内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂托克旗四校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂托克旗四校联考2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-14 22:10:06 | ||
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文档简介
鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第一学期期中联考试卷
高二数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（ ）
①已知，，那么事件“”有可能不发生；
②随机试验的频率与概率相等；
③如果一个事件发生的概率为99.9999%，那么说明此事件必然发生；
④只有不确定事件有概率；
⑤若事件A发生的概率为，则
A.⑤ B.③⑤ C.③④⑤ D.②③④⑤
3.若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A.-9 B.-8 C.9 D.8
4.已知一组数据6，6，8，8，10，10，则该组数据的方差是（ ）
A. B.2 C. D.4
5.在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点A，B分别是直线：与直线：上的点，则的最小值为（ ）
A.0 B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，D为的中点，N为上一点且，则（ ）
A.5 B.3 C. D.
8.已知O是坐标原点，若圆C：上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是（ ）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
10.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A.这组数据的众数为4 B.这组数据的极差为3
C.这组数据的平均数为1.5 D.这组数据的40%分位数为1
11.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A.若点在圆的内部，则
B.若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C.若圆，外切，则
D.过点作圆的切线，则的方程是或
12.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.E，F，G，H四点共面
B. 与所成角的大小为
C.在线段上存在点，使得平面
D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是__________.
14.已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是__________.
15.已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是__________.
16.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两EBD种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点E为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知直线的方程为.
（1）若直线的倾斜角为120°，求k的值；
（2）已知直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知，，.
（1）求点A到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“族”，否则称为“非族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：
组数 分组 人数 本组中“H族”的比例
第一组 200 0.6
第二组 300 0.65
第三组 200 0.5
第四组 150 0.4
第五组 0.3
第六组 50 0.3
（1）试补全频率分布直方图，并求a与n的值；
（2）从每天慢走时间在（分钟）内的“H族”中按时间采用比例分配的分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率
21.（本小题满分12分）
如图1，已知梯形中，，E是边的中点，，，.将沿折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是，的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）求点P到平面的距离.
22.（本小题满分12分）
已知是实数，圆C的方程是.
（1）若过原点O能作出直线与圆C相切，求实数的取值范围；
（2）若，圆C与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧）.过点M任作一条直线与圆O：相交于点A，B.问：是否存在实数m，使得 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第一学期期中联考试卷·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.B设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是.故选B.
2.A对于①，如果，，那么“”是必然事件；对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率，但不一定等于概率；对于③，如果一事件发生的概率为99.9999%，那么只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件；对于④，确定事件也有概率；对于⑤，若事件发生的概率为，则.故⑤正确.故选A.
3.D由，得，所以，解得.故选D.
4.C由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是.故选C.
5.A不妨设，由题意可知，所以，所以解得所以点的坐标为.故选A.
6.C由题意可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以..故选C.
7.D
，
所以
，
所以.故选D.
8.B将圆的方程化为标准方程得，所以.因为圆上有2个点到O的距离为2，所以圆与圆O：相交，所以，又，所以，即实数的取值范围为（-24，16）.故选B.
9.BD对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选BD.
10.BD对于A，该组数据的众数为1，故A错误；对于B，极差为4-1=3，故B正确；对于C，平均数为，故C错误：对于D.数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4.因为8×40%=3.2，所以这组数据的40%分位数为第4个数1，故D正确.故选BD.
11.BCD由点在圆的内部，得，解得，故A错误；若，则圆：，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；圆的标准方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为，圆心为，半径，若圆，外切，则，即，解得，故C正确；当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离，解得，所以的方程是，故D正确.故选BCD.
12.AD 以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，，，
设，则，
所以解得
故，即E，F，G，H四点共面，故A正确；
因为，，所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意.
设，则，
若平面，则，.
因为，，所以此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，所以在线段上任取一点N，三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选AD.
13. 因为为圆心，且圆与x轴相切，所以圆的半径，所求圆的方程为.
