对数函数
1对数的概念
① 概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作
(底数，真数，对数)
② 两个重要对数
常用对数以为底的对数，记为；
自然对数以无理数为底的对数的对数，记为．
③ 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
④ 结论
(1)负数和零没有对数 (2)
特别地，，，
2 对数的运算
如果，有
① ②
③ ④
⑤ 换底公式
利用换底公式推导下面的结论
① ② ③
特别注意：，
3 对数函数
① 对数函数的概念
函数叫做对数函数，其中是自变量.
② 图像与性质
图像
定义域
值域
过定点
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高．
【题型一】对数的化简与求值
【典题1】求值
【典题2】 若，且，，，则的值是 .
巩固练习
1 (★) 已知函数，则 .
2 (★) ．
3(★★) 求值: ．
4(★★) 求值:＝ ．
5(★★) 若，且，则的值 ．
6(★★★) 已知，，则＝ .
7(★★★) 已知，若，，则＝ ．
【题型二】对数函数的图象及应用
【典题1】 函数的图象大致是( )
． ． ． ．
【典题2】 设均为正数，且，，，则( )
【典题3】 已知=，若，且，则的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 已知，函数与函数的图象可能是( )
A． B． C． D．
2(★) 已知图中曲线分别是函数，，，的图象，则的大小关系是( )
A． B．
C． D．
3(★★) 已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A．(2，+∞) B．[2，+∞)
4(★★) 已知函数，若且，则( )
．随值变化
5 (★★★) 已知函数，，则图象交于两点，则( )
6 (★★★) 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是 ．
7 (★★★) 已知函数，，若对任意，总存在两个，
使得，则实数的取值范围是 ．
【题型三】对数函数的性质及应用
角度1 比较对数式的大小
【典题1】已知，则a，b，c的大小关系为( )
【典题2】 设，则的大小关系为( )
【典题3】 已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
角度2 求解对数型不等式和方程
【典题1】方程的解集为 ．
【典题2】不等式的解集为 .
角度3 对数型函数综合问题
【典题1】 函数的值域是 .
【典题2】 已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，
则方程解的个数是 .
【典题3】设，，则下列叙述正确的是( )
．若，则 ．若，则
．若，则 ．若，则
【典题4】已知函数．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性；
当时，函数，求函数的值域．
【典题5】 设D是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，
则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点．
已知，．
(1)若，求函数的准不动点；
(2)若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围．
巩固练习
1(★) 若，则( )
2(★★) 设，则( )
3(★★) 是定义在上的函数，且，当时，，则有( )
4(★★) 不等式的解集为 ．
5(★★) 函数的单调递增区间为 ．
6(★★) 方程的解集为 ．
7(★★★) 已知函数，，，且．
(1)若是关于的方程的一个解，求的值；
(2)当且时，解不等式；
(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围．
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1对数的概念
① 概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作
(底数，真数，对数)
② 两个重要对数
常用对数以为底的对数，记为；
自然对数以无理数为底的对数的对数，记为．
③ 对数式与指数式的互化
对数式 指数式
④ 结论
(1)负数和零没有对数 (2)
特别地，，，
2 对数的运算
如果，有
① ②
③ ④
⑤ 换底公式
利用换底公式推导下面的结论
① ② ③
特别注意：，
3 对数函数
① 对数函数的概念
函数叫做对数函数，其中是自变量.
② 图像与性质
图像
定义域
值域
过定点
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高．
【题型一】对数的化简与求值
【典题1】求值
【解析】
【典题2】 若，且，，，则的值是 .
【解析】令．
则，，．
(利用换底公式，把数值化为同底，有利于求值去掉)
，
(，进行估值，要把其值的整数部分求出)
(利用对勾函数可得)
，
,
则，
则．
巩固练习
1 (★) 已知函数，则 .
【答案】
【解析】，∴．
则．
2 (★) ．
【答案】
＝9
．
3(★★) 求值: ．
【答案】
【解析】
4(★★) 求值:＝ ．
【答案】
【解析】
＝．
故答案为：．
5(★★) 若，且，则的值 ．
【答案】
【解析】，且，
，，
．
故选：．
6(★★★) 已知，，则＝ .
【答案】
【解析】，，，
，，
，解得．
故答案为．
7(★★★) 已知，若，，则＝ ．
【答案】
【解析】；
；
；解得或；
；；；；
又；
；；或(舍去)；；
．
故答案为：．
【题型二】对数函数的图象及应用
【典题1】 函数的图象大致是( )
． ． ． ．
【解析】方法
，
因，由对数函数的性质易得选.
方法 函数图象变换
故选．
【点拨】涉及对数函数型的函数，往往需要得到其图象，方法有
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
【典题2】 设均为正数，且，，，则( )
【解析】 分别作出四个函数，，的图象，观察它们的交点情况．由图象知．故选．
【点拨】
① 中是函数与的交点横坐标；
② 函数与互为反函数，图象关于直线对称. 函数与也是.
【典题3】 已知=，若，且，则的取值范围是 .
思考痕迹 已知条件，相当于与一直线相交于四个点，四点的横坐标是，所以想到数形结合.
【解析】 先画出=的图象，如图
互不相同，不妨设．
且，．
由图可知，关于对称,
，，即，
故，由图象可知，
由二次函数的知识可知，
的范围为．
【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如处.
