2008高考备考典型题例集锦--文科数学

2008高考备考典型题例集锦--文科数学
一、三角函数及解三角形
1. 已知函数.
（1）求它的最小正周期和值域；
（2）如何由的图象得到上述函数图象．
解：（1）
（3分）
（4分）

（7分）
∴ 函数的最小正周期为，值域为[0，2].
（2）将的图象上所有点的坐标中纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把得到的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位（12分）
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知a+b=5，c=．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）∵A+B+C=180°
由
∴
整理，得 解得：
∵ ∴C=60°
（2）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab
∴=25－3ab
∴
3.设
（1）求出函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，的最大值为，求在x∈R上的最小值，并求此时的x值.
解：（1）

的最小正周期
由

的递增区间是．
（2）由．
．
又的最大值为．
时，
取得最小值.
4. 中，角、、所对的边分别是、、，，.
（1）求的值；
（2）若最长的边的长为1，求最短的边长.
解：（1）因为 是三角形内角，所以 ，
所以 .
所以
.
（2）因为是三角形内角，所以 ，又由已知，、都是锐角，且
，所以最长边 ，最短边为
由正弦定理： ， 所以，最短边为
5.已知某海滨浴场的海浪高度（米）是时间的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：
时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，的曲线可近似地看成是函数.
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；
（2）为了安全起见，规定：当海浪高度低于1米时才对冲浪者开放．由（1）结论，判断一天内的上午 时至晚上时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解：（1）；（2）下午15点到20点均可.
二、平面向量
1.已知向量，，若，则
A． B． C．1 D．3
2.在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足
（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知，的最小值为，求实数的值．
解：（1），
3分
三点共线 ……………………………………………4分
（2）由
……………………………5分
，故 …………………………………6分
从而

………………………………………10分
又，当时，取最小值．
即…………………………………………………11分
， ………………………………………………12分
三、立体几何
1．已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为，则点B′到边的距离为 .
2.圆锥的母线长为2 cm，过顶点和底面圆心的截面面积为2 cm，则该圆锥的侧面积为
A. cm B. cm C. cm D.cm
3．已知三棱柱ABC—A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为 矩形，俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，
（1）在三棱柱ABC—A1B1C1中，求证：BC⊥AC1；
（2）在三棱柱ABC—A1B1C1中，若D是底边AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1；
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积.
解：（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，……1分
又俯视图△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，，
由余弦定理可得
又∵BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴BC⊥平面ACC1A1
∵AC1平面ACC1A1，∴BC⊥AC1……………………………………4分
（2）连BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，连DM，则DM∥AC1…………6分
∵DM平面DCB1，AC1平面DCB1，∴AC1∥平面CDB1……………………8分
（3）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d
∴左视图的面积………………………………12分
4．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，为上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D－AEC的体积；
（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.
解：（1）证明：，
∴，则 …………2分
又，则
∴ 又 ∴ …………4分
（2）×× …………8分
（3）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连MN,则由比例关系易得CN＝ …………10分
MG∥AE MG平面ADE, AE平面ADE,
MG∥平面ADE
同理, GN∥平面ADE
平面MGN∥平面ADE
又MN平面MGN MN∥平面ADE
N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点 …………12分
5． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？
若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.
解证：设PA=1.
（1）由题意PA=BC=1，AD=2.……………………………………2分

