湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 654.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-14 21:50:17 | ||
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文档简介
国际育才高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合, 则（ ）
A. [-1,3) B. [-1,9] C. (-1,3] D. (-1,9)
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 5
5. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
6.若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为2
C. 直线是的图像的一条对称轴
D. 点是的图像的一个对称中心
10. 已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（ ）
A. B. C. D.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形,E为PC的中点, PD=AD=BD=2,∠ADB=90°,则（ ）
A. PA∥平面BDE
B. 平面PCB⊥平面PDB
C. 三棱锥P-BDE的体积为
D. 异面直线 PA 和BE 所成的角的余弦值为
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B. 若满足，则
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是第四象限角，且满足，则______
14.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______
15. 已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是__________．
16.函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分（17题满分10分，其余各题满分12分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数若函数图像相邻两条对称轴间
（1）求的值及函数的单调递减区间；
18.在中，，
（1）求
（2）设。
19.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.
20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.
（1）证明：若，直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.
21. 已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
22：已知函数，其中．
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B B B D C A AD ABD ABD ACD
三．填空题
13.－ 14. 15. 16.
解答题
（1）
19.
20.（1）
如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，
，
又，，
，四边形为平行四边形，
，
又，，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）
如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3).存在，或
假设存在点，设，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
则，，
则，
，
解得或，
故存在点，此时或.
21.（1）若，则，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
22.（1）由有两个零点，得方程有两个解，
设，则，
由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，
所以的最大值为，当时，当时，，
所以可得函数的大致图象，
所以，解得，
所以，有两个零点时，的取值范围是；
【小问2详解】
设，即，则恒成立，
由，，可得，
下面证明当时，，即证，
令，则证，，
令为开口向上的二次函数，对称轴为，
由（1）可知，故在时单调递增，
则，
下面只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，从而不等式得证，
综上，的取值范围是．
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合, 则（ ）
A. [-1,3) B. [-1,9] C. (-1,3] D. (-1,9)
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 5
5. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
6.若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为2
C. 直线是的图像的一条对称轴
D. 点是的图像的一个对称中心
10. 已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（ ）
A. B. C. D.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形,E为PC的中点, PD=AD=BD=2,∠ADB=90°,则（ ）
A. PA∥平面BDE
B. 平面PCB⊥平面PDB
C. 三棱锥P-BDE的体积为
D. 异面直线 PA 和BE 所成的角的余弦值为
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B. 若满足，则
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知是第四象限角，且满足，则______
14.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______
15. 已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是__________．
16.函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分（17题满分10分，其余各题满分12分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数若函数图像相邻两条对称轴间
（1）求的值及函数的单调递减区间；
18.在中，，
（1）求
（2）设。
19.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.
20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.
（1）证明：若，直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.
21. 已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
22：已知函数，其中．
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B B B D C A AD ABD ABD ACD
三．填空题
13.－ 14. 15. 16.
解答题
（1）
19.
20.（1）
如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，
，
又，，
，四边形为平行四边形，
，
又，，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）
如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3).存在，或
假设存在点，设，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
则，，
则，
，
解得或，
故存在点，此时或.
21.（1）若，则，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
22.（1）由有两个零点，得方程有两个解，
设，则，
由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，
所以的最大值为，当时，当时，，
所以可得函数的大致图象，
所以，解得，
所以，有两个零点时，的取值范围是；
【小问2详解】
设，即，则恒成立，
由，，可得，
下面证明当时，，即证，
令，则证，，
令为开口向上的二次函数，对称轴为，
由（1）可知，故在时单调递增，
则，
下面只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，从而不等式得证，
综上，的取值范围是．
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