湖南省长沙县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

长沙县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.
3.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩单位：环，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为( )
A. 7 B. 8 C. D. 9
4.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥是阳马，平面ABCD，且，若，，，则( )
A. B.
C. D.
6.已知圆锥的侧面积是，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，O为线段AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 的单调递减区间为
10.已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为( )
A. 2 B. C. D.
11.如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，已知，，，则线段OC的长为( )
A. 6 B. 8 C. D.
12.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. C的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线C有交点，则
C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为
D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是__________.
14.已知，，则__________.
15.如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，，，，记正方体12条棱的中点分别为，，，，6个面的中心分别为，，，，正方体的中心为，记，，则__________.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”.
根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数;
现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在的概率.
18.已知函数，且
判断函数的奇偶性，并说明理由;
若，求m的取值范围.
19.已知圆，直线
求证：直线l恒过定点;
直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短 并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长.
20.已知a，b，分别为三个内角A，B，C的对边，且
求
若，且为锐角三角形，求周长的取值范围.
21.如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为AC中点，连接
证明：平面
点P在棱上，当二面角为时，求EP的长.
22.已知椭圆经过点，且右焦点为
求C的标准方程;
过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F，以EF为直径的圆是否过定点 若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
长沙县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合的交集及其运算，属于容易题.
根据已知条件中所给的两个集合，结合集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：，，
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题.
先根据复数的四则运算化简复数，再计算模长即可.
【解答】
解：复数，有故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查百分位数，属于基础题.
【解答】
解：将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，，第70百分位数为故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程、点到直线的距离，注意讨论直线的斜率不存在的情况，属基础题.
根据题意，分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可.
【解答】
解：圆化为标准方程为，得圆心，半径为2，
当直线l的斜率不存在时，直线，
此时直线l与圆相切，符合题意;
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
即，
圆心到直线l的距离为，
由题意得，
所以，平方化简得，求得直线方程为，
综上，直线l的方程为或
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的运算法则，属于基础题．
利用空间向量的线性运算法则计算即可．
【解答】
解：，，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，圆锥体积的计算，属于基础题.
【解答】
解：设圆锥母线长为a，底面半径为r，侧面积是，则，有
侧面展开图顶角为，有，解得，，圆锥的高，
则故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.
由已知得出a，b，c的关系即可求解.
【解答】
解：依题意，，，
过P作轴，由几何关系知，
所以
因为，
所以PA所在直线方程可设为，
所以，
可得：
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了正方体的性质和线面角的求法，考查了推理能力，属于较难题.
建立空间直角坐标系，设边长为2，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法可得答案.
【解答】
解：以D为坐标原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设边长为2，
则，，，
设，，
则，
在正方体中易知平面，
所以为平面的一个法向量，
，，
则，
，
所以的取值范围是
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题.
【解答】
解：对于A，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确;
对于B，当时，可得，所以的图象不关于直线对称，所以B错误;
对于C，由，此时函数为非奇非偶函数，所以C错误;
对于D，令，，解得，，即函数的递减区间为，，所以D正确.
故选
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定、两条直线的交点坐标，属于基础题.
因为三条直线，，能构成三角形，
所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果.
【解答】
解：因为三条直线，，能构成三角形，
所以直线与，都不平行，
且直线不过与的交点，
直线与，都不平行时，，且，
直线与的交点坐标为，
代入直线中，可知，所以实数m的取值可以为2或，故选
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查求空间向量的长度，属于中档题.
依题意，，两边同时平方后，利用空间向量的数量积计算，即可求解.
【解答】
解：依题意，，
平方得，
因为，，，或，
所以2，
故或，即OC的长为6或
故选
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于一般题．
求出a，b，再对选项逐个判断即可.
【解答】
解：双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确;
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知
若直线与双曲线C有交点，则错误;
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为正确;
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为错误.
故选
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法，属于基础题.