由勾股定理逆定理得AC⊥CD.……………………………………3分
又∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD，
∴PA⊥CD. 又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC.……………………5分
又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.……………………6分
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，连接CE.……8分
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB.………………10分
又CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.
∵BC=，AF=BC，
∴F为AD的中点，∴E为PD中点.
故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥面PAB.………12分
6.如图，已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F.
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若
求三棱锥S—AEF的体积.
解：（1）
…………4分
………6分
（2）中，
又…………8分
由（1）知
得…………10分
由（1）知…………12分
四、概率
现有编号分别为的五个不同的物理题和编号分别为的四个不同的化学题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．
解:（1）共有个等可能性的基本事件，列举如下：
，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，
（2）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于但不小于”为事件.
即事件为“，且，其中”，
由（1）可知事件共含有个基本事件，列举如下：
，,，，,，，，,，，,，,
.
答：（1）共有个基本事件；（2）同学所抽取的两题的编号之和不小于且小于的概率为.
2．已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A，求事件A发生的概率.
解：由，可得：………………………………6分
知满足事件A的区域：的面积10，而满足所有条件的区域的面积：
从而，得：，………………………………11分
答：满足事件A的概率为 …………………………………………12分
3. 已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；
（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.
解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件，“甲射击一次，命中7环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故与是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为，
由互斥事件的概率加法公式，．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为，
∴．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴=1－0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分
4.已知，点P的坐标为
（1）求当时，P满足的概率；
（2）求当时，P满足的概率．
解：（1）如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部（含边界），满足 的点的区域为以为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
所求的概率 ……………7分
（2）满足，且的点有25个，
满足，且的点有6个，
所求的概率 ……………14分
五、集合、函数与导数
1．已知集合，且，求实数的取值范围.
解：∵，∴.
若，则，满足；
若，则.
综上，的取值范围是或，即.
2. 已知函数y＝f (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数．又知y＝
f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值.证明：；②求的解析式
解：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
②当时，由题意可设，
由得，∴，
∴
3．设二次函数，方程的两根和满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）试比较与的大小，并说明理由．
解：（1）设.
∵方程的两根和满足，
∴
∴实数的取值范围.
（2）.
∵函数在上单调递增，且，
∴. ∴．
4.设函数对任意x,y，都有，<0；f（1）=－2.
（1）求证是奇函数；
（2）试问在是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说明理由.
解：（1）证明：令x=y=0，则有f（0）=2f（0）f（0）=0
令，则有
即
是奇函数…………………………5分
（2）任取
且
在R上为减函数．
因此为函数的最大值．
∴函数最大值为6，最小值为－6……………………12分
5．已知函数，且方程有实根.
（1）求证：且；
（2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由.
解：（1）∵，∴.
∵方程有实根，∴.
∴，∴.
∵，∴，∴应舍去.∴.
∵且，∴，∴.
（2）∵1是方程的一根，∴，
∴方程的另一根为，∴.
∴当时，；当时，.
∵，∴，∴.
∴，∴.
6.已知
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1） 令…………………3分
当0 当单调递减.
…………………………6分
（2）由（1）知，当x=1时，取得最大值，
即…………………………………………………………8分
由题意恒成立，
……………………………………………10分
解得a>2或a<－1，即所求a的范围（－∞，－1）∪（2，+∞）.…………12分
7.已知函数 .（1）求函数的单调区间；（2）若曲线上有两点，处的切线都与轴垂直，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
解：（1） ，令得：， …2分
列表：
↗
↘
↗
由上表可知，函数的单调递增区间为，；
单调递减区间为．…………………………………6分
（2）由（1）可知，，且在，处分别取得极值．
，．………………………………………8分
有已知得函数在区间上存在零点，∴≤，……………10分
即≤．
∴≤，∵，∴≤，解得：≤≤．
故实数的取值范围是．……………………………………………………12分
六、解析几何
1. 已知圆O:和定点A（2，1），由圆O外一点P（a,b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足
求实数a、b间满足的等量关系；
求线段PQ长的最小值；
若以P为圆心所做的圆P与圆Q有公共点，试求半径取最小值时
圆P的方程．
解：（1）连结OP
因为Q为切点，PQOQ，又勾股定理有，
又由已知
即…
化简得……………………………………….4分
（2）由，得
故当时，线段PQ长取最小值…………………8分
（3）设圆P的半径为R，圆P与圆O有公共点，由于圆O的半径为1，所以有
即R且R
而
故当时，，此时b=
故半径取最小值时，圆P的方程是
……….14分
2.已知圆
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．
解：（1）将圆C配方得
（i）当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为，
由直线与圆相切，得 …………3分
（ii）当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为
由直线与圆相切，得 …………6分
（2）由
即点P在直线上． …………9分
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为： …………10分
解方程组 …………12分
3. 已知：点P是椭圆上的动点，、是该椭圆的左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，又．
(1) 求点Q的轨迹C的方程；
(2) 是否存在斜率为1的直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
解：（1）由椭圆方程知，，得，
∴ ，
∵ 与是方向相同
∴ 点Q在F1P的延长线上，且有，
∴ 点Q的轨迹C是圆，圆心为F1，半径为4，
∴ C的方程为
（2）假设存在直线l：满足条件，
由 消去，得
∵ △， ∴
设，则，
∵ ∴
而 ，
∴ ，
∴
∴
∴ ∴
∵ 时都有成立，
∴ 存在直线l：满足要求．
4．已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A满足，N为AF的中点，点M在线段AE上，．
（1）求点M的轨迹W的方程；
（2）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．
解：（1）∵ N为AF的中点，且，
∴ MN垂直平分AF． …………………………………………1分
又点M在线段AE上，
∴ ．．
∵， …………………………………………4分
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，
半焦距． ………………………………………………………………5分
∴ ．
∴ 点M的轨迹W的方程为. …………………………………7分
（2）设，
∵ ，，
∴
∴ …………………9分
由点P、Q均在椭圆W上，
∴　 ………………………………11分
消去并整理，得，
∵, ∴.
解得． …………………14分
5.如图5，设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：.相切，求椭圆C的方程.
解：（1）设，. 由，得
∵，∴，得. （2分）
由，得解得 （4分）
因为点P在椭圆上，所以. （5分）
化简得，即 （6分）
解得（舍去）. （7分）
故椭圆的离心率 （8分）
（2）由（1）知，得，又，于是，（9分）
所以(AQF的外接圆圆心为（，0），半径为. （10分）
所以，解得，∴， （13分）
故所求椭圆方程为 （14分）
七、数列
1.已知数列是首项为，公比的等比数列，是其前项和，且成等差数列．（1）求公比的值；（2）设，求．
解：（1）成等差数列，


