三角函数的图像与性质
1 周期函数
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期.
PS
①从解析式来看：任一自变量对应函数值与增加后对应函数值相等；
②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！
③ 三角函数就是典型的周期函数.
2 正弦函数，余弦函数的图像与性质
注 表中的
图像
定义域
值域
最值 当时，；
当时，. 当时，；
当时，.
周期性
对称中心
对称轴
单调性 在上是增函数；
在上是减函数. 在上是增函数；
在上是减函数.
3 正切函数的图像与性质
注 表中的
图像
定义域
值域
最值 既无最大值也无最小值
周期性
对称中心
对称轴 无对称轴
单调性 在上是增函数
【题型一】求解三角函数的性质
性质1 周期性
【典题1】 的最小正周期是（ )
【典题2】下列函数中，最小正周期为的是( )
性质2 对称性
【典题1】 函数的图象( )
．关于点对称 ．关于点对称
．关于直线对称 关于直线对称
【典题2】 已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为 .
性质3 单调性
【典题1】 函数的一个单调递减区间是( )
． ． ． ．
【典题2】若，则 ( )
性质4 最值
【典题1】 若函数的最小正周期为，则在上的值域为 ．
【典题2】 已知函数在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是 .
巩固练习
1(★)下列函数中最小正周期为的函数是( )
2(★) 下列函数中，关于直线对称的是( )
． ． ． ．
3(★) 设函数，则下列结论错误的是( )
的一个周期为
的图象关于直线对称
的一个零点为
在区间[]上单调递减
4(★) 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
5(★) 关于函数的性质，下列叙述不正确的是( )
．的最小正周期为
．是偶函数
．的图象关于直线(k∈Z)对称
．在每一个区间内单调递增
6 (★★) 下列函数中，以为周期，为对称轴，且在上单调递增的函数是( )
． ． ． ．
7 (★★) 已知直线分别是曲线与的对称轴，
则( )
8 (★★) 关于函数有下述四个结论：
①是周期函数；②的最小值为；③的图象关于轴对称；④在区间单调递增．
其中所有正确结论的编号是( )
．①② ．①③ ．②③ ．②④
9 (★★★)已知函数)的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是( )
10(★★★) 已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则( )
． ． ． ．
【题型二】根据三角函数性质求解参数的值或范围
【典题1】 已知，函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是 .
【典题2】 已知函数在区间上单调递减,则的取值范围为 .
【典题3】 已知函数，在区间，上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是( )
． ． ． ．
巩固练习
1(★★) 设，若在上为增函数，则的取值范围是 ．
2(★★) 已知函数在上单调递增，则的最大值是 .
3(★★) 设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为 ．
4(★★★) 已知函数满足，，且在区间上单调，则取值的个数有 个．
5(★★★) 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为 ．
【题型三】 综合解答题
【典题1】 已知函数．
当时，求的值；
令，若对任意都有恒成立，求的最大值．
【典题2】 已知函数．
当时，求函数的最大值；
如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围．
巩固练习
1(★★★) 已知函数(其中的图象上相邻两个最高点的距离为．
求函数的图象的对称轴；
若函数在内有两个零点求的取值范围及的值．
2(★★★) 已知函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．
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1 周期函数
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，叫做该函数的周期.
PS
①从解析式来看：任一自变量对应函数值与增加后对应函数值相等；
②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！
③ 三角函数就是典型的周期函数.
2 正弦函数，余弦函数的图像与性质
注 表中的
图像
定义域
值域
最值 当时，；
当时，. 当时，；
当时，.
周期性
对称中心
对称轴
单调性 在上是增函数；
在上是减函数. 在上是增函数；
在上是减函数.
3 正切函数的图像与性质
注 表中的
图像
定义域
值域
最值 既无最大值也无最小值
周期性
对称中心
对称轴 无对称轴
单调性 在上是增函数
【题型一】求解三角函数的性质
性质1 周期性
【典题1】 的最小正周期是（ )
【解析】,
故是的周期，由选项可知选.
【点拨】从定义出发：存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，则叫做该函数的周期.
【典题2】下列函数中，最小正周期为的是( )
【解析】由图可知函数不是周期函数，故不正确；
由于函数的周期为，故不正确；
由图可知函数的周期，故不正确；
由图可知函数的周期为，故正确，
故选：．
【点拨】
① 函数,的最小正周期,
函数的最小正周期；
② 利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.
性质2 对称性
【典题1】 函数的图象( )
．关于点对称 ．关于点对称
．关于直线对称 关于直线对称
【解析】方法1 对于函数，
(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)
令，则则函数的对称轴是，
若，解得；若，解得，故排除；
令，则则函数的对称中心是，
若，解得，可排除；
若，解得，故关于点对称.
故选：．
方法2 对于函数，
当时，，而不是正弦函数的对称中心，故错误；
当时，，而是正弦函数的对称中心，故正确；
当时，，而不是正弦函数的对称轴，故错误；
当时，，而不是正弦函数的对称轴，故错误；
故选：．
【点拨】本题两种方法，
方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把看成整体)，再判断；
方法2是把问题转化正弦函数的性质判断；
对于三角函数
① 若是其对称轴，则是正弦函数的对称轴；
② 若是其对称中心，则满足函数的对称中心.