14. 从盒中随机取出1校棋子，“是黑棋子”记为事件A，“是白棋子”记为事件B，则，，两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子.这两个事件是互斥事件.第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为.所以这两枚棋子恰好不同色的概率是.
15. 因为直线与直线交于点A，所以联立解得，设点关于直线的对称点坐标为，则的中点坐标为，，故解得即点A关于直线的对称点坐标是.
16. 将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，
所以，，，，，，，
所以，，
则，.
设直线与直线所成角为，则
，
即，解得或（舍）.
17.解：（1）由题意可得.
（2）在直线的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直线的方程为或.
18.解：（1）直线的方程为，化简，得，
所以点A到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为.
将A，B，C的坐标代入，得即
解得
故所求圆的方程为.
19.（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，所以，，
又为的中点，，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，平面，
又平面，所以，，，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则
令，得，，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）第二组的频率为，
所以第二组小矩形高为，补全后的频率直方图如下：
第一组的频率为0.04×5=0.2，所以.
第五组的频率为0.02×5=0.1，所以.
（2）因为分钟的“H族”人数为150×0.4=60，分钟的“H族”人数为100×0.3=30，二者比例为60：30=2：1，
所以按时间采用比例分配的分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人.
设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，在分钟内抽取的4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种不同的抽取方法，事件有，，，，，，，，共8种，
所以.
即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率为.
21.解：（1）因为图1中，所以图2中，，
又，所以分别以，，所在直线为x轴，y轴，x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
.
因为，，，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由得
取，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（2）由（1）知是平面的一个法向量，
又，
所以点到平面的距离.
22.解：（1）因为过原点O能作出直线与圆C相切，所以原点O不在圆C内.
所以解得，
所以所求实数的取值范围是.
（2）在中，令得，
即，解得，或，
因为，点M在点N的左侧，所以，.
假设存在实数m，使得，则、的斜率互为相反数.
①当直线与轴垂直时，显然，此时m是大于-4的任意实数.
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，
设，，则，
，.
，
而
，
令，解得（满足）.
所以时，.
综上所述，存在实数，使得.
高二数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（ ）
①已知，，那么事件“”有可能不发生；
②随机试验的频率与概率相等；
③如果一个事件发生的概率为99.9999%，那么说明此事件必然发生；
④只有不确定事件有概率；
⑤若事件A发生的概率为，则
A.⑤ B.③⑤ C.③④⑤ D.②③④⑤
3.若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A.-9 B.-8 C.9 D.8
4.已知一组数据6，6，8，8，10，10，则该组数据的方差是（ ）
A. B.2 C. D.4
5.在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点A，B分别是直线：与直线：上的点，则的最小值为（ ）
A.0 B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，D为的中点，N为上一点且，则（ ）
A.5 B.3 C. D.
8.已知O是坐标原点，若圆C：上有2个点到O的距离为2，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是（ ）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
10.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A.这组数据的众数为4 B.这组数据的极差为3
C.这组数据的平均数为1.5 D.这组数据的40%分位数为1
11.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A.若点在圆的内部，则
B.若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C.若圆，外切，则
D.过点作圆的切线，则的方程是或
12.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.E，F，G，H四点共面
B. 与所成角的大小为
C.在线段上存在点，使得平面
D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是__________.
14.已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是__________.
15.已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是__________.
16.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两EBD种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点E为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知直线的方程为.
（1）若直线的倾斜角为120°，求k的值；
（2）已知直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知，，.
（1）求点A到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“族”，否则称为“非族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：
组数 分组 人数 本组中“H族”的比例
第一组 200 0.6
第二组 300 0.65
第三组 200 0.5
第四组 150 0.4
第五组 0.3
第六组 50 0.3
（1）试补全频率分布直方图，并求a与n的值；
（2）从每天慢走时间在（分钟）内的“H族”中按时间采用比例分配的分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率
21.（本小题满分12分）
如图1，已知梯形中，，E是边的中点，，，.将沿折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是，的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）求点P到平面的距离.
22.（本小题满分12分）
已知是实数，圆C的方程是.
