函数的图像和性质
1 性质
(1) 简谐运动可用函数，表示，
是振幅，周期，频率 ，相位，初相.
(2) 对的影响
影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置.
2 函数的变换
(1) 平移变换
① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)；
②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减).
PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是.
(2) 伸缩变换
①
将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短).
②
将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)；
问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？
解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是.
【题型一】函数图象的变换
【典题1】 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
．函数的最小正周期为
．函数的单调递增区间为
．函数的图象有一条对称轴为
．函数的图象有一个对称中心为
巩固练习
1(★) 将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为( )
2(★) 将函数)的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若，则( )
． ． ． ．
3(★★) 为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
．向右平移个单位 ．向左平移个单位
．向右平移个单位 ．向左平移个单位
4(★★) 已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为( )
． ． ．
5(★★) 已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则的图象( )
．关于点对称 ．关于直线对称
．在[，]单调递增 ．在单调递减
6(★★★) 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
．函数的最小正周期为
．函数的单调递增区间为
．函数的图象有一条对称轴为
．函数的图象有一个对称中心为
【题型二】由函数的部分图象求解析式
【典题1】 已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 .
【典题2】 已知函数，，且上单调，则函数的解析式是 .
巩固练习
1(★) 函数(其中，)的图象如图，则此函数表达式为 .
2(★★) 如图，函数与坐标轴的三个交点满足，，为的中点，，则的值为 .
3 (★★) 已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是( )
．直线是图象的一条对称轴
．的图象可由向左平移个单位而得到
的最小正周期为
在区间(，)上单调递增
4 (★★★) 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间和对称中心坐标；
(3)将的图象向左平移个单位，再讲横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．
5 (★★★) 如图是函数的部分图象，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点．
(1)求函数的解析式及上的单调增区间；
(2)若时，函数的最小值为求实数的值．
【题型三】三角函数模型的简单应用一
【典题1】已知函数．
(1)求的最小值并写出此时的取值集合；(2)若，求出的单调减区间.
【典题2】已知函数．
求的对称中心；
设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
若函数在区间上的最大值为，求的值．
【典题3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)设方程在内有两个相异的实数根、，求实数的取值范围及的值；
(3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．
巩固练习
1(★★) 已知函数．
求函数的最小正周期；求函数的单调增区间；求函数在区间上的最大值．
2(★★) 已知函数的最小正周期为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)将图象向右平移个单位长度后，得到函数，求函数在上的值域．
3(★★★) 已知函数，其中．
(1)求使的的取值范围；
(2)若函数，且对任意的，恒有成立，求实数的最大值．
4(★★★★) 已知函数，)，函数的图象经过点且的最小正周期为．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向下平移个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间(且)满足：在上至少有个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【题型四】三角函数模型的简单应用二
【典题1】 如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )
．
．若，则
．不论为何值，是定值
【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点(异于)，点在线段上，且满足．已知，，设．
为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．
巩固练习
1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过t秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足．则下列叙述错误的是( )
A．
B．当时，点到轴的距离的最大值为
C．当时，函数单调递减
D．当时，
2(★★) 某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度(米)随时间(秒)变化的关系式为 .
3(★★) 如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
4(★★★) 如图，某正方形公园，在区域内准备修建三角形花园，满足与平行(点在上)，且(单位：百米)．设∠，的面积为(单位：百米平方)．
求关于的函数解析式
求的最大值，并求出取到最大值时的值．
5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形的圆心角为，半径为米，点在上，于，于．现要在和区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为．设∠，．
(1)用分别表示和的面积；
(2)当为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？
6(★★★★) 如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点．
(1)请你为点确定位置，使的周长最大，并说明理由；
(2)已知，设∠，当为何值时，
①四边形的周长最大，最大值是多少？
②四边形的面积最大，最大值是多少？
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1 性质
(1) 简谐运动可用函数，表示，
是振幅，周期，频率 ，相位，初相.
(2) 对的影响
影响函数的最值，影响周期，影响函数水平位置.
2 函数的变换
(1) 平移变换
① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)；
②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减).
PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是.
(2) 伸缩变换
①
将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短).
②
将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)；
问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？
解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是.
