D与AF的位置关系转换为判断C1C与AF的位置关系；
对于B，作出辅助线：取B1C1的中点N，连接A1N、GN，然后利用面面平行判断；
对于C，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积判断；
对于D，利用反证法证明错误.
13．【答案】10
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：∵，
∴ 高一年级应抽取人数为：（人） ；
故答案为：10 .
【分析】根据分层抽样的原理计算即可.
14．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如下图，
由图可知，，，
∴
又∵， ，
∴
∴，即
故答案为：.
【分析】根据向量的加减法，可得，再利用，可得，展开求解即可求出，即可求出.
15．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵ 有两个零点，
∴ 有两个根，即 与 的图象有两个交点，
由 可得， 或 ①当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 ，满足题意，故 满足题意
②当 时，由于函数 在定义域 上单调递增，故不符合题意③当 时，函数 单调递增，故不符合题意
④当 时，函数 单调递增，故不符合题意⑤当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 使得， 与 有两个交点
综上可得， 或
故答案为：
【分析】由 有两个零点可得 有两个根，即 与 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 的范围
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：先证明在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别为棱SA、SB、SC上的点，则有，
证明如下：
设SB与平面SAC的夹角为α，则有，
对于本题，
可设，，由题可知，；
则有，即；
同理可得，
，即；
，即；
，即；
又∵，
∴，
即，
又∵
∴
∴，
令，则，
设
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在单调递增；
则，
又∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先证明在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别为棱SA、SB、SC上的点，则有，再利用结论得到、、、与m、n的函数关系，结合换元法求出关于m、n的关系式，再利用函数的单调性求出的范围.
17．【答案】（1）解：根据函数的部分图像，
可得，，∴.
再根据五点法作图，，∴，
故有.
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，.
（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，
令，，
解得，，
可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为.
又，
故当，时，取得最大值，
即；
当，时，取得最小值，
即.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；五点法画三角函数的图象；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的定义域
【解析】【分析】（1）先由图可知A=2，再根据，且可求出，最后利用五点作图法可得 ，可求出，进而求出对称中心；
（2）先根据函数平移和缩放的规则求出 ，再求出 的单调递减区间的表达式，最后根据求出， 即可求出当时，的单调减区间和最值.
18．【答案】（1）解：如图，连接，，
∵正方体，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵正方体，
∴平面，平面，
∴，
又，
∴平面，
又∵平面，
∴.
（2）解：如图，连接DE，，
，，，
∴，∴.
∵，
∴，
即.
又∵正方体中，平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，平面，
∴平面.又∵平面，
∴.
由（1）可知，
又∵，，平面，
∴平面.
又∵，，
∴，
又∵，，，平面，
所以平面，所以.
（3）解：存在.如图，当点P为棱的中点时，平面平面AFP.
连接FP，AP，∵点P，F分别为棱，CD的中点，
∴，∵正方体，
∴，∴，
∴，∴，
∴FP与共面于平面.
由（2）知平面，即平面AFP.
又因为平面，∴平面平面AFP.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）利用正方体的性质可得、，可证平面，再利用平面，可证；
（2）先利用全等和等量代换证明 ，结合正方体的性质可得 ，即可证 平面 ，进而得出 ，结合 可证 平面；再利用 ，， 可得， 结合 可证 平面 ， 进而证明结论 ；
（3）结合图形可知当点P为棱的中点时，平面平面AFP；先利用条件证明FP与共面于平面， 再根据 由（2）知平面，即平面AFP，进而证明平面平面AFP.
19．【答案】（1）解：设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A，未罚进点球的事件为；乙队球员罚进点球的事件为B，未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，
则，
故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为.
（2）解：因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，
即四轮罚球结束时比分可能为或或.
①比分为的概率为
.
②比分为的概率为.
③比分为的概率为
.
综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；超几何分布的应用
【解析】【分析】（1） 每一轮罚球中 ，当两队都罚进球或都不罚进球，则甲乙两队打成平局，代入数据求解即可；
（2）经过两轮发球， 甲队暂时以领先时，若第三轮、第四轮乙队均罚进球，而甲队罚进一球或两球不进，都要进行第五轮；若第三轮、第四轮乙队只罚进一球，而甲队两球不进，也将进行第五轮；根据题意代入数据求解即可；
20．【答案】（1）证明：以点为坐标原点，向量 方向分别为 轴的正方向建立坐标系，
则，，，，，，所以，因为，设，则，所以，解得，所以，同理可得，
∴，，，
令，则，
∴，∴，∴，∴ 四点共面.
