2023-2024学年第一学期“四校联盟”期中联考
高二数学试港
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时150分钟。
注意事项：
1,答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考场号、考生号、座位号等信息填写
在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答
的答案无效。
4,考生必须保持答题卡的整洁。
第1卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选预中，只有一个选项
是正确的.清把正确的选项填涂在答题卡相应位置上，
1.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则AnB表示
的事件为()
A.“点数为4”
B.“点数为3或4”
C.“点数为偶数”
D.“点数为大于2小于5”
2.已知向量a=(-3,2,5),a-b=(1,5,-1),则b=（)
A.61
B.V61
C,13
D.V13
3.在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若
MN=x0A+yOE+z0C,则x+y+z的值为()
B.1
c
D.
4.从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为()
A.0.6
B.0.5
c.0.4
D.0.3
5.若直线2mx+y-4m-1=0的斜率k<0,那么该直线不经过()
A.第一象限B.第二象限
C,第三象限
D.第四象限
6.己知空间向量a=(-1,0,1),b=(x,1,1),且a·b=1,则向量a与b的夹角为()
8.号
c.
元
D.
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Q夸克扫描王
7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中猫述的几何体“阳
马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳马”P一ABCD中，PA1平面
ABCD,D=2AB=PA,则直线PC与面PBD所成角的正弦值为()
A.
V6
B.
y7厉
9
3
D.
V6
C.
3
8.已知直线：(m+2)x+(m一1)y-3m-3=0,点M(4,3),记M到1的距离为d,则d的取值范围为()
A.[0,8)
B.[0,8
c.[0,2W2)
D.[0,22]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分！
9.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则()
A.a//c
B.a⊥b
C.a∥b
D.b⊥c
10.已知直线：x+3y=1,则(
)
A.直线的斜率为一
B.直线的倾斜角为120°
3
C.直线不经过第三象限
D.直线1与直线V3x+3y-2=0垂直
11.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.记
第一次取出的球的数字为名，第二次取出的球的数字为名，设X=学1，其中因表示不超过：的最
大整数，如=1，[2.5]=2，则()
A.PX>X)=8
g.x+名==号
C.事件“名=6”与“X=0”互斥
D,事件“X2=1”与“X=0”对立
12.如图所示，正方体ABCD-ABCD中，AB=1,点P在侧面BCCB及其边界上运动，并且总
是保持AP L BD,则以下四个结论正确的是（)
A.BD LPC
B.AP⊥BC
C点P必在线段BC上
D.PH平面ACGD
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Q夸克扫描王2023-2024 学年第一学期“四校联盟”期中联考
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.
1.【答案】A
【详解】A=“点数为大于 2小于 5”={3,4}，B=“点数为偶数”={2,4,6},A∩B={4}故选：A
2．【答案】B
【详解】由a （-3，2，2），a － b （1，5，-1），得.b=a-(a-b)=（-4，-3，6），
b ( 4 )2 ( 3 )2 故选：B 6 2 61
3.【答案】C
【详解】 由
MN 1 OA 1 OB 1
所以 x y z = 1 故选：C
OC
2 2 2 2
4.【答案】A
【详解】设 2 名男同学为 A1, A2，3名女同学为 B1,B2 ,B3，
从以上 5 名同学中任选 2人总共有 A1A2 ,A1B1 ,A1B2 ,A1B3 ,A2B1 ,A2B2 ,A2B3 ,B1B2 ,B1B3 ,B2B3 共 10
种可能，
选中的 2 人恰好是一男一女的情况共有共 6种可能
则选中的 2人恰好是一男一女的概率为 0.6，
故选 A.
5.【答案】C
【详解】直线 2m x＋ y－4m－1=0 过定点 （2，1）且 斜率 k<0，画图易得，该直线不经
过第三象限。 故选：C
6.【答案】C
【详解】因为a b =- x +0+1=1，所以 x 0，所以b (0,1,1)，
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
则有 a 2 , b 2
cos
= a b 1 1 向量a 与b 的夹角为 故选：C
a b 2 2 2 3
7.【答案】A
【详解】
因为 PA 平面 ABCD，AB, AD 面 ABCD，底面 ABCD为矩形，所以 AB, AD, AP两两垂直，
设 AB 1, AD AP 2，以 AB, AD, AP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系如图，
则 B 1,0,0 ,C 1, 2,0 ,D 0, 2,0 ,P 0,0, 2 ,
所以 BD 1,2,0 ,BP 1,0,2 ,PC 1,2, 2 ，
设平面 PBD的法向量为 n x, y, z ，
n BD x 2y 0
所以 ，令 x 2，则 y 1, z 1，所以取 n 2,1,1 ，
n BP x 2z 0
n PC 2 2 2 6
直线 PC与面 PBD所成角的正弦值为 cos n,PC .