【题型一】函数图象的变换
【典题1】 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
．函数的最小正周期为
．函数的单调递增区间为
．函数的图象有一条对称轴为
．函数的图象有一个对称中心为
【解析】函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，
再向右平移个单位得到的图象．
与比较 (利用诱导公式转化同函数名)
又由于，所以．
所以，故函数的周期为，错误；
令，解得，
所以函数单调递增区间为，故正确；
由于，则取不到最值，不是对称轴，
，不是对称中心，即，错误．
故选：．
巩固练习
1(★) 将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为( )
【答案】
【解析】函数，其图象先左移个单位，得的图象；
再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，得函数的图象；
所以函数的解析式为．故选：．
2(★) 将函数)的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若，则( )
． ． ． ．
【答案】
【解析】将函数)的图象向左平移个单位长度，
可得 的图象，
因为，所以，即，
所以或．
因为，所以，，故选：C．
3(★★) 为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
．向右平移个单位 ．向左平移个单位
．向右平移个单位 ．向左平移个单位
【答案】
【解析】为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位．故选：．
4(★★) 已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为( )
． ． ．
【解析】函数的两条相邻的对称轴的间距为，所以，解得，
现将的图象向左平移个单位后得到一个为偶函数，
则，整理得，
当时，．故选：B．
5(★★) 已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则的图象( )
．关于点对称 ．关于直线对称
．在[，]单调递增 ．在单调递减
【答案】
【解析】的最小正周期为，，得，
此时，
图象向右平移个单位后得到)，
若函数为偶函数，则，，得，
，当时，，
则)，
则，故关于点不对称，故错误，
，故关于直线不对称，故错误，
当时，，，
此时函数为增函数，故正确，
当时，，，
此时函数不单调，故错误，故选：．
6(★★★) 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
．函数的最小正周期为
．函数的单调递增区间为
．函数的图象有一条对称轴为
．函数的图象有一个对称中心为
【解析】函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位得到：的图象．
与比较，
又由于，所以．
故，得到，
所以：．
故函数的周期为，错误；
令，解得，
函数单调递增区间为，故正确；
由于，可得错误．故选：．
【题型二】由函数的部分图象求解析式
【典题1】 已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 .
【解析】由函数图象的最值可得，
由，解得，所以，
此时
代入得，
，
又，，
，
①、②正确；
不是奇函数，③错误；
，
为偶函数，④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
【点拨】由函数()的部分图象求解析式的方法
(1) 求：通过函数最值求解，得；
(2) 求：根据图象求出周期，再利用求出；
(3) 求：求出后代入函数图象一最值点，求出.
【典题2】 已知函数，，
且上单调，则函数的解析式是 .
【解析】 对于函数)，
由，可得函数的图象关于直线对称；
又，可得函数的图象关于点(，对称，即；
，解得，
；
上单调
，，(由单调区间得到周期范围)
，
又， ，
(，0)是对称中心，，
即，又 ，
.
【点拨】
① 对于函数，
若，则是其对称轴；若，则是其对称中心；
② 处理三角函数，多注意其对称性，结合图象进行分析.
巩固练习
1(★) 函数(其中，)的图象如图，则此函数表达式为 .
【答案】
【解析】如图所示，，，可得，，解得，
所以，
因为函数过，代入，
得，即，，
当时，φ．所以，故选：．
2(★★) 如图，函数与坐标轴的三个交点满足，，为的中点，，则的值为 .
【答案】
【解析】由∠，所以，设，则，
又为的中点，所以；
又，即；
整理得，解得或(不合题意，舍去)；
所以，；
所以，解得T=8，所以8，解得；
把代入，即，
由，得；
把代入，
得，解得．
3 (★★) 已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是( )
．直线是图象的一条对称轴
．的图象可由向左平移个单位而得到
的最小正周期为
在区间(，)上单调递增
【答案】
【解析】由函数部分图象，点，，
，，，)．
再根据五点法作图可得，求得，故 )．
令，求得，为最大值，
故直线是图象的一条对称轴，故正确；
把向左平移个单位，可得)的图象，故不正确；
)的最小正周期为 ，故正确；
在区间上，，故)单调递增，故选：．
4 (★★★) 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间和对称中心坐标；
(3)将的图象向左平移个单位，再讲横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．
【答案】
单调递增区间，对称中心坐标
.
