4.1.1根式与分数指数幂_教学设计（表格式）

教学设计
课题 根式与分数指数幂
教学目标
教学目标： 1. 初步理解分数指数幂的概念和运算性质； 2.经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，感受数学的发展和其应用价值； 3.提升数学运算和逻辑推理的学科素养. 教学重点：理解分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：理解分数指数幂的概念
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
6 分钟 复习引入 一．复习初中学习的整数指数幂的概念和运算性质 1. 复习整数指数幂的概念 （1）正整数指数幂 —a … = an ； 一— n个 （2）负整数指数幂 a-p = ； （3）零指数幂 a0 = 1其中a 0. 2.复习整数指数幂的运算性质 （1）符号表示： am × an = am+n，(am )n = a mn，(ab )m = ambm （2）语言叙述： 同底数幂乘法，底数不变，指数相加； 幂的乘方，底数不变，指数相乘； 积的乘方，将每一个因式分别乘方，再将幂相乘. 3.复习幂函数 在学习幂函数的时候，讨论的问题：如果一个正方形场地的面积为 S ，那么 1 这个正方形的边长 c = ，这里 c 是 S 的函数， 也可以表示为 S 2 . 1 进而研究了 y = x 2 等幂函数. 1 思考：对指数幂的认识从整数指数幂，到像 x 2 这样的分数形式的指数幂， 什么是分数指数幂？分数指数幂有哪些性质呢？
1
二．提出问题 如果 x2 = a ，那么x 叫做 a 的平方根，例如 ±2 就是 4 的平方根. 如果 x3 = a ，那么x 叫做 a 的立方根，例如 2 就是 8 的立方根. 类似的， 由于( ±2)4 = 16 ，称 ±2 为 16 的 4 次方根； 由于 25 = 32 ，称 2 为 32 的 5 次方根； 当 n 为正整数时，如果 2n = a ，怎么描述 2 与 a 的关系呢？可以类比的称 2 与 a 的 n 次方根. 再进一步思考：如果 xn = a ，怎么描述x 与 a 的关系呢？其中 x, n, a 的取值 范围是什么？
15 分钟 探究新知 一．定义概念 1. n 次方根的概念 一般地，如果 xn = a ，那么x 叫做 a 的 n 次方根，其中n > 1 ，且 n N* . 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数. a 的n 次方根用符号表示.例如， =2，= - 2，= a2 . 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数. 正数 a 的正的n 次方根用符号表示，负的 n 次方根用符号 - 表示，正 的 n 次方根和负的 n 次方根可以合并写成 ±(a > 0) .例如， =2，- = - 2，± = ± 2 . 负数没有偶次方根. 零的任何次方根都是零，记作=0 . 式子 叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数. 2. n 次方根的性质 （1） 由 n 次方根的定义，可得( )n = a. 例如， ( )2 = 5 ， ( )5 = -3. 思考： = a 一定成立吗？ 化简下列各式：
2
(
4
(
-
2
)
4
.
) (
2
-
2
，
) (
(
)
) (
2
2
，
) (
3
2
3
，
) (
4
2
4
，
) (
2
-
2
) (
(
)
)3(-2)3， 化简结果： (
=
=
2
，
) (
-
8
=
2，
16
=
2.
) (
3
(
-
2
)
3
) (
=
=
2
，
=
=
2
，
=
2
，
) (
4
(
-
2
)
4
)= 3 = 4 （2）当 n 是奇数时， = a ； 当 n 是偶数时， = a =〈a , ., 例 1 求下列各式的值： (
3
(
-
8
)
3
) (
2
) (
（
1
）
) (
;
（
2
）
) (
;
) (
-
10
) ( ) (
4
(
3
-
π
)
4
) (
a
-
b
2
) (
（
3
）
) (
;
（
4
）
) (
.
) ( ) (
解
：（
1
）
) (
=
-
8
；
)3(-8)3 (
2
) (
-
10
) (
（
2
）
) (
=
10
；
) (
-
10
) (
=
) ( ) （3） 4(3 - π )4 = 3 - π = π - 3 ； （4） = a -b =〈 -- , 3.分数指数幂的概念 根据 n 次方根的概念和性质，有 (
5
) = = a2 = a 1 (a > 0) ， (
3
12
) = = a4 = a 3 (a > 0) . 由此，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式 可以表示为分数指数幂的形式. 思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式还可以表示为分 数指数幂的形式吗？ 数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与原有的概念或法则相容. 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 ， , 等写成下列形式： = a a > 0)， = (b > 0)， = c c > 0).
3
希望整数指数幂的运算性质，如 (ak )n = akn ，对分数指数幂仍然适用. 由此规定，正数的正分数指数幂的意义是 = aa > 0, m, n N*, n >1). 即在条件a > 0, m, n N*, n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 请同学们思考这样的规定为什么是合理的？请与同伴交流你的想法. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定，
- m 1 a n = m = a n 4 例如， 5- 3 = 1 (
n
a
m
) (a > 0, m, n N*, n > 1) . (
a
=
=
.
2
3
2
)- 1 1 (
a
)3 a
1 1
4 53 = (
3
5
4
) ,
与 0 的整数指数幂的意义相仿，规定， 0 的正分数指数幂等于 0 ，0 的负分数指数幂没有意义. 规定了分数指数幂的意义后， a x 中指数x 的取值范围就从整数拓展到了有 理数. 整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数 r ， s ，有下面的运算性质. ar × as = ar +s (a > 0, r, s Q) (
a
r
=
a
rs
a
>
0,
r
,
s

Q
)( )s ( ) (ab)r = a rbr (a > 0, b > 0, r Q ) 例 2 求值： 3 （1） 8 ； （2） - 4 . 解：（1） 8 = (23 = 23 = 22 = 4 ；
3 3 （2） - 4 = 4 (
3
)= 4 4 = 4 = 3 = 27 . 8
例 3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a > 0 ）： （1） a2 × ； （2） a × 3a . 解：（1） a2 × = a2 × a = a2+ = a ；
4
（2） (
“
×
3
“
) (
è

è

è

)1 1 1 (
=

“
×
“
÷
=

“
÷
=

“
÷
) 2 1+ 2 2 = “ = “ 2 3 .
2 分钟 课堂小结 1.理解分数指数幂的概念和运算性质； 2.经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，感受数学的发展和其应用价值； 3.提升数学运算和逻辑推理的学科素养.
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