4.4.2对数函数的图象与性质_教学设计（表格式）

课题 对数函数的图象与性质
教学目标
教学目标： 1.用描点法或借助信息技术工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的图 象特征、单调性与特殊点，知道对数函数 = log 与指数函数 = > 0 ，且 ≠ 1 互为反函数； 2.类比指数函数的研究方法，运用函数图象和代数运算的方法研究对数函数的性质， 在数学思想方法上体会数学的联系性与整体性； 3.经历对数函数的图象与性质的研究过程，提高直观想象、数学抽象、数学运算等核 心素养. 教学重点：对数函数的图象与性质及其研究方法、过程. 教学难点：对数函数性质的初步运用.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
约 3 分钟 复习导入 温故知新 师：（开场白）同学们好，我是北京市第五十五中学的曹海春老师， 这节课我们一起来学习对数函数的图象与性质. 大家是否还记得对数函数的概念？ 生：回忆、思考、回答. 师：一般地，函数 = log > 0 ，且 ≠ 1叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是 0 , + ∞ . 大家是否还记得对数函数概念的由来吗？ 生：回忆、思考、回答. 师：根据指数与对数的关系， 由指数函数 = > 0 ，且 ≠ 1
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约 4 分钟 描点作图 初识图象 发现联系 对称作图 得到 = log , 进而得到对数函数 = log . 大家是否还记得指数函数的图象与性质的研究方法和过程 吗？ 生：回忆、思考、回答. 师：对了！先画出函数图象，然后借助图象归纳概括其性质，我们 这节课依然用这个方法来学习对数函数的图象与性质. 【设计意图】复习导入，通过三个“是否 ”的追问，恢复学生的记 忆和理解，在学生已经习得的知识和方法的基础之上建立新的知 识，让学生体会到数学知识、方法的联系性与整体性. 师：请同学们做好准备，我们要画对数函数的图象了.对数函数 = log > 0 ，且 ≠ 1的底数有两个范围 > 1 和 0 < < 1，我们 先画哪个函数的图象呢？没错！先画一个简单的，不妨画函数 = log2 的图象，请同学们完成表格、然后描点画出图象.（教师展示 表格，见 PPT 或几何画板） 生：计算填表、描点画图. 0.512345678log2 -1011.622.32.62.83
y y=l og2x (
1
) (
x
)O
师：我们在底数 > 1 的范围中选择了一个代表 = log2 , 画出了 它的图象，在 0 < < 1 的范围中我们选择哪个函数呢？ 生：思考. 师：我们可以有很多选择，但为了研究问题的方便，我们会选择和 = log2 联系密切的一个函数，大家想想是哪个函数？对了，就是
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函数 = log1 ？呢象图的它出画样怎们我! ：说学同的有 ！呗点描再 2 当然可以了，不过你忽视了一点，就是它与 = log2 的联系.大家 回想：当初我们在画指数函数 = 时象图的，数指与它用利是 函数 = 2 的联系，因为 = = 2 , 所以函数 = 象图的 与 = 2 的图象关于 轴对称.那么你能发现函数 = log1 象图的 2 与 = log2 的图象的联系吗？ 生：思考、运算、回答. 师：有的同学发现啦！ 由换底公式可得 = = lloogg22 21 = log2 , 所以两个函数的图象关于 轴对称，那么我们就可以利用两个图象 的对称关系， 由 = log2 的图象画出 = log1 函，地般一.象图的 2 数 = log 与 = log1 .明证行自以可家大，称对轴 于关象图的 这体现了数学解题的一般方法——化归！什么是“化归 ”？正如莫 斯科大学教授 A.雅诺夫斯卡娅所说：“解题就是把题归结为已经解 过的题. ”下面请大家画出函数 = log1 .象图的 TPP示展师教（ ( 2
几何画板） y y=l og2x (
x
) (
1
)O y=l ogx
【设计意图】引导学生通过描点法和图象变换法（对称关系）画出 两个有代表性的函数图象，进一步熟悉画函数图象的两种常用方 法，初识对数函数的图象特征，体会数学思想方法的运用. 师：我们画图象的最终目的是什么？对！由图象归纳概括函数的性
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约 2 分钟 约 4 分钟 增加素材 丰富感知 抽象概括 理性认识 质.我们现在只画出两个函数的图象，感觉偏少，最好还是再多画 出几个函数图象便于观察与归纳,，就请电脑来帮助我们吧.我们先 看当底数在 1 , + ∞内变化时的图象特征（教师展示几何画板的动 态图象），大家注意观察.再看当底数在 0 ,1 内变化时的图象特征 （教师展示几何画板的动态图象），大家注意观察.最后，我们选定 几个具体的函数图象作为代表（教师展示几何画板的静态图象，并 说明函数图象左右两端的变化趋势）. 【设计意图】利用信息技术工具得到更多的函数图象，增加感性素 材、丰富感性认识，为抽象概括出函数性质做好充分的铺垫.