【解析】(1)由图象可知，可得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象及五点法作图可知：，所以，
所以．
(2)由(1)知，
令，，
得，，
所以的单调递增区间为，
令，，得，，
所以的对称中心的坐标为．
(3)由已知的图象变换过程可得：)，
因为，所以，
所以当，得x时，取得最小值，
当，即时，取得最大值．
5 (★★★) 如图是函数的部分图象，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点．
(1)求函数的解析式及上的单调增区间；
(2)若时，函数的最小值为求实数的值．
【答案 】，
【解析】(1)取的中点为，则，
因为为的中点，且在轴上，则且，则，
所以，，则，
，所以
所以，
由，解得，
由，所以，
即，
令解得，
又，
所以函数在上的单调增区间为；
(2)因为，所以，
所以，所以，
令，则，
则，
①当1，即时，，解得:，
②当，即时，，解得:舍)，
③当即时，，解得(舍)，
综合①②③得实数的值为．
【题型三】三角函数模型的简单应用一
【典题1】已知函数．
(1)求的最小值并写出此时的取值集合；
(2)若，求出的单调减区间.
【解析】(1)由于
（二倍角公式、两角和差公式）
(辅助角公式)
)
令，，解得，，
可得的最小值为，此时的取值集合为；
(2)由，，
可得，，
所以的单调减区间为，，
因为，当时，减区间为；
当时，减区间为．
综上，时的单调减区间为和．
【点拨】
① 解析式的化简中用积化和差公式更简洁些；
②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为或的形式求解函数的各性质(单调性、对称性、周期、最值等).
【典题2】已知函数．
求的对称中心；
设常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
若函数在区间上的最大值为，求的值．
【解析】(1) (函数解析式转化为形式)
．
所以对称中心，
(2)，由，
解得，
的增区间为，
在上是增函数，
(是函数增区间的子集，而，故)
当时，有，
，解得，
的取值范围是．
，
(注意，)
令，
则，
，，
而，
则，
(问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴在区间左中右)
①当时，即时，，
令，解得(舍)．
②当时，即时，，
令，解得或(舍)，
③当时，即时，在处，，
由，解得，
综上所述或．
【典题3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)设方程在内有两个相异的实数根、，求实数的取值范围及的值；
(3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)
．
当时，，
(函数化为)
由，得，．
当时，函数的单调减区间为，；
(2) (将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)
方程在内有两个相异的实数根，
即在内有两个相异的实数根，
也就是在内有两个相异的实数根，
当)时，，
即在内有两个相异的实数根，
(数形结合，与在内相交于两点)
易得在内的值域是，
即，此时；
(3)若对任意实数，恒成立，
则恒成立，
即恒成立，(换元法化为二次函数恒成立问题)
令，则恒成立．
可得，即．
实数的取值范围是．
巩固练习
1(★★) 已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调增区间；
求函数在区间上的最大值．
【答案】(1) (2) ， (3)
【解析】
，
(1)最小正周期；
(2)令，，则，，
故单调增区间为：，，
(3)当时，，则，
所以函数在区间上的最大值为．
2(★★) 已知函数的最小正周期为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)将图象向右平移个单位长度后，得到函数，求函数在上的值域．
【答案】 (1)．(2)．
【解析】
(1)，
由于函数的最小正周期为，故，所以；
令，整理得，
故函数的对称轴方程为．
(2)由于，
由于，所以，
故．
3(★★★) 已知函数，其中．
(1)求使的的取值范围；
(2)若函数，且对任意的，恒有成立，求实数的最大值．
【答案】 (1) ， (2)
【解析】(1)，
，即，
所以，，解得，，
即使的的取值范围是，．
(2)令
，
因为对任意的，恒有成立，
所以当时，为增函数，
所以，解得， 所以实数的最大值为．
4(★★★★) 已知函数，)，函数的图象经过点且的最小正周期为．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有的点向下平移个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间(且)满足：在上至少有个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】(1)，
又函数的最小正周期为，，．
．
又函数经过点，所以，
于是
因为，所以．
故．
(2)由题意，．
令得：，
或，
解得：或
相邻两个零点之间的距离为或．
若最小，则均为的零点，
此时在区间分别恰有，，…，零点．
在区间恰有个零点．
至少有一个零点．
，即．
检验可知，在恰有个零点，满足题意(可有可无)
的最小值为．
(3)由题意得．
，，
．
设，．则．
设．
则在上是增函数．
当时，，．
故实数的取值范围是．
【题型四】三角函数模型的简单应用二
【典题1】 如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )
．
．若，则
．不论为何值，是定值
【解析】 方法一 几何法
图中水面，，
(由图，则需了解与的关系，从几何角度求解)
每分钟转动圈 每秒钟内所转过的角度为，(角速度)
则秒转过的角度，即
如上图依题意可知，即
在中，
对于，，即错误；
对于，，，即正确；
(或确定是函数对称轴也行)
对于，因为，所以，即，
所以，
解得，即错误；
对于D，
因为 ，
所以，即正确．
故选：．
方法二 待定系数法
可知符合三角函数模型，设，
依题意可知的最大值为，最小为，
，且，可得，；
每分钟转动圈，
圈要秒，即，
则，得，
(也可由每秒钟内所转过的角度为得)
依题意可知，得，取，(得到的一个值便可)
故所求的函数解析式为，
接下来如同方法一.
