三角函数倍角公式
(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)
1 二倍角的正弦余弦正切公式
①
②
③
(由、、可推导出，，的公式)
2 降幂公式
(由余弦倍角公式可得)
半角公式
(由降幂公式可得)
万能公式
(由倍角公式可得)
积化和公式
(由和差公式可得)
和化积公式
(由和差公式可得)
【题型一】 倍角公式的运用
【典题1】 求值 ．
【典题2】计算 .
【典题3】如果，那么 .
【典题4】已知，则的值为 .
【典题5】 若，且，则 ．
巩固练习
1(★) 计算 ．
2(★) 已知，则 .
3(★) 若3，则 .
4(★★) 设，则的值为 .
5(★★) 已知，且，则 .
6 (★★) 已知，若，则 .
7 (★★) 已知则 .
8 (★★) 已知，则 .
【题型二】 降幂公式的运用
【典题1】 在中，若，求.
巩固练习
1(★★) 若，则的值为 .
2(★★) 已知是方程的一根，则 .
3(★★) 已知，则的值是 .
【题型三】角的变换
【典题1】若，则 .
【典题2】 已知，且，求的值．
巩固练习
1(★★) 若，则的值为 ．
2(★★) 已知)，则) ．
3(★★) 已知，则 ．
4(★★) 已知，且，则 ．
5(★★★) 已知，且，求的值．
6(★★★) 设，若，求.
【题型四】简单的三角恒等变换(选学内容)
【典题1】 若，且，则等于 .
【典题2】在中，，则的最大值是 .
巩固练习
1(★★) ．
2(★★) 的值为 ．
3(★★) 已知为第二象限角，，则的值为 .
4(★★) 若，是第三象限角，则 .
5(★★) 已知，则的值为 .
6(★★★) 已知为锐角，且，那么的取值范围是 ．
7(★★★) ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)三角函数倍角公式
(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)
1 二倍角的正弦余弦正切公式
①
②
③
(由、、可推导出，，的公式)
2 降幂公式
(由余弦倍角公式可得)
半角公式
(由降幂公式可得)
万能公式
(由倍角公式可得)
积化和公式
(由和差公式可得)
和化积公式
(由和差公式可得)
【题型一】 倍角公式的运用
【典题1】 求值 ．
【解析】
.
【典题2】计算 .
【解析】
【点拨】
① 正切化弦；
② 注意角度之间的关系，比如互余(与、与)、倍数关系、角度相差值是特殊值(与相差).
【典题3】如果，那么 .
【解析】
(化切为弦)
【点拨】
① 本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求，进而可得，再求与得结果，但数值不好求.
② 化切为弦是常见思路，也可
．方法多样，多思考.
【典题4】已知，则的值为 .
【解析】，
，
．
【点拨】与是四倍关系，故可用借助进行转化；解题中多用综合法与分析法求解.
【典题5】 若，且，则 ．
【解析】 ，且，
，
，
①式两边平方可得：，解得，
，(巧用，齐次化处理)
可得，解得或．
由①可知，即，(注意对最后求值的取舍)
.
【点拨】
本题的处理方法很多，平时要多注意一题多解，提高对公式灵活运用的能力.
比如凑角；得到后能求出和等等.
巩固练习
1(★) 计算 ．
【答案】
【解析】原式．
2(★) 已知，则 .
【答案】
【解析】，，，，
则，
3(★) 若3，则 .
【答案】
【解析】3，
，
．
4(★★) 设，则的值为 .
【答案】
【解析】
，，
，
．
5(★★) 已知，且，则 .
【答案】
【解析】由，得，
即，解得(舍去)，或．
，，
则．
6 (★★) 已知，若，则 .
【答案】
【解析】，
，可得，
，可得，
，
，
解得，可得．
7 (★★) 已知则 .
【答案】
【解析】，，
或 (舍去)，
．
8 (★★) 已知，则 .
【答案】 或
【解析】已知， ①．
，，可得②，或③．
若②成立，则把①、②平方相加可得 ，
解得．可得：，
若③成立，则有．可得，
综上可得，，或．
故答案为：或．
【题型二】 降幂公式的运用
【典题1】 在中，若，求.
【解析】在中，若
即
即，
即
【点拨】式子中出现“平方”形式，想到降幂公式.
巩固练习
1(★★) 若，则的值为 .
【答案】
【解析】，
．
2(★★) 已知是方程的一根，则 .
【答案】
【解析】是方程的一根，
，则，
可得，可得，
，
．
3(★★) 已知，则的值是 .
【答案】
【解析】，
两边平方，可得，可得，
．
【题型三】角的变换
【典题1】若，则 .
【解析】，
．
【点拨】因为已知角和所求角中的系数是倍的关系，故想到与的差是特殊角为关键，则有.
【典题2】 已知，且，求的值．
【解析】 由得，，(注意角度的范围)
所以(，
由得，，
所以(，
所以
，
所以
【点拨】本题关键在于发现两个已知角之和与所求角之间差个特殊角存在两倍的关系.
【总结】
① 当已知角只有一个时，可已知角与所求角的和或差的值是否为一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍与所求角(已知角)和或差的值是否为一固定特殊角；
当已知角有两个时，主要看两个已知角的和或差形式与所求角的关系；
特殊角为等.
② 常见的角变换有：，，，
等.
③ 在运用和差角公式和倍角公式时，要注意“整体思想”的运用.
巩固练习
1(★★) 若，则的值为 ．
【答案】
【解析】，
，即，
即．
2(★★) 已知)，则) ．
【答案】
【解析】，．
，．
．
．
．
3(★★) 已知，则 ．
【答案】
【解析】，
．
4(★★) 已知，且，则 ．
【答案】
【解析】由于，故，．
所以．，所以，
所以．
所以．
5(★★★) 已知，且，求的值．
【答案】
【解析】，，，
，，
，，
则
)－(．
6(★★★) 设，若，求.
【答案】
【解析】设，则
.
【题型四】简单的三角恒等变换(选学内容)
【典题1】 若，且，则等于 .
【解析】，，
设，，
，，
，
即，解得.
【点拨】本题利用万能公式，也可利用求出，再求得到.
【典题2】在中，，则的最大值是 .
【解析】方法一 两角和差公式、二倍角公式
当，即时，取得最大值．
方法二 积化和差
.
当，即时，取得最大值．
【点拨】掌握积化和差公式，对于处理含涉及的题目较为有利.
巩固练习
1(★★) ．
【答案】
【解析】
．
2(★★) 的值为 ．
【答案】 1
【解析】1
3(★★) 已知为第二象限角，，则的值为 .
【答案】
【解析】为第二象限角，
，
则，
则，，
当是偶数，设，
则，，此时为第一象限，
当是奇数，设，
则，，此时为第三象限，
则为第一或第三象限，
，
舍去)或，
，
±，
4(★★) 若，是第三象限角，则 .
【答案】
【解析】，是第三象限角，，
则，
5(★★) 已知，则的值为 .
【答案】
【解析】，
．
6(★★★) 已知为锐角，且，那么的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
为锐角，即
，
故答案为：
7(★★★) ．
【答案】
【解析】
．
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