（2）




2.已知数列满足（）
（1）求的值；
（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（3）若数列满足（），求数列的前项和
解：（1）（1分）
（2分）
（2）由（）可得（4分）
又，所以数列是首项为，且公比为3的等比数列（6分）
∴
于是数列的通项公式为，（）（8分）
（3）由，得（9分）
∴ ①
于是 ②（10分）
由①－②得（12分）
∴ （14分）
3.已知数列的前项和为，，且点在直线上
（1）求k的值；
（2）求证是等比数列；
（3）求的值.
解：（1）∵ 点 在直线上， ∴， ……（1分）
当n=1时，， ……（2分）
又 则，∴ ……（4分）
（2） 由 （1） 知 ①， 当时， ② ……（6分）
①－②，得 ， ……（8分）
又，易见，∴ ……（9分）
所以，是等比数列. ……（10分）
（3）由（2）知，的公比为2， ……（11分）
所以 . ……（13分）
4.已知二次函数f(x)=同时满足：①不等式f(x)0的解集有且只有一个元素②在定义域内存在0,使得不等式成立．设数列{}的前n项和.（1）求函数f(x)的表达式；
（2）求数列{}的通项公式；
（3）设各项均不为零的数列{}中，所有满足的整数i的个数称为这个数列{}的变号数．令（n为正整数），求数列{}的变号数．
解：（1）f(x)0的解集有且只有一个元素，
或a=4
当a=4时，函数在（0，2）上递减
故存在使不等式成立
当a=0时，函数在（0，）上递增
故不存在，使不等式成立
综上，得a=4，………………5分
（2）由（1）可知，当n=1时，，
当n时，
………………9分
（3）由题设
n时，
n时，数列{}递增．
因为，由1得n，可知
，即n时，有且只有1个变号数．
又因为，即
综上得数列{}的变号数为3………………14分
八、应用题
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
…
1.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所
得不超过起征点的部分不必纳税，超过起征点的部分为全月应纳
税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
第十届全国人大常委会第三十一次会议决定，个人所得税起征点自2008年3月1日起由1 600元提高到2 000元.
（1）某公民A全月工资、薪金所得额为3 250，请计算由于个人所得税起征点的调整，该公民A今年三月份的实际收入比二月份多了多少元？
（2）某公民B由于个人所得税起征点的调整，今年三月份的实际收入比二月份多了35元，计算该公民B三月份工资、薪金所得额为多少元？
解：（1）二月份应纳税额为：（3 250－1 600－500）×10%+500×5%=140，……3分
三月份应纳税额为：（3 250－2 000－500）×10%+500×5%=100……5分
所以公民A今年三月的实际收入比二月多了40元.…………………………………5分
（2）因400×5%=20，400×10%=40，20<35<40……………………………………8分
所以设该公民B二月有x元按10%纳税，（400－x）元按5%纳税………………10分
则10x%+（400－x）×5%=35，解得x=300，所以1 600+500+300=2 400
所以公民B三月工资、薪金所得额为2 400元……………………………………12分
2.某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块
，规划建设占地如图中矩形的仓库，其余地方为
道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，、分别
在边、上，假设长度为米．
（1）要使仓库占地的面积不少于144平方米，长度应在什么范围内？
（2）若规划建设的仓库是高度与长度相同的长方体形建筑，问长度为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）
解：（1）依题意三角形NDC与三角形NAM相似，
所以,即， ，
矩形ABCD的面积为，定义域为，
要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米即， 化简得，解得
所以AB长度应在内.
（2）仓库体积为
得，
当时，当时
所以时V取最大值米3，
即AB长度为20米时仓库的库容最大.
3. 某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R(x)万元.
且
（1）求出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；
（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？
（注：年利润=年销售收入－年总成本）
解：（1）当时，