（2）解：由（1）可知，，，∴，.
设平面的一个法向量为，则，即，则，令，则.
取平面的一个法向量为，则，所以，
∴二面角的正弦值为.
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标即可得到，，，令依题意得到方程组，解得x、y，即可得证；
（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得二面角的正弦值.
21．【答案】（1）解：如图，在中，
由余弦定理得，，
所以，
所以，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）解：①在中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，
故，
由正弦定理可得，
所以，
②设，则，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得 ，当 仅当时等号成立 ，即可得出 ，可得两机器人运动路程和的最大值为6；
（2）①根据机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，可得，再根据正弦定理可得 以及 ，即可求出 ；
②根据题意可设，则，，再利用余弦定理可得，进而得出 ， 要使机器人乙挑战成功，则有 ，而 ，根据二次函数的性质以及，即可求出 AD的长度 .
22．【答案】（1）解：因为，，，
所以
，
所以“正弦方差”的值是与无关的定值.
（2）解：因为，，，，，
所以
，
因为实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，
所以，
因为，，
所以，，
由，得或，
即或，
由，
得，
又因为，
所以或或，
即或或，
当时，解得，经检验不符合题意；
当时，解得，经检验符合题意；
当时，解得，经检验符合题意.
综上可知：或.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据正弦方差的定义，将 ，， 代入可得，所以实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）根据定义将 ，，代入正弦方差公式 ，可得 ，再根据，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，可知 ， 结合 ，， 即可求出 ，值.
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上册数学入学检测试卷
1．（2023高二上·长沙开学考）已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意，，
∵ 复数是纯虚数 ；
∴，解得；
故答案为：B .
【分析】先将复数 化简为，再根据复数是纯虚数， 可知实部为0，虚部不为0，列方程求解即可.
2．（2023高二上·长沙开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意， 集合与的交集，即为 与的交点；
解方程，解得，
∴，
故答案为：B .
【分析】根据点集的概念，A与B的交集，即为与的交点，联立方程求解即可.
3．（2023高二上·长沙开学考）已知，则且是且成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：∵且且，且 且；
∴且是且的充分必要条件；
故答案为：A .
【分析】根据不等式的运算，结合充要条件的概念判断即可.
4．（2023高二上·长沙开学考）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
5．（2023高二上·长沙开学考）已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为3和56，若，则，，…的平均数和方差分别是（ ）
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据，，…，的平均数和方差分别为和， 设，，…的平均数和方差分别为和
由题意，，，
∵，
∴，；
故答案为：D.
【分析】根据平均数和方差的公式求解即可.
6．（2023高二上·长沙开学考）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A．15名 B．20名 C．25名 D．40名
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意，，解得；
∴ 学生的成绩在区间内的频率为；
则成绩在区间内的学生人数为：（人）；
故答案为：B .
【分析】根据频率分布直方图的面积即为频率，且频率之和为1，可得，解方程即可求出a，再利用频数=总数x频率，即可求出成绩在区间内的学生人数.
7．（2023高二上·长沙开学考）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意， ，，
令y=1，则有，即；
令x+1替换x，则有；
由①②可得；
即
令x+3替换x，得
∴，
∴ 函数 为周期函数，周期T=6；
对，
令x=1，y=0，则有，解得；
令x=y=1，可得，解得；
令x=2，y=1，可得，解得；
令x=3，y=1，可得，解得；
令x=4，y=1，可得，解得；
令x=5，y=1，可得，解得；
则一个周期内的数据之和：；
∴
故答案为：A .
【分析】根据，可得函数 为周期函数，周期为T=6；再代入数据分别求出、、、、、，再根据周期函数的性质可求出.
8．（2023高二上·长沙开学考）如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点，
如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ，
设正方体的棱长为，
因为点，，分别是，的中点
所以，即，
因为，
所以
则过点，，的截面下方体积为：，
∴另一部分体积为，
∴.
故答案为：C.
【分析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.
9．（2023高二上·长沙开学考）已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，
∵ ，
∴，；
又∵，
∴
∴，A正确；
对于B，
由，；
可得 ，B错误；
对于C，
由基本不等式可知，，当a=b时取等号；
又∵
∴，即，C正确；
对于D，
由均值不等式可得 ，当a=b时取等号；
又∵
∴，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】先通过指对转化，得到，，再通过基本不等式即可判定答案对错.
