任意角的三角函数
1 任意角的三角函数的概念
设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点.
① 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
② 把点的纵坐标叫做的余弦函数，记作，即；
③ 把点的纵坐标叫做的正切函数，记作，即.
正弦函数；余弦函数；正切函数，
它们统称三角函数.
2 三角函数在各个象限的符号
各象限点坐标的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
+ + － －
+ － － +
+ － + －
根据三角函数定义可知它们在各个象限符号
(设的终边上一点符号看，看，符号看)
3 特殊角的三角函数值表
－ －
利用三角函数的定义求时对应的三角函数值.
Eg 如图所示，的终边在轴的负半轴，与轴交点为，
则，，.
4 同角三角函数基本关系式
拓展
【题型一】求三角函数值
【典题1】 已知角的终边与单位圆的交点为，则 .
【典题2】 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
【题型二】确认三角函数的符号
【典题1】 的值（ ）
．小于 ．大于 ．等于 ．不存在
【典题2】若且，则终边在( )
．第一象限 ．第二象限 ．第一或第三象限 ．第三或第四象限
【题型三】同角三角函数基本关系式
【典题1】 已知，，则 .
【典题2】已知是关于的方程的两个根．
求实数的值；若，求的值．
【典题3】已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角．
求的值；
求的值．
【典题4】 已知，求.
巩固练习
1(★) 已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则
． ．
2(★) 若为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )
．0 ．0 ．0 ．0
3(★) 已知，且为第二象限角，那么 .
4(★) 如果角满足，那 .
5(★★) 已知，且，则 .
6(★★) 若，且，则 .
7(★★) 已知，则 .
8(★★) 若，则 .
挑战学霸
若，证明.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)任意角的三角函数
1 任意角的三角函数的概念
设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点.
① 把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
② 把点的纵坐标叫做的余弦函数，记作，即；
③ 把点的纵坐标叫做的正切函数，记作，即.
正弦函数；余弦函数；正切函数，
它们统称三角函数.
2 三角函数在各个象限的符号
各象限点坐标的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
+ + － －
+ － － +
+ － + －
根据三角函数定义可知它们在各个象限符号
(设的终边上一点符号看，看，符号看)
3 特殊角的三角函数值表
－ －
利用三角函数的定义求时对应的三角函数值.
Eg 如图所示，的终边在轴的负半轴，与轴交点为，
则，，.
4 同角三角函数基本关系式
拓展
【题型一】求三角函数值
【典题1】 已知角的终边与单位圆的交点为，则 .
【解析】 角α的终边与单位圆的交点为，则，，
则．
【典题2】 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
【解析】 角的始边为轴非负半轴，终边经过点，
，则，
【点拨】
① 不在单位圆上，故，.
② 设是任意角，它的终边上任意一点，它与原点的距离是，
则.
【题型二】确认三角函数的符号
【典题1】 的值（ ）
．小于 ．大于 ．等于 ．不存在
【解析】 因为，，
所以是第二象限角，是第三象限角，
所以，
从而，选.
【典题2】若且，则终边在( )
．第一象限 ．第二象限 ．第一或第三象限 ．第三或第四象限
【解析】 是第二或三象限，
，是第二或四象限，
是第二象限，，
，
可得终边在第一或第三象限．故选：．
【题型三】同角三角函数基本关系式
【典题1】 已知，，则 .
【解析】 方法1
，，
又，
且，
为第二象限角，，
.
方法2 ，构造直角三角形如下图，
在直角三角形中，，
且
为第二象限角，
.
【点拨】
① 若知三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”；
② 在非解答题中用方法二解题速度更快些，只是要多留意三角函数的符号.
【典题2】已知是关于的方程的两个根．
求实数的值；若，求的值．
【解析】(1)是方程的两个实根，
①，②，
，即或，
，
即，解得或．
(2)，
，，可得，由(1)可得，
，
，
又 .
(注意判断的正负)
【点拨】
① ；
② 也是“知一得二”.
【典题3】已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角．
求的值；
求的值．
【解析】(1)是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，
或舍去)，
．
(2)
．
【点拨】
① 弦化切技巧
若已知，可求或分子分母齐次的形式，可分子分母同
除以或，化为关于的式子.
② 本题巧妙利用了，当遇到类似化为分子分母齐次的形式.对的巧用要注意.
③ 本题若是选择填空题当然也可以通过，求出的值，容易想到且计算量也不大，值得考虑.
【典题4】 已知，求.
【解析】方法 解方程组法
由得，解得，
.
方法 对偶式法
设，等式两边平方得 ①
将两边平方，得 ②
由①+②得，，解得，
方法 弦化切法
将两边平方，得
即，
即，解得.
巩固练习
1(★) 已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则
． ．
【答案】
点在角的终边上，，故选：．
2(★) 若为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )
．0 ．0 ．0 ．0
【答案】
【解析】为第二象限角，，．
则，，
为一或三象限角，得．故选：．
3(★) 已知，且为第二象限角，那么 .
【答案】
，且为第二象限角，
，则，
4(★) 如果角满足，那 .
【答案】
，，即，
那么，
5(★★) 已知，且，则 .
【答案】
【解析】，
两边平方，可得，可得，
，
可得，，可得，
．
6(★★) 若，且，则 .
【答案】
【解析】，，
即，∴解得或舍)．
，，．
7(★★) 已知，则 .
【答案】
，
．
8(★★) 若，则 .
【答案】或
【解析】，且，
，，
，则或.
挑战学霸
若，证明.
【解析】如上图，在单位圆中，，，
显然.
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