【点拨】
① 方法一利用几何性质求出(即图中的)与之间的关系；
② 方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数，根据题意由最大值和最小值求出的值，根据周期性由求出，注意一个特殊情况代入一个点求出.
【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点(异于)，点在线段上，且满足．已知，，设．
为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．
【解析】依题意∠∠，
则在直角中，；
在直角中，，；
(用变量表示，利用函数最值方法求解)
(1)
，，
所以当，即，的最大值为；
(2)在直角△ABC中，由，(等积法)
可得；
在直角中，
，
所以
，，
(函数化为求最值)
所以当，达到最大，最大值为．
【点拨】
① 利用直角三角形等几何性质用表示各线段长度；
② 题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量的取值范围.
巩固练习
1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过t秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足．则下列叙述错误的是( )
A．
B．当时，点到轴的距离的最大值为
C．当时，函数单调递减
D．当时，
【答案】
【解析】由题意，，，，
点代入可得，，．故正确；
，当时，，
点到轴的距离的最大值为，正确；
当时，，函数单调递减，不正确；
当时，，的纵坐标为，，正确，故选：．
2(★★) 某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度(米)随时间(秒)变化的关系式为 .
【答案】
【解析】设，
由题意可得，，，为最低点，
代入可得，，
，时，，
，故选：．
3(★★) 如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】当为中点时，矩形的面积取到最大值
【解析】如图，在中，设∠，则，，
在中，，所以．
．
设矩形的面积为，则
．
由于，所以当，即时，．
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．
4(★★★) 如图，某正方形公园，在区域内准备修建三角形花园，满足与平行(点在上)，且(单位：百米)．设∠，的面积为(单位：百米平方)．
求关于的函数解析式
求的最大值，并求出取到最大值时的值．
【答案】 ，
(2)的最大值为百米平方，此时．
5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形的圆心角为，半径为米，点在上，于，于．现要在和区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为．设∠，．
(1)用分别表示和的面积；
(2)当为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？
【答案】 (1) 和的面积分别为平方米，平方米；
(2) 当时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大.
【解析】(1)直角三角形中，，，
所以的面积为，
同理的面积为．
(2)设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为，
甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为，，
则，
．
当，即时，取得最大值．
答：(1)和的面积分别为平方米，平方米；
(2)当时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．
6(★★★★) 如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点．
(1)请你为点确定位置，使的周长最大，并说明理由；
(2)已知，设∠，当为何值时，
①四边形的周长最大，最大值是多少？
②四边形的面积最大，最大值是多少？
【答案】
①时，最大值是． ②时，最大值是.
【解析】(Ⅰ)点在半圆中点位置时，周长最大；理由如下：
因为点在半圆上，且是圆的直径，所以，即是直角三角形；
设，，，显然，，均为正数，则；
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以周长为，当且仅当时等号成立；
即为等腰直角三角形时，周长取得最大值为；此时点是半圆的中点．
(Ⅱ)(ⅰ)因为，
所以∠∠；
所以，；
设四边形的周长为，
则
；
显然，所以当时，取得最大值．
(ⅱ)过作于，
设四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为，
则
；
所以
．
当且仅当，即时，等号成立；
显然，所以，所以此时；
所以当时，，即四边形的最大面积是．
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