江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

淮安市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线的准线方程为，则m的值为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
6.已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切. C. 相离 D. 无法确定
7.设抛物线上一点P到x轴的距离为d，点 Q为圆任一点，则的最小值为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
8.如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于直线，以下结论正确的有( )
A. 时，直线l在两坐标轴上的截距相等
B. 直线l必过第二象限
C. 时，直线l不过第四象限
D. 时，直线I过第二、三、四象限
10.已知与，以下结论正确的有( )
A. 与有且仅有2条公切线
B. 若直线l与、分别切于相异的A，B两点，则
C. 若M，N分别是与上的动点，则MN的最大值为10
D. 与的一条公切线斜率为
11.关于双曲线，以下结论正确的有( )
A. 准线方程为
B. 焦点到渐近线的距离为1
C. 与双曲线C两支各有一个交点的直线斜率的取值范围为
D. 过点有且仅有2条直线与双曲线C仅有一个公共点
12.法国天文学家乔凡尼多美尼科卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线在平面直角坐标系xOy中，两个定点，，曲线C是到两个定点，的距离之积为的点的轨迹，以下结论正确的有( )
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C可能过坐标原点
C. P为曲线C上任意一点，当时，点P纵坐标的取值范围为
D. 若曲线C与椭圆有公共点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知直线与垂直，则m的值为__________.
14.已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为17，则P到另一个焦点的距离为__________.
15.已知圆上恰有3个点到直线的距离为，则__________.
16.杭州第19届亚运会的主会场---杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”如图1所示会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆E的方程为，下顶点为，O为坐标原点，P为圆C上任意一点，满足，则点C的坐标为__________;若Q为椭圆上一动点，当QC取最大值时，点Q恰好有两个，则a的取值范围为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知在中，点，角A的角平分线为，AC边上的中线所在直线为
求点A的坐标;
求BC边所在直线方程.
18.已知直线，点，，，圆C经过A，B两点，且圆心在直线l上.
求圆C的标准方程;
若P为圆C上的动点，求的取值范围.
19.已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，AB中点为
求抛物线C的标准方程;
记抛物线C上一点，，直线PA斜率为，直线PB斜率为，求
20.在中，，，的内心
求内切圆方程;
求外接圆方程.
21.已知交x轴于A，B两点，P为上位于x轴上方的动点，将上
各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线
求曲线C的方程;
记直线BP与曲线C的另一个交点为D，若，求的面积.
22.已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为
求双曲线E的标准方程;
设双曲线E的右顶点为B，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点异于A，，记直线MN与x轴的交点为
①求证：Q为定点;
②直线MN交直线于点D，记，求证：为定值.
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数学参考答案
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
【解答】
解：直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
，
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点等问题，属于基础题.
【解答】
解：由题可知，，即，，
因为，解得，，
则所求的椭圆方程为：
故答案为
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的准线方程，属于基础题.
由抛物线的准线方程，即可求得m的值.
【解答】
解：由已知可得，故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线渐近线的计算，根据双曲线的离心率求出a，c的关系，然后根据a，b，c的关系进行求解是解决本题的关键．
【解答】
解：双曲线的离心率，
又，故，
渐近线方程为
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆相交的弦长问题，属于基础题.
先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离公式求得圆心到直线l的距离，进而利用勾股定理求得被截得的弦长.
【解答】
解：由题意，圆的圆心为，半径
圆心到直线的距离为，
故直线被圆所截得的弦长为
故选
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
根据已知条件可得，再判断圆心到直线的距离与半径的大小即可得到位置关系.
【解答】
解：由已知可得，
圆的圆心到直线的距离，
故直线与圆O相交，
故选
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程，涉及圆有关的最值问题，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.
【解答】
解：抛物线焦点，
圆的圆心为，半径
设P在准线上的射影为R，
，
，
，
，
，
当且仅当F，P，Q，S共线且依序排列时取等号，
故的最小值为
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查求椭圆离心率问题，考查直线与椭圆的位置关系，属于难题.
【解答】
解：
若，得，
有题知，，，且直线，
可得，，
进而得到直线AB：，直线OP：
M为直线AB和直线OP的交点，联立两个直线方程可得，
，
P为直线OP与椭圆的交点，联立，得
因为，则，
整理得，得，
即，，解得，
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，截距等知识，属于基础题.
逐一判断各选项，即可得出结论.
【解答】
解：对于A，当时，直线在两坐标轴上的截距均为，故A正确.
对于B，当时，直线l为，不经过第二象限，故B错误.
对于C，当时，直线经过第一、二、三象限，故C正确.
对于D，时，直线过第二、三、四象限，故D正确.
综上，故选
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查两圆的位置关系及圆的切线方程，考查与圆有关的最值问题及直线的斜率，是中档题.
【解答】
解：由已知，两圆圆心距，
所以两圆相切，有3条公切线，A不正确；
若直线l与、分别切于相异的A，B两点，
则，故B正确；
若M，N分别是与上的动点，则当M，，，N共线时如下图，
MN取最大值为，C正确；
由上图1，设直线AB的倾斜角为，则，
即直线AB的斜率为，D正确．
故选
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的渐近线等问题，属于综合题.
【解答】
解：
A：在双曲线中，，，则，
所以，，，
所以双曲线C的准线方程为，故A错误;
B：双曲线C的焦点为，渐近线方程为，即，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，故B正确;
C：双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线C两支各有一个交点，
则直线斜率的取值范围为，故C正确；
D：过点可作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有1个交点，
故满足条件的直线有4条，故D错误.
故选
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查的是轨迹问题，难度较大.
可先求出曲线C的方程，再对各个选项进行分析即可.
【解答】
解：设曲线C上任意一点坐标为，
由题意可知，
即
对于A，把中的x被代换，方程不变，故此曲线关于 y轴对称，故A正确；
对于B，将代入也成立，故B正确；
对于C，当时，则，则，
则P在以为焦点的椭圆上或外，故曲线C上存在纵坐标大于1或小于的点，故C错误；
对于D，设椭圆上的任意一点，
易得，
因为，则，
设曲线C与椭圆的交点为N，则，故D正确；
综上，故选ABD
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
根据两条直线垂直的充要条件建立方程求解即可．
【解答】
解：因为直线：与：垂直，
所以，解得
故答案为：
14.【答案】33
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义，属于基础题．
【解答】
解：双曲线的标准方程是，
，，
假设点P到左焦点的距离为17，
双曲线上一点P到右焦点的距离为x，
由双曲线定义知：，
解得或
，则不符合题意，
点P到右焦点的距离是
故答案为：
15.【答案】或7
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．
判断圆心C到的距离为是解题的关键.
【解答】
圆的标准方程为，
圆心为，半径为，
因为圆C上恰有3个点到直线的距离为，
故圆心到直线的距离为，
即，解得或7，
故答案为或
16.【答案】 ；