10．（2023高二上·长沙开学考）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】对于A，因为，所以，所以只有一解；A不符合题意；
对于B，因为，
所以由正弦定理得，
因为，即，所以，所以有两解（，或），B符合题意；
对于C，因为，
所以由正弦定理得，即，
因为，所以有两解（，或，），C符合题意；
对于D，因为，
所以由正弦定理得，
由于，故，所以只有一解，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据已知条件，利用正弦定理建立关系式，结合大边对大角定理对取值逐项进行判断，得到三角形解的个数，可得答案.
11．（2023高二上·长沙开学考）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，根据定义可知，对立事件一定是互斥事件，A正确；
对于B，
只有A，B为两个事件为互斥事件，才有，B错误 ；
对于C，
若事件A，B，C 彼此互斥，则，C错误；
对于D，
若事件A，B满足，则A，B可能是对立事件，也可能不是互斥事件，D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可.
12．（2023高二上·长沙开学考）如图，正方体 的棱长为1， 分别为 的中点.则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面 的距离相等
【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A：在正方体 中， ，因为直线 与直线 不垂直，所以直线 与直线 不垂直.A不符合题意；
对于B： 取 的中点N，连结GN，A1N，因为 ，N分别为 ， 的中点，所以由三角形中位线定理得： 所以
因为 面 ，EF 面 ，所以 面 .
同理可证： 面 .
又 面 ， 面 ， ，
所以面 面 ，所以直线 与平面 平行.B符合题意；
对于C：连结 ，由上面证明过程可知 ，所以平面 截正方体所得的截面为面 .因为 ， ，
所以 为等腰梯形，如图示：
过E、F分别作EP、FQ垂直AD1于P、Q，则 ，
所以 ，
所以等腰梯形 的面积为 .
C符合题意.
对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】 对于A，利用线线平行，将D1D与AF的位置关系转换为判断C1C与AF的位置关系；
对于B，作出辅助线：取B1C1的中点N，连接A1N、GN，然后利用面面平行判断；
对于C，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积判断；
对于D，利用反证法证明错误.
13．（2023高二上·长沙开学考） 2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取 人.
【答案】10
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：∵，
∴ 高一年级应抽取人数为：（人） ；
故答案为：10 .
【分析】根据分层抽样的原理计算即可.
14．（2023高二上·长沙开学考）在平行六面体中，，，则 .
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如下图，
由图可知，，，
∴
又∵， ，
∴
∴，即
故答案为：.
【分析】根据向量的加减法，可得，再利用，可得，展开求解即可求出，即可求出.
15．（2023高二上·长沙开学考）已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵ 有两个零点，
∴ 有两个根，即 与 的图象有两个交点，
由 可得， 或 ①当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 ，满足题意，故 满足题意
②当 时，由于函数 在定义域 上单调递增，故不符合题意③当 时，函数 单调递增，故不符合题意
④当 时，函数 单调递增，故不符合题意⑤当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 使得， 与 有两个交点
综上可得， 或
故答案为：
【分析】由 有两个零点可得 有两个根，即 与 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 的范围
16．（2023高二上·长沙开学考）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥的体积的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：先证明在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别为棱SA、SB、SC上的点，则有，
证明如下：
设SB与平面SAC的夹角为α，则有，
对于本题，
可设，，由题可知，；
则有，即；
同理可得，
，即；
，即；
，即；
又∵，
∴，
即，
又∵
∴
∴，
令，则，
设
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在单调递增；
则，
又∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先证明在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别为棱SA、SB、SC上的点，则有，再利用结论得到、、、与m、n的函数关系，结合换元法求出关于m、n的关系式，再利用函数的单调性求出的范围.
17．（2023高二上·长沙开学考）已知函数的部分图像如图所示.
（1）求的解析式及对称中心；
（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【答案】（1）解：根据函数的部分图像，
可得，，∴.
再根据五点法作图，，∴，
故有.
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，.
（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，
令，，
解得，，
可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为.
又，
故当，时，取得最大值，
即；
当，时，取得最小值，
即.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；五点法画三角函数的图象；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的定义域
【解析】【分析】（1）先由图可知A=2，再根据，且可求出，最后利用五点作图法可得 ，可求出，进而求出对称中心；
（2）先根据函数平移和缩放的规则求出 ，再求出 的单调递减区间的表达式，最后根据求出， 即可求出当时，的单调减区间和最值.
18．（2023高二上·长沙开学考）如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，DC的中点.