当x>10时，

（2）①当时，
当，则函数单调递增
当，则函数单调递减
（万元）
②当x>10时，（万元）
（当且仅当时取等号），
综合①②知，当x=9时,y取最大值
故当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大
4.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：
产品
消耗量
资源
甲产品（每吨）
乙产品（每吨）
资源限额（每天）
煤（t）
9
4
360
电力（kw·h）
4
5
200
劳动力（个）
3
10
300
利润（万元）
6
12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨. 获得利润z万元
依题意可得约束条件：
作出可行域如右图
利润目标函数z=6x+12y
由几何意义知当直线l：z=6x+12y，经过可行域上的点M时，z=6x+12y取最大值.
解方程组 ，得M（20，24）
答：生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润
5．某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满60分钟一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到室内空气中．每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作．
（1）求第n次释放出有害气体后（净化之前）车间内共有有害气体量为多少？
（2）安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常生产．当r=20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由．
解（1）∵第一次释放有害气体，
第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体，
第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体
，
第n次释放出有害气体后（净化前）车间内共有有害气体
即
（2）由题意，要使该车间能连续正常生产6.5小时，须在第6次释放出有害气体后（净化之前），车间内有害气体总量不得超1.25am3，即必须要有


∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时.
6．某地西红杮从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红杮种植成本Q（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表：
时间
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红杮种植成本Q与上市时间的变化关系：．
（2）利用你选用的函数，求西红杮种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：（1）由提供的数据知道，描述西红杮种植成本Q与上市时间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数中的任意一个进行描述时都应有，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所以选取二次函数进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入，
得到解得
所以描述西红杮种植成本Q与上市时间的变化关系的函数为．
（2）当天时，西红杮种植成本最低为
（元）．
答：西红杮种植成本最低时的上市天数为150天，最低种植成本为100元.
九、不等式
1.不等式的解集是
A． B．C． D．
2.设，则的大小关系是
A． B． C． D．
3.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是的最小值是 C
A．3 B．4 C．5 D．6
4．设集合，．（1）求集合；（2）若不等式的解集为，求，的值．
解：，……………………………………………… 3分
，……………………… 3分
（1）；……………………………………………………. 2分
（2）因为的解集为，
所以为的两根，……………………………………… 2分
故，所以，．……………………………………. 2分
十、统计、线性回归及独立性检验
1．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

（1）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（2）补全频数条形图；
（3）若成绩在75.5(85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人
分组
频数
频率
50.5(60.5
4
0.08
60.5(70.5
8
0.16
70.5(80.5
10
0.20
80.5(90.5
16
0.32
90.5(100.5
12
0.24
合计
50
1.00
解：（1）如上表.
（2）频数直方图如右上所示.
（3）成绩在75.5(80.5分的学生占70.5(80.5分的学生的，因为成绩在70.5(80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5(80.5分的学生频率为0.1 ，
成绩在80.5(85.5分的学生占80.5(90.5分的学生的，因为成绩在80.5(90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5(85.5分的学生频率为0.16
所以成绩在76.5(85.5分的学生频率为0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26(900=234（人）
2.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查,得到的统计数据如下表所示:
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.
解:(1)
(2)根据
所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.
十一、命题及常用逻辑用语
1.已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知命题(R), 命题函数在区间上单调递增, 则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
3．已知a>0且. 命题P：函数内单调递减；命题Q：曲线轴交于不同的两点. 如果“P/Q”为真且“P/Q”为假，求a的取值范围.
解：∵，
∴命题P为真时
命题P为假时
命题Q为真时，
命题Q为假时
由“P/Q”为真且“P/Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.
情形（1）：P正确，且Q不正确
情形（2）：P不正确，且Q正确
综上，a取值范围是
十二、探究性问题
1．求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
[解] 点到直线的距离为.
“逆向”问题可以是：
(1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程.
[解] 设所求轨迹上任意一点为，则，
所求轨迹为或.
(2) 若点到直线的距离为2，求直线的方程.
[解] ，化简得，或，
所以，直线的方程为或.
意义不大的“逆向”问题可能是：
(3) 点是不是到直线的距离为2的一个点？
[解] 因为，所以点是到直线的距离为2的一个点.
(4) 点是不是到直线的距离为2的一个点？
[解] 因为，
所以点不是到直线的距离为2的一个点.
(5) 点是不是到直线的距离为2的一个点？
[解] 因为，
所以点不是到直线的距离为2的一个点.
2．某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， △、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.
(1) 求证：四边形是正方形；
(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
[证明] (1) 图2是由四块图1所示地砖绕点
按顺时针旋转后得到，△为等腰直
角三角形， 四边形是正方形. …… 4分
[解] (2) 设，则，每块地砖的费用
为，制成△、△和四边形三种材料
的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)， …… 6分

.
由，当时，有最小值，即总费用为最省.
答：当米时，总费用最省.
3.如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即 （），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出 的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求 前项的和．
解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，
数列为．
（2）
67108861．
（3）．
由题意得 是首项为，公差为的等差数列．
当时， ．
当时，
．
综上所述，