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沪教版（上海）数学九年级第一学期 第二十六章《二次函数 》单元测试
试卷 共25题 ，满分：150 分 .
选择题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
1.抛物线y=2（x-1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（1，0） D．（﹣1，0）
2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3.已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
4.竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，
其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第4.5秒
5．二次函数（）的图象如图所示，
则一次函数（）与反比例函数（）
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6.已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤a＞1，
其中正确的项是（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②③④
填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，共48分）
7．当m 时，y=（m﹣2） 是二次函数．
8．抛物线的顶点坐标是 ．
9．已知抛物线的顶点在x轴上，则m的值是 ．
10.如果将抛物线平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2，2)，
那么平移后的抛物线的表达使为_________
11．抛物线 的最高点为 ，则 ， ．
请写出一个经过点(0，1)，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，
这条抛物线的表达式可以是 ．
13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是 .
14．若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
15．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
16.如图是二次函数和一次函数的图象，
当，的取值范围是 ．
点P（a，2）与点Q（3，b）是抛物线y＝x2－2x＋c上两点，
且点P、Q关于此抛物线的对称轴对称，则ab的值为_______
18 . 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，
其中正确的结论是___________________
三、解答题（本大题共有7个小题，共78分）
19．抛物线的顶点坐标为（4,-1），与y轴交于点（0,3），求这条抛物线的表达式.
20.如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间
具有的关系为，请根据要求解答下列问题：
在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少
在飞行过程中，小球飞行高度何时最大 最大高度是多少
21．已知函数．
(1)写出自变量的取值范围；
(2)写出函数图象最高点或最低点的纵坐标；
(3)函数图象与轴交点的坐标；
(4)求在什么范围内取值时，随的增大而减小？
22.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，
又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）
可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）
（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？
23.如图，某广场设计的一座建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，
抛物线的顶点落在水平面上，对称轴是水平线．点，在抛物线造型上，
且点到水平面的距离 米，点到水平面距离为米，米．
(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)为了安全美观，现需在水平线上找一点，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱，对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点？（无须证明）
(3)为了施工方便，现需计算出点，之间的距离，那么两根支柱用料最省时，
点，之间的距离是多少？（请写出求解过程）
24．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值．
如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，
过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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沪教版（上海）数学九年级第一学期 第二十六章《二次函数 》单元测试解答
试卷 共25题 ，满分：150 分 .
选择题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
1.抛物线y=2（x-1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（1，0） D．（﹣1，0）
【答案】B
2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【答案】D
3.已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【答案】C
4.竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，
其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第4.5秒
【答案】C
5．二次函数（）的图象如图所示，
则一次函数（）与反比例函数（）
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
6.已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤a＞1，
其中正确的项是（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②③④
【答案】B
填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，共48分）
7．当m 时，y=（m﹣2） 是二次函数．
【答案】﹣2
8．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
9．已知抛物线的顶点在x轴上，则m的值是 ．
【答案】9
10.如果将抛物线平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2，2)，
那么平移后的抛物线的表达使为
【答案】
11．抛物线 的最高点为 ，则 ， ．
【答案】 ， 2
请写出一个经过点(0，1)，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，
这条抛物线的表达式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是 .
【答案】（﹣3，0）.
14．若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】且
15．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
【答案】
16.如图是二次函数和一次函数的图象，
当，的取值范围是 ．
【答案】
点P（a，2）与点Q（3，b）是抛物线y＝x2－2x＋c上两点，
且点P、Q关于此抛物线的对称轴对称，则ab的值为_______
【答案】1
18 . 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，
其中正确的结论是___________________
【答案】 ①③④
三、解答题（本大题共有7个小题，共78分）
19．抛物线的顶点坐标为（4,-1），与y轴交于点（0,3），求这条抛物线的表达式.
解：依题意得顶点坐标为（4,-1），
设二次函数的表达式为.
∵抛物线与y轴交于点（0,3），
∴，∴.
∴这个二次函数的表达式为，
即.
20.如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间
具有的关系为，请根据要求解答下列问题：
在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少
在飞行过程中，小球飞行高度何时最大 最大高度是多少
（1）解：由题意得：，
解得：（不合题意舍去），，
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）解：，
当时，取得最大值m；
答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．
21．已知函数．
(1)写出自变量的取值范围；
(2)写出函数图象最高点或最低点的纵坐标；
(3)函数图象与轴交点的坐标；
(4)求在什么范围内取值时，随的增大而减小？
（1）解：由题意得，自变量的取值范围为任意实数；
（2）解：∵二次函数解析式为．
由可知，当时，有最小值，
即函数图象最低点的纵坐标为 ．
（3）解：在中，令得 ，
解得，即图象与轴交点的坐标为，．
（4）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小．
22.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，
又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）
可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）
（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？
解：（1）由函数的图象得：，
解得：，
∴所以y=﹣x+100（50≤x≤80）；
（2）设每天获得的利润为W元，
由（1）得：
W=（x﹣50）y
=（x﹣50）（﹣x+100）
=﹣x2+150x﹣5000
=﹣（x﹣75）2+625，
∵﹣1＜0，
∴当x=75时，W最大=625即该公司要想第天获得最大利润，
应把销售单价为75元/件，最大利润为625元．
23.如图，某广场设计的一座建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，
抛物线的顶点落在水平面上，对称轴是水平线．点，在抛物线造型上，
且点到水平面的距离 米，点到水平面距离为米，米．
(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)为了安全美观，现需在水平线上找一点，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱，对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点？（无须证明）
(3)为了施工方便，现需计算出点，之间的距离，那么两根支柱用料最省时，
点，之间的距离是多少？（请写出求解过程）
解：（1）以点为原点，射线为轴的正半轴，
与射线平行方向为轴的正半轴建立直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为，由题意知点的坐标为，且点在抛物线上，
所以 ，
解得，
故所求抛物线的函数解析式为．
（2）延长，交建筑物造型所在抛物线于点，则点，关于对称．
连接交于点，则点即为所求．
（3）由题意知点的横坐标为，且点在抛物线上，
所以点的坐标为．
又知点的坐标为，
所以点的坐标为 ．
设直线的函数解析式为，则有
解得，．
故直线的函数解析式为，
再把代入，得点的坐标为 ．
即两根支柱用料最省时，即点，之间的距离是4米
24．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求面积的最大值．
解：（1）由抛物线y＝ x2＋bx＋c过点A（1，0），C（ 2，3），得
，
解得，
故抛物线为y＝ x2 2x＋3；
（2）设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（ 2，3），则
，
解得，
故直线AC为y＝ x＋1；
（3）如图，过点作轴，交于点，
∵直线AC为y＝ x＋1；
设Q（x， x＋1），则P（x， x2 2x＋3），
∴PQ＝（ x2 2x＋3） （ x＋1）＝ x2 x＋2，
∴S△APC＝
＝
＝，
∴△APC面积的最大值为
如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，
过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：将点，，代入，
∴，解得，
∴．
（2）解：如图所示，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
∵，则，
∴，
当时，最长为，此时．
（3）解：存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，，，
∴
∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
①，解得：或，
∴或；
②，此时t无解；
综上所述：点坐标为或．
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