对于三角函数类似.
【典题2】 已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为 .
【解析】函数图象关于直线对称，
，(的对称轴是)
，，
由知，时，，
故，
令得，．
因为，所以时，满足条件，
故零点有三个．
性质3 单调性
【典题1】 函数的一个单调递减区间是( )
． ． ． ．
【解析】 (求出函数的全部减区间)
解得，，
时，；时，；时，，
是的一个单调递减区间．
故选：．
【点拨】
① 复合函数的单调性：同增异减
函数可看成与组成复合函数.因为是减函数，求函数的减区间，则把代入的增区间求出的范围.
② 判断是否的一个单调递减区间，也可以采取前面判断对称性的方法.具体想法如下
是的一个单调递减区间
是的一个单调递增区间
由，而]不是的增区间；
故不是的一个单调递增区间，不是的一个单调递减区间，即选项错误.
作某些选择题这样做会简洁些.
【典题2】若，则 ( )
【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)
令，解得，
故在上递增，
由函数的周期性易得函数在上递增，关于对称，
(由于在内，需要了解函数在其附近的单调性，相当数形结合的思路)
其中比离对称轴更近些，所以，而接近，
所以．
故选：．
性质4 最值
【典题1】 若函数的最小正周期为，则在上的值域为 ．
【解析】依题意得，．
，，
，即的值域是.
【典题2】 已知函数在上的最大值为，最小值为，则的取值范围是 .
【解析】函数的周期为，
且对称轴为，对称中心，，
的图象大致如图所示；
区间正好是函数个周期，在一个周期内讨论就行，
设的中点为，
由图可知，
当点落在对称轴上，即时，，，
此时取得最小值为；
当点落在对称中心上，即时，，，
此时的值为；
的取值范围是．
【点拨】
① 对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些.
② 本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当.
巩固练习
1(★)下列函数中最小正周期为的函数是( )
【答案】
【解析】、函数的最小正周期，不满足条件；
、函数的最小正周期为，不满足条件；
、的最小正周期为，不满足条件；
、的周期，满足条件．
故选：D．
2(★) 下列函数中，关于直线对称的是( )
． ．
． ．
【答案】
【解析】将代入，得函数值为，
故是的一条对称轴，
故选：D．
3(★) 设函数，则下列结论错误的是( )
的一个周期为 的图象关于直线对称
的一个零点为 在区间[]上单调递减
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于x)，其周期，正确；
对于)，令，解可得，即的对称轴为，当时，，即的图象关于直线对称，正确；
对于)，当时，)，则不是)的零点，错误；
对于)，，
解可得，即函数的递减区间为]，
则函数在[]上递减，又由[，]，则在区间[]上递减，正确；
故选：．
4(★) 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
【答案】
【解析】由于的周期为，故不满足条件；
由于的周期为，故不满足条件；
由于的最小正周期为，在区间上，单调递增，故满足条件；
由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故不满足条件，
故选：．
5(★) 关于函数的性质，下列叙述不正确的是( )
．的最小正周期为
．是偶函数
．的图象关于直线(k∈Z)对称
．在每一个区间内单调递增
【答案】
【解析】对于函数的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为，错误；
又，所以是定义域上的偶函数，正确；
根据函数的图象知，的图象关于直线对称，正确；
根据的图象知，在每一个区间内单调递增，正确．
故选：．
6 (★★) 下列函数中，以为周期，为对称轴，且在上单调递增的函数是( )
． ．
． ．
【答案】
【解析】的周期为，不满足条件，故排除；
的周期为，不满足条件，故排除；
对于，故函数的周期为，
当时，，为最大值，故函数为对称轴，
且该函数在在上单调递增的函数，故满足条件；
由于，当时，不存在，故函数的图象不以为对称轴，故排除，
故选：．
7 (★★) 已知直线分别是曲线与的对称轴，
则( )
【答案】
【解析】由得，即的对称轴为，，
的对称轴为，，
直线，分别是曲线与的对称轴，
，k∈Z，，，
则，，，
则，
故选：．
8 (★★) 关于函数有下述四个结论：
①是周期函数；②的最小值为；
③的图象关于轴对称；④在区间单调递增．
其中所有正确结论的编号是( )
．①② ．①③ ．②③ ．②④
【解析】函数，其中的周期为，的周期为，所以函数的最小正周期为，故函数为周期函数．①是周期函数；正确．
②函数的最小值为，所以：的最小值为；错误．
③由于，的图象关于轴对称；
④在区间单调递减．故错误．
故选：．
9 (★★★)已知函数)的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是( )
【解析】函数的最小周期是，，得，
则f，
关于中心对称，
，，即，，
，
当时，，即)，
则函数在[，]上递增，在，上递减，，
，(，即，
故选：．
10(★★★) 已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则( )
． ． ． ．
【答案】
【解析】是上的奇函数，所以，，
当时，．所以，
由于，
所以，整理得，整理得．
当时，，函数x，
由于，
所以，故函数是单调递减函数．
当时，函数，
由于，
所以，由于内单调，故函数不为单调函数．
当时，，函数在区间内也不是单调函数，
所以，
故．
故选：．
【题型二】根据三角函数性质求解参数的值或范围
【典题1】 已知，函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是 .
