3.1.2函数的单调性_教学设计（表格式）

课题 函数的单调性
教学目标
教学目标： 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会用定义证明简单函数的单调性； 2.经历从定性到定量的概念形成过程，体现了数学抽象的一般过程，培养学生的数学抽 象的素养； 3.通过构建一个从具体到抽象，从特殊到一般的过程，使学生归纳概括出用严格数学语 言精确刻画单调性的方法，提升数学运算和直观想象的素养. 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明. 教学难点：符号语言的引入，对“任意 ”“都有 ”等涉及无限取值的语言的理解和使用.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3 分钟 （一）知识 引入 教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样 我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认 识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不 变性，变化中的规律性 ”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中 发现规律. 请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我 们通过什么来研究它们的性质呢？ 师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性 质. 问题 1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？
师生活动：教师利用 PPT 展示例子，学生观察图象并回答问题．学 生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点 等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点. 追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一 下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化 吗？即 y 随 x 的增大是如何变化的？ 预设：第一个图象从左到右是上升的，即在 (一伪, +伪) 上，y 随 x 的增大而增大；第二个函数在 (一伪, 一1) 及 (0.2, 1) 两个区间上，从左 到右图象分别上升， y 随 x 的增大而增大；在 (一1, 0.2) 及 (1, +伪) 两 个区间上，从左到右图象分别下降， y 随 x 的增大而减小. 教师指出：本节课我们继续研究这一性质，我们要用定量的方法 刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律. 设计意图： 通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结 合初中已学的定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务.
12 分钟 （二）函数 单调性的 定量刻画 1.具体实例的分析 问题 2： 初中我们研究过二次函数，现在我们以函数 y = x2 为 例，我们知道在区间 (一伪, 0] 上， y 随 x 的增大而减小．请问你是怎 样理解“ y 随 x 的增大而减小 ”的？你能说说它的数量特征吗？ 师生活动：学生独立思考并交流. 设计意图：从刻画数量特征的角度进行描述，促使学生深入思考 单调性，从定性描述转向定量刻画. 追问 1：“x 增大了 ”如何用符号语言表示？“对应的函数值y 减 小 ”又该如何表示？观察下表，你能给出具体的描述吗？ x…-5-4-3-2-1…f(x) = x 2 …2516941 …
师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律， 如：当 x 从-5 增大到-4 ，函数值 f(x) 从 25 减小到 16；
当 x 从-4 增大到-3 ，函数值 f(x) 从 16 减小到 9； 当 x 从-3 增大到-2 ，函数值 f(x) 从 9 小到 4； …… 追问 2：这样的变化过程能写的完吗？你能借助字母符号，归纳 出上述具体数值变化的共同点吗？ 师生活动：先让学生从具体到抽象尝试概括，教师进行启发，最 后得到符号表示“只要 x1 < x2 ，就有f(x1 ) > f(x2 ) ”. 追问 3：这里对 x1 ，x2 有什么要求？只取 (一伪, 0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？ 师生活动：让学生展开讨论，教师适当引导，并举出反例进行说 明，要让学生明确，应该是区间 (一伪, 0]上的所有数对 x1 ， x2 . 预设反例：如图象所示函数，我们 可以找到 a < b 、f(a) > f(b) ，但很 明显函数在区间 [a, b] 上并不单调递 减. 追问 4：“所有 ”又该如何说明？既然“所有 ”不易操作，可以 用什么量词来代替“所有 ”呢？你能严格的表达出来吗？ 师生活动：教师引导学生说出用“任意 ”代替“所有 ”，帮助学 生体会用“任意 ”处理“无限 ”的思想. 预设：任取 x1 ， x2 ，只要x1 < x2 ，就有 f(x1 ) > f(x2 ) . 教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限 ”相关 的变化规律的定量描述，即任取 x1 ， x2 ，把“无穷 ”问题转化为了 可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量. 追问 5：你能说出为什么 f(x1 ) > f(x2 ) 吗？ 教师引导：要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明， 具体证明方法我们稍后会说明. 追问 6：对于函数 y = x2 ，你能模仿上述方法，给出“在区间 [0, +伪) 上， y 随x 的增大而增大 ”的符号语言刻画吗？ 设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过
从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间D 上，当 x 增大时，相应的f(x) 随之减小 ”．从图象到定性再到定量的 不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意 ”，引导学生体 会用“任意 ”刻画“无限 ”的力量. 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数 y = _x2 的单调性. 2.单调性定义的抽象 问题 3：请你归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 y = f(x) 在区间D 上单调性的符号表述. 师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调 性定义表述. 定义：一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I ，区间 D 坚 I ． 如 果 vx1 ，x2 eD ，当 x1 < x2 时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ，那么就称函数 f(x) 在区间D 上单调递增． 特别地，当函数f(x) 在它的定义域上 单调递增时，我们就称它是增函数. 再由学生类比给出单调递减及减函数的定义. 3.单调性定义的辨析 问题 4：函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，你能举 出在整个定义域内单调递增的函数（即增函数）例子吗？你能举出在 定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数 例子吗？ 师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善. 预设 1：如函数y = x +1在R 上单调递增；函数y = x2 在 (_伪, 0] 上单调递减，在[0, +伪) 上单调递增，描述函数单调性，要说清哪个 函数、在哪个区间上，单调怎样. 预设 2：允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间上单调 递减，只有在整个定义域上单调递增才能叫增函数. 预设 3：当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．如反比例 函数y = ，我们不能说它在 (_伪, 0]不 [0, +伪) 单调递减，因为可以 找到如 _1< 1 ，但 f(_1) < f(1) 这样的反例，不满足单调递减的定
义，所以只能说函数 y = 1 x 在 (一伪, 0] 及[0, +伪) 上分别单调递减.