先求出中点的坐标，利用两直线垂直的性质得到所求垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．
【解答】
解：线段AB的中点为，垂直平分线的斜率，线段AB的垂直平分线的方程是，故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数求值，考查两角差的余弦公式，属于基础题.
求出，利用两角差的余弦即可求解.
【解答】
解：因为，
又，
所以，
所以，
故答案为
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的坐标运算，合理转化是解题关键，属于中档题．
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，，
设向量，而，故，
故表示各点的坐标和，现各点的横坐标之和为X，纵坐标之和为Y，竖坐标之和为Z，
根据对称性可得，
故
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于中档题.
首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据当且仅当 M、 N、 E共线时取等号，最后根据求得的最小值.
【解答】
解：如图，
由M为椭圆C上任意一点，则，
又N为圆E：上任意一点，
则当且仅当M、N、E共线时取等号，
，
，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
由题意知，，，
则，
的最小值为
故答案为
17.【答案】解：根据频率分布直方图可估计中位数为：
由频率分布直方图可知：违章车次在的路口有4个，记为A，B，C，违章车次在的路口有2个，记为a，b，
从“重点路口”中随机抽取两个路口，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况，
其中有且仅有一个违章车次在的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种.
所求概率

【解析】本题考查频数分布图，考查中位数的计算，考查古典概型，属于基础题．
由频率分布直方图，结合中位数的估计方法可求解；
由古典概率模型公式代入化简求值即可．
18.【答案】解：由得，即函数的定义域为
可知的定义域关于原点中心对称.
又，故为偶函数;
因为为偶函数，所以不等式即，
由复合函数的单调性可知，当时，在内单调递减，
当时，在内单调递增，
当时，由已知有解得
当时，由已知有解得
故当时，m的取值范围为当时，m的取值范围为
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，属于一般题.
利用奇偶性的定义即可判断;
由题意得，求出的单调性，对a进行分类讨论即可求解.
19.【答案】直线即，
联立解得
所以不论a取何值，直线l必过定点
当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
直线l的斜率为，，
有，解得
此时直线l的方程是
圆心到直线的距离为，
所以最短弦长是
【解析】本题主要考查了直线过定点，直线与圆的位置关系.
将直线l化为即可求解；
当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长.当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
20.【答案】解：由已知有，
又，，
又，，有，
又，
，且，
由正弦定理有，从而，，
，
，
又为锐角三角形，有，且，，
，有
故，从而周长的取值范围为
【解析】本题重点考查正弦定理、考查三角恒等变换等，属于中档题.
利用正弦定理和三角恒等变换求得，即可求
利用正弦定定理和三角恒等变换求得，结合B的范围求出的范围，即可求周长的范围.
21.【答案】解：证明：取DF中点N，连接EN，MN，
由MN为梯形ADFC的中位线，得，，
又，故，且，
故四边形BMNE为平行四边形，则，
因为平面DEF，平面DEF，
故平面
以BM所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，MN所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，设，
可得，，，
设平面DEF的法向量为，平面PDF的法向量为，
则有，即，
取，则，，得，
又，即，
取，则，，得，
由二面角为，得，
即，解得，
故
【解析】本题考查线面平行的判定、平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
证出，即可证出结果；
建立空间直角坐标系，设，分别求出平面DEF的法向量为和平面PDF的法向量为，利用，求出a的值，即可求出结果.
22.【答案】解：由题意，，，
所以，
故C的标准方程为
以EF为直径的圆过定点，理由如下：
设直线l的方程为，联立椭圆方程，
消去x，整理可得，
则，且，
由直线AM方程为，令，求得点
由直线AN方程为，令，求得点
由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，
设该定点为，则，，
可得
由，解得，
故以EF为直径的圆过定点，
【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，考查定点问题，属于较难题.
根据条件求出a，b，即可得椭圆方程;
设直线l的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，求出E，F坐标，通过，求出，即可求得定点坐标