【解析】 由，解得，
则的对称轴，
由在上有一条对称轴，则，(存在性)
即，①
而对称轴只有一条，则要满足且，(唯一性)
即 ②
由①②可得，解得；
当时，由①②可得； 当时，由①②可得；
当时，由①②可得；
故答案为：．
【点拨】
① 本题的思路是先求出函数的对称轴，再数形结合处理；理解“有且仅有一条对称轴”，存在一条对称轴在区间内，而其左右的对称轴在区间外；
② 本题涉及到两个参数，求的是的取值范围，方法是得到和的关系式，再
由的特殊性求出的取值(或范围)，进而求的取值范围.
【典题2】 已知函数在区间上单调递减,则的取值范围为 .
【解析】 的单调递减区间为，
(注 由函数图象易得)
由，得，
即函数的单调递减区间为[，]，，
若在区间上单调递减，
则且，
得，，
只能取；
当时，，即，即的取值范围是．
【点拨】本题先得到的单调减区间再由复合函数单调性得到求出的减区间[，]，，根据题意肯定可得[，].
【典题3】 已知函数，在区间，上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ( )
． ． ． ．
【解析】方法一 复合函数法
令，，则．
函数在区间上单调递增，
， ．
当时，，
函数在区间恰好取一次最大值，
，．
综上所知，故选．
方法二 特殊值法
当时，令，，
则，则函数在区间上不单调，
不合题意，排除．
当时，令，
则，则函数在区间取不到最大值，
不合题意，排除．故选：．
【点拨】根据三角函数性质求解参数的值或范围此类问题，往往都会限制函数在某个区间上的对称轴、单调性、最值等，此时最简单的想法就是先求出该函数的全部对称轴、单调区间等，再结合函数的图象判断求出来的对称轴、单调性等与区间端点的关系！
巩固练习
1(★★) 设，若在上为增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，在上，∈[，]，
由于为增函数，∴，即 ，
求得 ，故选：．
2(★★) 已知函数在上单调递增，则的最大值是 .
【答案】
【解析】由函数在区间上单调递增，
可得，求得，故的最大值为，
3(★★) 设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为 ．
【答案】
【解析】函数，，，若在区间上单调，
则，．
，为的一条对称轴，
且(即为的一个对称中心，
，解得，，
4(★★★) 已知函数满足，，且在区间上单调，则取值的个数有 个．
【解析】设函数的最小正周期为，则，
，，
，，即，，
又在区间上单调，
，解得，
可以为，即为共个值．
5(★★★) 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】在区间上，]，
)的值域为，，
，，，.
【题型三】 综合解答题
【典题1】 已知函数．
当时，求的值；
令，若对任意都有恒成立，求的最大值．
【解析】，即为
即有，
可得，或，
即有或，
由，
可得，可得；
即，
令，可得，
对任意都有恒成立，
即为，；
则
解得，即的最大值为．
【点拨】
① 若，则或
② 第二问涉及恒成立问题，采取了二次函数零点的分布问题的方法即通过二次函数的图象分析便可求解.
【典题2】 已知函数．
当时，求函数的最大值；
如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围．
【解析】 当时，，
，
当，即时，．
依题得 ，
即对任意恒成立．
当时，，则，
对任意恒成立．
令，则，
对任意恒成立，
于是．
又，当且仅当 ，即时取等号；
．
【点拨】第二问涉及恒成立问题，利用了分离参数法和换元法.
巩固练习
1(★★★) 已知函数(其中的图象上相邻两个最高点的距离为．
求函数的图象的对称轴；
若函数在内有两个零点求的取值范围及的值．
【答案】 ；
.
【解析】已知函数)(其中)的图象上相邻两个最高点的距离，，
故函数)．
令， 得，，
故函数的图象的对称轴方程为．
(2)由(1)可知函数)．
，x
，
要使函数在内有两个零点．
，且
即的取值范围是．
函数在内有两个零点，，
可得，是关于对称轴是对称的；
对称轴方，．得，
在内的对称轴或
当时，可得，
当时，可得，
．
2(★★★) 已知函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．
【答案】单调递增区间
，
.
【解析】(1)函数，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．
周期T，即，那么，可得．
)
令，，
可得：，
可得函数的单调递增区间，
令，，
可得：，∴可得函数的单调递减区间，
令，可得：，可得函数的对称中心为，
(2)方程在上有实数解，
，
，即，
令，
上，
，则在上有解， )，
令，当且仅当时，取等号．即．
任取，有．
因此在上单调递减，因此，
所以范围．
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