设计意图：这个辨析是为了区分“单调递增 ”与“增函数 ”、“单 调递减 ”与“减函数 ”等概念，也是为了引导学生体会函数的单调性 是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质．函数在某个区 间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的.
8 分钟 （三）单调 性定义的 简单应用 例 1 根据定义，研究函数 f(x) = kx + b (k 子 0) 的单调性. 师生活动：先让学生独立思考，共同讨论研究思路，教师给出严 格的表述. 教师强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义， 考察在定义域内的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；（2） 具体的操作方法是，在条件 x1 < x2 下，考察 f(x1 ) 与 f(x2 ) 的大小关 系，比大小可以做差，这里往往要用到不等式的性质和代数变形. 设计意图：例 1 不仅是让学生熟悉利用定义研究函数单调性的过 程，也是对初中阶段从图象中得到的结论进行严格的证明．此外，这 里将“ 比较 f(x1 ) 与 f(x2 ) 的大小 ”转化为“ 比较 f(x1 ) 一 f(x2 ) 与 0 的大小 ”的做法，体现了数学中“化繁为简 ”“化难为易 ”的转化与 化归思想.
例 2 物理学中的玻意耳定律 p = k V （k 为正常数）告诉我们，
对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p 将增大，试对此用 函数的单调性证明. 师生活动：先让学生独立思考“体积V 减小时，压强 p 增大 ” 的含义，建立物理意义与函数单调性的联系， 明确只要证明函数
p = k V （V e(0, +伪) ）是减函数即可．再让学生独立给出证明，教
师完善. 设计意图：例 2 是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数 模型可以用来刻画现实世界中的现象．数学的研究是将一类运动变化 的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质而获得事物的变 化规律．注意培养学生数学表达的严谨性和规范性. 追问：你能由例 1 、例 2 的解题过程，归纳一下用单调性定义研 究或证明一个函数在区间D 上的单调性的基本步骤吗？ 师生活动：师生共同归纳出证明函数在区间 D 上的单调性的基 本步骤：
第一步，在区间D 上任取两个自变量的值 x1 ，x2 D ，并规定 x1 < x2 ； 第二步，计算 f(x1 ) f(x2 ) ，将f(x1 ) f(x2 ) 分解为若干个可 以直接确定符号的式子； 第三步，确定f(x1 ) f(x2 ) 的符号．若 f(x1 ) f(x2 ) < 0 ，则 函数f(x) 在区间D 上单调递增；若 f(x1 ) f(x2 ) > 0 ，则函数 f(x) 在区间D 上单调递减. 设计意图：此环节旨在帮助学生规范证明过程.
2 分钟 （四）课堂 小结 问题 5：请同学们回答下列问题： （1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？ （2）证明函数单调性时，应把握好哪些关键问题？ （3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有什么 体会？ 师生活动：学生思考并回答，教师进行归纳. 设计意图：（1）让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、 减函数的定义，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点；（2） 引导学生进一步理解单调性是函数的局部性质、初步掌握如何对 f(x1 ) f(x2 ) 进行代数变形；（3）使学生体会“从定性到定量 ”的 研究思路，即通过图象及自然语言刻画得到函数性质的定性刻画，再 用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达. 布置作业：教科书第 79 页练习 1 、2 、3 题.