4.3.1对数的概念_教学设计（表格式）

对数的概念教学设计
教学目标
教学目标： 1.初步理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化； 2. 了解指数与对数的内在联系，在概念指导下完成对数计算； 3.借助转化思想理解对数本质，培养数学运算和数学抽象的素养。 教学重点： 对数的概念、指数式与对数的互化。 教学难点： 对数符号的理解， 以及对数与指数间的联系的认识。
教学过程
时 间 教 学 环 节 主要师生活动
1 分 30 秒 温故知新 已有旧知 教师提出问题： 学习指数函数时我们曾讲解过这样一道题目：某地 B 景区从 2001 年起游客人次 的年增长率为 0.11，设经过 x 年后的游客人次为 2001 年的 y 倍，表示 x,y 的关系， 并试求经过多少年游客人次是 2001 年的 2 倍，3 倍，4 倍……？ 学生回答：y＝1. 11x（x [0, + ]）， 2 = 1. 11x，3 = 1. 11x ，4 = 1. 11x， 分别求x. 新知产生 教师点拨： 求解 x 的值，其实就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节要学习的对数。对数
是一种新的运算， 由刚才的实际问题可以感受到学习这种运算的必要。
10 分 钟 探 究 新 知 新知形成 对于形如 ax = N(a > 0且a 子 1) ，求 x 的问题，我们引入新的符号来表示x 的值. 1.1 = 2,那么 x 可以记作 x =log1.12,读作以 1. 1 为底 2 的对数； 2 x =3 ，那么x 可以记作 x =log23, 读作以 2 为底 3 的对数； 若 2 = 呢？ x = log2 N ； 若ax = N(a > 0且a 子 1)呢？ x = loga N . 对数的概念 一般地，如果 ax = N(a > 0且a 子 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记 作 x = loga N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 注意： log 是对数的符号，类似除法运算的“ 政 ”，表示一种运算，用它连 接运算的对象； loga N 已知底数 a 和它的幂 N 求指数的运算,这种运算叫对数运算, 只不过对数运算的符号写在数的前面，其运算结果仍是一个实数。 新知特征 1. 指数式与对数式的互化
(
指
数
幂
)对数 真数 底数
由指数与对数的等价关系，思考在对数式中， a, N, x 的范围？ a > 0且a 子 1, N > 0, x eR . 教师点评：对于 a, N, x 的范围源于指数式中对于底数、幂、指数的要求。 2 ．对数的重要结论： (1) 当 N 是负数或零时，对数不存在，即负数和零没有对数. (2) a0 = 1 常 loga 1 = 0(a > 0, 且a 子 1).
(3) a1 = a loga a = 1(a > 0, 且a 1) . 3. 两种特殊对数 通常，我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10 N记作lg N 如 log10 5=lg 5 log10 3.5=lg 3.5 , 在生活中如充电器的电容的电压关系，物体的自然冷却关系、细胞的繁殖等，为 了描述其自然规律，经常会用到无理数 2.71828 …… ，用 e 表示这个无理数。 以无理数 e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数，并把loge N 记作ln N 如loge 3=ln3,loge 10 = ln10.
6 分 钟 典例剖析 例 1 指数式与对数式互化： (1)54 = 625; (2)2-6 = ; (3)()m = 5.73; (4) log 1 16 = -4; (5) lg 0.01 = -2; (6) ln10 = 2.303. 2 解：（1） log5 625 = 4; （2） log2 = -6; （3） log 1 5.73 = m; 3 （4） -4 = 16; （5） 10-2 = 0.01; （6） e2.303 = 10. 通过这组习题同学们感受到指数与对数虽然表达形式不同，但是 两者的本质是一致的，即底数、指数与对数、幂与真数的对应 例 2 ．求下列各式中的 x 值： （1） log64 x = - ; （2） logx 8 = 6; （3） lg100 = x; （4） - ln e2 = x.
解：（1）因为 log64 x = - ; 所以 x = 64- = (43 )- -2 1 = 4 = 16.
（2）因为logx 8 = 6, 所以x6 = 8, 又x > 0, x = 8 = (23 = 2 = . （3）因为lg100 = x, 所以 10x = 100, 10x = 102 , x = 2.
（4）因为 -lne2 = x, 所以 lne2 = -x, e2 = e-x , x = -2. 通过将对数运算转化为指数幂运算，求出对数表达式中对应的具体数值，熟悉指 数式与对数式间的关系，计算中要注意位置的转换。
5 分 钟 追 根 溯 源 几乎所有的现代数学书中,对数运算是通过解指数方程来引入的.但是,就对数发 明的起源而言，恰恰是相反，先发明了对数而后发明了指数。 事实上,对数是简化繁杂运算的产物. 16世纪时,科学技术尤其是天文学的飞速发展，需要用到大量的大数乘除法运算， 这就迫切需要计算技术的改进. 当时的数学家们感叹：“没有什么比大数的乘、除、开 平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了．这不仅浪费时间，而且 容易出错．”为了简化数值计算,1614年约翰·奈皮尔利用对应的思想发表《奇妙的对 数表的描述》，提供了提高运算速度的方法。 奈皮尔的对应思想类似下表。 我们发现下表的关系满足指数关系，利用以下对应可以方便地算出 16×256 的值. 首先,在第二行找到 16 与 256;然后找出它们在第一行中对应的数, 即 4 与 8,并求它 们的和, 即 12;最后在第一行中找到 12,读出其对应的第二行中的数 4 096,这就是 16× 256 的值. 用类似的方法也可以计算的数值 纳皮尔将该数称为对数“ l o g a r i t h m ”, 这个词由希腊文l o g o s（关 系）和 a r i t h m o s （数）两词合成，体现对应思想 对数的发明实现了将乘除运算降级为简单的加减运算。 数学家拉普拉斯说过：“对数的发现，因其节约劳力而延长了天文学家的寿命。”
1 分 钟 课 堂 小 结 1.对数的概念，指数式与对数式的转化； 2.对数的相关结论及运用； 3.对数发明的背景与原理.
课 后 作 业 1. 123 页练习 1 ，2 ，3 2. 阅读教材 128- 129 页了解对数的发明 3. 通过互联网，进一步了解无理数 e ，常数对数和自然对数