三角函数和差角公式
1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
① 余弦两角和差公式
推导如下
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以.
根据两点间的距离公式，得
化简得
而
②正弦两角和差公式
推导如下
③正切两角和差公式
(由、可推导正切的和差角公式)
对公式中的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：
对应公式，把；
②
对应公式，把，看成数字；
③，
对应公式，把分别.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2 辅助角公式
其中.
熟记两个特殊角的化简过程
型，配
型，配
【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】 计算 .
【典题2】 .
【典题3】 若，且是方程的两个根，则 .
【典题4】已知，则 ．
【典题5】 设，则( )
A． B． C． D．
【典题6】 在中，，，则的形状为 ．
巩固练习
1(★) ．
2(★) 若，且，则 ．
3(★) 已知：均为锐角，，，则 ．
4 (★★) 在中，，则 ．
5(★★★) 设，若，)，且，则 ．
6 (★★★) 设，，则的最大值为 ．
7(★★★) 已知锐角满足，则的最小值为 ．
【题型二】角的变换
【典题1】 若，，则 ．
【典题2】若，，且，，则的值是 .
【典题3】已知，，则的最大值为 .
巩固练习
1 (★★) 已知，且，，则 ．
2 (★★) 若，，，则 ．
3 (★★) 若，，，，则 ．
4 (★★) 已知，，均为锐角，则 ．
5 (★★) 已知，，且，则的值 ．
6 (★★) 若，，且，，则的值是 ．
【题型三】辅助角公式的运用
【典题1】 若，，则，的大小关系是 ．
【典题2】 设当时，函数取得最小值，则 ．
【典题3】 已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在上单调，则的最小值为 .
巩固练习
1(★★) 已知函数|的最小正周期为，则 ．
2(★★) 是的内角，其中，则的取值范围是 ．
3(★★) 若函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
4(★★★) 已知函数在(，)上仅有个最值，且是最大值，则实数的取值范围为 ．
5(★★★)已知函数对任意的，都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)三角函数和差角公式
1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
① 余弦两角和差公式
推导如下
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以.
根据两点间的距离公式，得
化简得
而
②正弦两角和差公式
推导如下
③正切两角和差公式
(由、可推导正切的和差角公式)
对公式中的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：
对应公式，把；
②
对应公式，把，看成数字；
③，
对应公式，把分别.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2 辅助角公式
其中.
熟记两个特殊角的化简过程
型，配
型，配
【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】 计算 .
【解析】
(大角化小角)
【典题2】 .
【解析】
【点拨】由可得
【典题3】 若，且是方程的两个根，则 .
【解析】由已知可得，，
．
，且，，
，则，
．
【点拨】注意考虑角度的范围.
【典题4】已知，则 ．
【解析】已知两等式分别平方得①，
②，
①+②得：，
即，
则．
【典题5】 设，则( )
A． B． C． D．
【解析】由题意知，，
即， (正切化弦)
等式两边同乘以，得，
所以，
即；(化为同一函数名)
又，
所以，，(注意角度的范围限制)
所以，所以．
故选：．
【点拨】遇到含正切与正弦余弦的等式，可采取“切化弦”的方法.
【典题6】 在中，，，则的形状为 ．
【解析】，
，
，，．
又，
，
，，
，
为等边三角形.
【点拨】在三角形中，，.
巩固练习
1(★) ．
【答案】
【解析】
．
2(★) 若，且，则 ．
【答案】
【解析】若，且，则，
所以，
所以．
3(★) 已知：均为锐角，，，则 ．
【答案】
【解析】由于，均为锐角，，，
所以．
所以．
所以．
4 (★★) 在中，，则 ．
【答案】
【解析】因为△ABC中，，
；
；
；
，(舍)；
故； ；
.
5(★★★) 设，若，)，且，则 ．
【答案】
【解析】由得，
，，
因为，，所以，，
由，得，
．
6 (★★★) 设，，则的最大值为 ．
【解析】由可得，
，
所以，
当且仅当即，时取等号，此时α－β取得最大值．
7(★★★) 已知锐角满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为锐角满足，
所以，
令，，则，
由题意得，，
则
，
当且仅当时取等号，此时的最小值．
【题型二】角的变换
【典题1】 若，，则 ．
【解析】 ， ，
，，
又，即在第三象限，(注意角度的范围)
，
则
【点拨】
① 因为已知角和所求角中的系数是相反数，故想到两角和是特殊角为关键，则有.
② 在角的变换中，要注意已知角与所求角之间的和差是否为定值.
【典题2】若，，且，，则的值是 .
【解析】(找到已知角与所求角之间的关系)
则
(求也，还要求，)
，，
又，，
；
，，
，
，
(确定与的范围，以确定和的正负号)
，
又，，
，
.
【典题3】已知，，则的最大值为 .
【解析】，，
，
，
即，
，即，
化简整理得，
当且，即，等号成立，取得最大值．
巩固练习
1 (★★) 已知，且，，则 ．
【答案】
【解析】已知，且，
，，．
，
2 (★★) 若，，，则 ．
【答案】
【解析】由于，
所以，，，
故，，
且，，
故．，
所以
，
3 (★★) 若，，，，则 ．
【答案】
，，
，
，
(
.
4 (★★) 已知，，均为锐角，则 ．
【答案】
【解析】因为为锐角，且，
所以，，
又因为，
于是，
又为锐角，所以．
5 (★★) 已知，，且，则的值 ．
【答案】
【解析】，
，
，
则
由得，
6 (★★) 若，，且，，则的值是 ．
【答案】
，，，
又，
，即，，
；
又，，
，
．
又，，
，，
【题型三】辅助角公式的运用
【典题1】 若，，则，的大小关系是 ．
【解析】化简可得，，
，
由正弦函数的单调性可知.
【点拨】熟记.
【典题2】 设当时，函数取得最小值，则 ．
【解析】对于函数，
其中，为锐角．
当时，函数取得最小值，，
即，
故可令，即，
故
，
故答案为：．
【点拨】
① 辅助角公式，要理解其中的含义.
② 涉及到三角函数的性质问题(比如单调性、对称性、最值等)，往往要通过辅助角公式把函数转化为的形式.
【典题3】 已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在上单调，则的最小值为 .
【解析】由题意，，为辅助角，
因为对称轴，所以，
即，(三角函数对称轴对应的值是最值)
解得，
所以，对称轴方程为，
又因为在上具有单调性，且，
设，，则线段的中点为函数的对称中心，
所以，
显然当，时，即，时取最小值.
(结合函数图像分析)
巩固练习
1(★★) 已知函数|的最小正周期为，则 ．
【答案】
【解析】因为函数；
故其最小正周期为：.
2(★★) 是的内角，其中，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
)．
，，
.
3(★★) 若函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】)
当时，函数值是；
当时，函数值是；
当时，函数值是；
又函数在上增，在上减，可得的取值范围．
4(★★★) 已知函数在(，)上仅有个最值，且是最大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为)，
又函数在上仅有个最值，且是最大值，
所以，，且，
解可得，，且，
从而有.
5(★★★)已知函数对任意的，都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】，其中，
又题意的最大值为，，，，
若在上的值域为，，.
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