巩固练习
1(★) 已知，函数与函数的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，则
从而，
函数与函数的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选，
故答案为
2(★) 已知图中曲线分别是函数，，，的图象，则的大小关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】选.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用结合图象求解．
3(★★) 已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A．(2，+∞) B．[2，+∞)
【答案】
【解析】函数，
又因为，故，，
又知道，
，即，
设，
由对勾函数的性质可知在单调递减，，即，
故选：．
4(★★) 已知函数，若且，则( )
．随值变化
【答案】
【解析】函数的图象如下图所示：
有图可知，函数的图象关于直线对称，
又，且，
则．
故选：
5 (★★★) 已知函数，，则图象交于两点，则( )
【答案】
【解析】不妨设，
作出和的图象，由图象知，，
则，
则，
即，即，即，
故选：．
6 (★★★) 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是 ．
【解析】根据已知画出函数图象：
不妨设，
，，
，，
解得，，
．
故答案为．
7 (★★★) 已知函数，，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范围是 ．
【解析】，，，
作出在[，4]上的函数图象如图：
对任意，总存在两个，使得，
，解得．
故答案为．
【题型三】对数函数的性质及应用
角度1 比较对数式的大小
【典题1】已知，则a，b，c的大小关系为( )
【解析】由题意，可知，，
，
．
故选．
【典题2】 设，则的大小关系为( )
【解析】 ，
的大小关系为．
故选．
【典题3】 已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
【解析】由题意，可知，，
，(初步估值)
最大，、都小于，(还比较不出来，进一步估值)
，
，(引入第三数比较)
，故选：．
【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有
① 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与，比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
角度2 求解对数型不等式和方程
【典题1】方程的解集为 ．
【解析】，
，
，解得．
检验得不符合， (注意真数的范围)
方程的解集为．
故答案为．
【典题2】不等式的解集为 .
【解析】
(误解)
解得或.
【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数中真数”这点.
角度3 对数型函数综合问题
【典题1】 函数的值域是 .
【解析】
内层函数的值域,
而=在是减函数，故
函数=的值域是.
【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.
【典题2】 已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程解的个数是 .
【解析】 函数是上的奇函数，，
由，可得，的有条对称轴，
由，可得，的周期．
(注 由以上已知，较容易画出的图象，作图步骤如下
① 画 ② 根据奇函数的性质 ③ 由对称轴可得
④ 由周期可得
)
作出在同一坐标系中画和图象，
注意到，(注意一些临界的位置)
从图象不难看出，其交点个数个．
【点拨】
① 遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；
② 的周期，
的对称轴
的周期
的周期.
【典题3】设，，则下列叙述正确的是( )
．若，则 ．若，则
．若，则 ．若，则
【解析】方法1 构造函数法
与均为增函数，故在上为增函数，
故，
即，即，
故选．
方法2 取特殊值排除法
对于，
令，，代入得显然成立，
而，此时可排除选项；
对于选项，
令，，代入得显然成立，而可排除选项；
令，，代入得显然成立，而可排除选项；
故选．
【点拨】
① 方法1通过构造函数，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！
② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.
【典题4】已知函数．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性；
当时，函数，求函数的值域．
【解析】 要使函数的解析式有意义，
自变量须满足，解得，
故函数的定义域为；
由得函数的定义域关于原点对称，
且，
故函数为奇函数；
当[，]时，令 (分离常数法)
(注 函数图象如右图，由向左向下平移一个单位得到的)
故在上为减函数，则，
又为增函数，
故，
故函数的值域为．
【点拨】
① 遇到形如的函数(比如，，等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；
② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.
【典题5】 设D是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，
则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点．
已知，．
(1)若，求函数的准不动点；
(2)若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围．
【解析】 (1)当时，可得，，
可得，即，．
当，函数的准不动点为．
(2)方法1 由定义可得方程在上有解，
即方程在上有解, 且
令，，则，
那问题转化为方程在有解，且，
令，开口向上且，
所以在上与轴只有一个交点，
则只需要，解得，
(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)
要使恒成立．
其对称轴，在上是递增的，当时最小值，可得．
综上可得实数的取值范围是．
方法2
与方法同样得到方程在有解，且，
即在上有解，且在上恒成立 (分离参数法)
由在上显然是减函数，其值域为，则；
由在上显然是减函数，最大值为，则,
综上可得实数的取值范围是．
【点拨】
① 在第二问中不要漏了，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；
② 第二问的方法是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法是采取分离参数法转而求最值,
巩固练习
1(★) 若，则( )
，；
．
故选：．
2(★★) 设，则( )
【解析】，，
；
；；
．
故选：．
3(★★) 是定义在上的函数，且，当时，，则有( )
【解析】时，在上单调递增，
，，)，
又，
)，即，
故选：．
4(★★) 不等式的解集为 ．
【解析】设，则不等式可化为，
所以，所以．
所以，所以
所以所以解集为
故选．
5(★★) 函数的单调递增区间为 ．
6(★★) 方程的解集为 ．
，，
，解得，或(舍)，
．
方程的解集为．
故答案为：．
7(★★★) 已知函数，，，且．
(1)若是关于的方程的一个解，求的值；
(2)当且时，解不等式；
(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围．
或．
【解析】 (1)是关于的方程的一个解，
，
，
；
(2)当且时，
不等式可化为，
故，
解得；
(3)，
令，
即，
，，
，；
，
，
，
，
或．
中小学教育资源及组卷应用平台
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