（1）若过原点O能作出直线与圆C相切，求实数的取值范围；
（2）若，圆C与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧）.过点M任作一条直线与圆O：相交于点A，B.问：是否存在实数m，使得 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
鄂尔多斯市西四旗2023～2024学年第一学期期中联考试卷·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.B设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是.故选B.
2.A对于①，如果，，那么“”是必然事件；对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率，但不一定等于概率；对于③，如果一事件发生的概率为99.9999%，那么只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件；对于④，确定事件也有概率；对于⑤，若事件发生的概率为，则.故⑤正确.故选A.
3.D由，得，所以，解得.故选D.
4.C由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是.故选C.
5.A不妨设，由题意可知，所以，所以解得所以点的坐标为.故选A.
6.C由题意可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以..故选C.
7.D
，
所以
，
所以.故选D.
8.B将圆的方程化为标准方程得，所以.因为圆上有2个点到O的距离为2，所以圆与圆O：相交，所以，又，所以，即实数的取值范围为（-24，16）.故选B.
9.BD对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选BD.
10.BD对于A，该组数据的众数为1，故A错误；对于B，极差为4-1=3，故B正确；对于C，平均数为，故C错误：对于D.数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4.因为8×40%=3.2，所以这组数据的40%分位数为第4个数1，故D正确.故选BD.
11.BCD由点在圆的内部，得，解得，故A错误；若，则圆：，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；圆的标准方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为，圆心为，半径，若圆，外切，则，即，解得，故C正确；当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离，解得，所以的方程是，故D正确.故选BCD.
12.AD 以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，，，
设，则，
所以解得
故，即E，F，G，H四点共面，故A正确；
因为，，所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意.
设，则，
若平面，则，.
因为，，所以此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，所以在线段上任取一点N，三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选AD.
13. 因为为圆心，且圆与x轴相切，所以圆的半径，所求圆的方程为.
14. 从盒中随机取出1校棋子，“是黑棋子”记为事件A，“是白棋子”记为事件B，则，，两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子.这两个事件是互斥事件.第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为.所以这两枚棋子恰好不同色的概率是.
15. 因为直线与直线交于点A，所以联立解得，设点关于直线的对称点坐标为，则的中点坐标为，，故解得即点A关于直线的对称点坐标是.
16. 将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，
所以，，，，，，，
所以，，
则，.
设直线与直线所成角为，则
，
即，解得或（舍）.
17.解：（1）由题意可得.
（2）在直线的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直线的方程为或.
18.解：（1）直线的方程为，化简，得，
所以点A到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为.
将A，B，C的坐标代入，得即
解得
故所求圆的方程为.
19.（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，所以，，
又为的中点，，，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，平面，
又平面，所以，，，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则
令，得，，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）第二组的频率为，
所以第二组小矩形高为，补全后的频率直方图如下：
第一组的频率为0.04×5=0.2，所以.
第五组的频率为0.02×5=0.1，所以.
（2）因为分钟的“H族”人数为150×0.4=60，分钟的“H族”人数为100×0.3=30，二者比例为60：30=2：1，
所以按时间采用比例分配的分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人.
设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，在分钟内抽取的4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种不同的抽取方法，事件有，，，，，，，，共8种，
所以.
即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率为.
21.解：（1）因为图1中，所以图2中，，
又，所以分别以，，所在直线为x轴，y轴，x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
.
因为，，，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由得
取，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（2）由（1）知是平面的一个法向量，
又，
所以点到平面的距离.
22.解：（1）因为过原点O能作出直线与圆C相切，所以原点O不在圆C内.
所以解得，
所以所求实数的取值范围是.
（2）在中，令得，
即，解得，或，
因为，点M在点N的左侧，所以，.
假设存在实数m，使得，则、的斜率互为相反数.
①当直线与轴垂直时，显然，此时m是大于-4的任意实数.
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，
设，，则，
，.
，
而
，
令，解得（满足）.
所以时，.
综上所述，存在实数，使得.
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