【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程和圆的方程，椭圆中的最值问题，属于较难题.
【解答】
解：由题意，，设，由得
，化简得，
即P点的轨迹为圆，圆心C坐标为，半径为，
椭圆E的方程为，设动点，则，
点Q在椭圆上，则，
，
当QC取最大值时，根据椭圆的对称性，点Q不是椭圆的上、下顶点时，点Q就有两个，
此时由 ，解得或舍去，
故a的取值范围为
17.【答案】解：设，由题意知A，C的中点在直线上，则有，，
点坐标为
由题意知C关于的对称点在直线AB上，
则有边AB所在直线方程为，即
联立方程有，解得
又，则BC所在直线方程为

【解析】本题主要考查直线方程的综合应用，考查点关于直线对称，考查两条直线的交点坐标，属于中档题．
18.【答案】解：法因为圆心C在直线上，设，由可得，
即，得，所以
，故圆C的标准方程为
法设AB的中点为M，则，直线AB的斜率为，故线段AB中垂线的方
程为，即，联立解得，
所以
故圆C的标准方程为
因为点P在圆C上，所以，设点，且满足
又，所以

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等知识，难度中等.
19.【答案】解：设，，则有，
①-②得③
，B均在直线l上，，又AB中点为，则有，
代入③有，抛物线C的标准方程为，
由题意知，设，，，
同理有，
④
联立直线l与抛物线，易得，
则有，
代入④式有

【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系以及直线的斜率公式，属于中档题.
20.【答案】解：直线方程为，D到直线AB的距离为，
所求内切圆方程为
由对称性知直线AC斜率为，直线AC方程为
设直线BC斜率为k，则BC方程为
与内切圆相切，，解得或舍
直线BC方程为
联立直线AC方程有
设外接圆一般方程为，则有
解得，，
外接圆方程为

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程和圆的一般方程，考查点到直线的距离公式，考查直线间的对称问题，属于综合题.
21.【答案】解：设所求曲线C上任一点的坐标为，圆O上的对应点的坐标为
由题意可得，因为，所以即
法设，，，故，
又，故
又因为，故，或舍
代入椭圆有所以的面积为
法因为，故，故
又，，故
又因为，故，或舍
代入椭圆有所以的面积为

【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中的三角形面积问题，难度较大.
22.【答案】解：，，双曲线方程为
①设，，
的直线方程为的直线方程为
设，，联立直线AP与双曲线方程有
化简得，
由韦达定理知，则有，代入直线有
联立直线BP与双曲线方程，化简有，
由韦达定理知，则有，代入直线有
设，，，由得
，化简得，
为
②设直线MN方程为，则有
联立方程组，化简得，
则有，
由知，由知

【解析】本题考查双曲线的标准方程，双曲线中的定点定值问题，考查函数与方程思想和数学运算能力，属于较难题.