（1）求证：；
（2）若点M，N分别在，AF上，且，.求证：；
（3）棱上是否存在点P，使平面平面AFP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：如图，连接，，
∵正方体，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵正方体，
∴平面，平面，
∴，
又，
∴平面，
又∵平面，
∴.
（2）解：如图，连接DE，，
，，，
∴，∴.
∵，
∴，
即.
又∵正方体中，平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，平面，
∴平面.又∵平面，
∴.
由（1）可知，
又∵，，平面，
∴平面.
又∵，，
∴，
又∵，，，平面，
所以平面，所以.
（3）解：存在.如图，当点P为棱的中点时，平面平面AFP.
连接FP，AP，∵点P，F分别为棱，CD的中点，
∴，∵正方体，
∴，∴，
∴，∴，
∴FP与共面于平面.
由（2）知平面，即平面AFP.
又因为平面，∴平面平面AFP.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）利用正方体的性质可得、，可证平面，再利用平面，可证；
（2）先利用全等和等量代换证明 ，结合正方体的性质可得 ，即可证 平面 ，进而得出 ，结合 可证 平面；再利用 ，， 可得， 结合 可证 平面 ， 进而证明结论 ；
（3）结合图形可知当点P为棱的中点时，平面平面AFP；先利用条件证明FP与共面于平面， 再根据 由（2）知平面，即平面AFP，进而证明平面平面AFP.
19．（2023高二上·长沙开学考）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【答案】（1）解：设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A，未罚进点球的事件为；乙队球员罚进点球的事件为B，未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，
则，
故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为.
（2）解：因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，
即四轮罚球结束时比分可能为或或.
①比分为的概率为
.
②比分为的概率为.
③比分为的概率为
.
综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；超几何分布的应用
【解析】【分析】（1） 每一轮罚球中 ，当两队都罚进球或都不罚进球，则甲乙两队打成平局，代入数据求解即可；
（2）经过两轮发球， 甲队暂时以领先时，若第三轮、第四轮乙队均罚进球，而甲队罚进一球或两球不进，都要进行第五轮；若第三轮、第四轮乙队只罚进一球，而甲队两球不进，也将进行第五轮；根据题意代入数据求解即可；
20．（2023高二上·长沙开学考）如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：以点为坐标原点，向量 方向分别为 轴的正方向建立坐标系，
则，，，，，，所以，因为，设，则，所以，解得，所以，同理可得，
∴，，，
令，则，
∴，∴，∴，∴ 四点共面.
（2）解：由（1）可知，，，∴，.
设平面的一个法向量为，则，即，则，令，则.
取平面的一个法向量为，则，所以，
∴二面角的正弦值为.
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标即可得到，，，令依题意得到方程组，解得x、y，即可得证；
（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得二面角的正弦值.
21．（2023高二上·长沙开学考）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为，与的夹角为.
（1）若两机器人运动方向的夹角为，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若，AD足够长，机器人乙挑战成功，求.
②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
【答案】（1）解：如图，在中，
由余弦定理得，，
所以，
所以，（当且仅当时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）解：①在中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，
故，
由正弦定理可得，
所以，
②设，则，，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
由题意得对任意恒成立，
故，当且仅当时取到等号.
答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得 ，当 仅当时等号成立 ，即可得出 ，可得两机器人运动路程和的最大值为6；
（2）①根据机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，可得，再根据正弦定理可得 以及 ，即可求出 ；
②根据题意可设，则，，再利用余弦定理可得，进而得出 ， 要使机器人乙挑战成功，则有 ，而 ，根据二次函数的性质以及，即可求出 AD的长度 .
22．（2023高二上·长沙开学考）定义：为实数，，…，对的“正弦方差”.
（1）若，，，证明：实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，，，，，若实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求，值.
【答案】（1）解：因为，，，
所以
，
所以“正弦方差”的值是与无关的定值.
（2）解：因为，，，，，
所以
，
因为实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，
所以，
因为，，
所以，，
由，得或，
即或，
由，
得，
又因为，
所以或或，
即或或，
当时，解得，经检验不符合题意；
当时，解得，经检验符合题意；
当时，解得，经检验符合题意.
综上可知：或.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据正弦方差的定义，将 ，， 代入可得，所以实数，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）根据定义将 ，，代入正弦方差公式 ，可得 ，再根据，，对的“正弦方差”的值是与无关的定值，可知 ， 结合 ，， 即可求出 ，值.
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