y O 1 y=l og2x y=l ogx y=l og3x y=l og4x (
x
)y=l ox y=l ox
师：同学们！我们的准备工作已就绪，下面就是这节课的核心内容： 由图象归纳概括函数的性质.有的同学已经迫不及待了，别着急！ 我们先冷静地观察、思考一下，根据上面这组图象，我们如何总结 对数函数的性质呢？有的同学说了：类比指数函数的研究方法，需 要对底数进行分类研究.非常好！请大家完成下面的表格 : > 10 < < 1 图象 y y=l ogax (
1
x
)O y (
O
)1 x y=l ogax 定义域
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约 2 分钟 约 4 分钟 发现联系 概念命名 基础运用 小试牛刀 值域性质过定点单调性
（教师对表格内容从几何与代数两个方面进行解读） 师：截至目前，我们已经研究了两类基本初等函数：指数函数和对 数函数，你发现研究它们的思路和方法的共性了吗？都是先明确概 念，然后画出函数图象，进而归纳概括其性质. 师：伟大的瑞士数学家欧拉让我们认识到：对数源于指数.从前面 的运算过程： 由 = > 0 ，且 ≠ 1得到 = log , 进而得到 = log , 以及两类函数的性质可知， = > 0 ，且 ≠ 1与 = log 的定义域和值域正好互换，这时就说它们互为反函数.大 家要理解这里“反 ”的涵义，不是定义域与值域的简单互换，而是 本质上从定义域到值域的对应关系（运算）的互逆！ 【设计意图】继指数函数之后，再次引导学生经历由几何直观到代 数抽象的研究方法与过程，巩固高中阶段研究基本初等函数的一般 方法，了解指数函数与对数函数的关系，体会数学知识、方法的联 系性与整体性. 师：接下来我们看看这节课所学内容可以解决哪些问题. 例 1 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4 ，log28.5； （2）log0.31.8 ，log0.32.7； （3）log 5.1 ，log 5.9 > 0 ，且 ≠ 1 . 【设计意图】单调性的正向运用：比较函数值的大小，因为单调性 的概念中蕴含着不等关系的转换.这里要强调性质的分类属性. 例 2 比较满足下列条件的两个正数, 的大小： （1）log3 < log3 ; （2）log0.3 < log0.3 . 【设计意图】单调性的逆向运用：比较自变量的大小，因为单调性 的概念中蕴含着不等关系的转换.
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约 4 分钟 约 2 分钟 实际运用 模型思想 课堂小结 画龙点睛 师：有一则广告语同学们熟悉吗：我们不生产水，我们只是大自然 的搬运工！对了，这是某品牌饮用水的广告词. 我国饮用水的国家 标准pH 值是 6.5～8.5 的范围，所谓pH 值就是溶液中的氢离子浓 度指数，那么它是如何计量的呢？ 例 3 溶液酸碱度的测量 溶液酸碱度是通过pH 值计量的.pH 的计算公式为 pH= lg H + ， 其中 H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱 度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为 H + = 10 7 摩尔/升，计算 纯净水的pH 值； （3）已知某种饮用水的pH 值范围是 6.8～7.8，计算这种饮用 水中氢离子浓度的范围. 【设计意图】在实际问题中运用对数函数的性质解决问题，巩固知 识的同时，体会数学对现实世界的描述和分析，感悟数学的应用和 模型化思想.第（3）问是在教材例题的基础上添加的，更加贴近学 生的生活实际. 师：古人云：“运用之妙，存乎一心 ”，我们要想更好地运用知识解 决问题，首先要对知识有比较深刻的理解，其次还要勤思多练.这 节课我们学习了对数函数的图象和性质，我们最起码可以在两个方 面进行反思和总结： 1.思想方法： （1）数形结合，先由解析式到图象（由数到形、以形读数），再由 图象到性质（由形到数、以数观形），这是我们高中阶段研究基本 初等函数的通法； （2）分类整合，注意底数的不同范围对函数性质的影响，特别是 单调性.
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2.知识联系：指数、对数不分家！指数函数和对数函数不仅在概念、 图象与性质上有联系，在解决的问题类型上也有联系，所以我们要 把指数函数和对数函数作为一个有联系的整体来理解和运用. 以上是我的一孔之见、仅供参考，如果你有更好的收获与感悟， 期待你的分享！同学们，再见！
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