n PC 6 9 9
故选：A
8．【答案】C
【详解】当m
1
时，直线 l : x y 1 0过点M (4,3)，M 到 l的距离为 d 0 ；2
由直线 l : m 2 x m 1 y 3m 3 0 ，可得m x y 3 2x y 3 0，
x y 3 0 x 2
由
2x y
，可解得 ，
3 0 y 1
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
即直线 l : m 2 x m 1 y 3m 3 0 过定点 A 2,1 ，
则， MA ( 4 2 )2 ( 3 ， 1)2 2 2 k 3 1 1
4 2
当直线 l : m 2 x m 1 y 3m 3 0 与直线MA垂直时，d 2 2最大，
k m 2令 l 1，m 的值不存在，即这样的直线 l不存在，m 1
所以0 d 2 2 ．
故选：C．
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. 每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求.全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错得 0 分.
9．【答案】ABD
【详解】A选项，因为 c 2a，所以 a / /c，A 正确；
B 选项，因为 a b 2 2 3 0 1 4 0 ，所以a b，B 正确；
2 2k
C 选项，设 b ka，则 0 3k，无解，故 a,b不平行，C 错误；
4 k
D 选项，b c (2,0, 4) ( 4, 6, 2) 8 0 8 0，故b c，D 正确.
故选：ABD
10．【答案】AC
【分析】由直线方程确定斜3率、倾斜角判断 A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断 C；
3
由直线平行的判定判断 D.
3
【详解】由题设 l : y x 3 ，若倾斜角0 180 ，则 tan 3 150 ，A 对，
3 3 3
B 错；
显然直线 l过第一、二、四象限，不过第三象限，C 对；
由 3x 3y 2
2
0 x 3y 0 ，故与 l : x 3y 1 0平行，D错.
3
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
故选：AC
11.【答案】AC
【详解】因为从中有放回的随机取两次，所以有6 6 36种可能，有 6 种情况，
所以 X1 X
36 6
2的情况共有 15 P(X X )
15 5
，所以 1 2 ，因此选项 A 正确；2 36 12
两次取球数字和为 5有以下 4种情况： (1, 4), (2,3), (3, 2), (4,1)，
所以 P(X1 X 2 5)
4 1
，因此选项 B 错误；
36 9
X1 6
当 X1 6时， X [ ] [ ] 0X X ，所以事件“
X1 6”与“ X 0”互斥，因此选项 C 正确；
2 2
X X
当 X 2 1时， X [
1 ] [X 1] 0 ，但是当 X 2 2, X 2 X [
1
1 时， ] 1 0 ，所以事件“ X 2 1X ”2 X 2
与“ X 0”不是对立事件，
故选：AC
12．【答案】ACD
【详解】以 D 为原点，分别以DA,DC,DD x, y, z1所在直线为 轴建立空间直角坐标系
则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0), A1(1,0,1),B1(1,1,1),
C1(0,1,1),D1(0,0,1) ，令 P (x1,1, z1), x1, z1 0,1
则 AP (x1 1,1, z1)， BD1 ( 1, 1,1)，
由 AP BD1，
可得 AP BD1 ( 1, 1,1) (x1 1,1, z1) x1+1 1+z1=z1 x1=0，
又CP (x1, 0, z1)，则CP BD1 ( 1, 1,1) (x1, 0, z1) x1+z1=0，
故CP BD1，.故选项 A判断正确；
由 BC1 ( 1,0,1), AP (x1 1,1, z1)，
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
可得 BC1 AP (x1 1,1, z1) ( 1,0,1) 1 x1 z1 1 0，
则两向量 BC1 与 AP不垂直，故 AP与 BC1不垂直，故选项 B 判断错误；
又 B1C ( 1,0, 1), B1P (x1 1,0, z1 1)，
x 1 x 1
令 B1P B1C , 0,1 1 1，则有 z ，解之得 1 1
z1 1
此时 x1+z1=0， x1, z1 0,1 ， 0,1 均成立.
故点 P必在线段 B1C上. 故选项 C 判断正确；
设平面 A1C1D的一个法向量为m (x, y, z)，
又 A1C1 ( 1,1,0), A1D ( 1,0, 1)。
x y 0
则 x z ，令
x 1，则 y = 1, z = - 1，则
0 m (1,1, 1)，
由m AP (x1 1,1, z1) (1,1, 1) x1 1 1 z1 0，
可得m AP，又 AP 平面 A1C1D，
则 AP//平面 A1C1D.故选项 D 判断正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.
13. 【答案】 2
3
【解析】∵B 与 C 是对立事件, p(B)=1-P(C)=1- 7 = 5 , A 与 B 是互斥事
12 12
件, P(A)+P(B)= 1 + 5 = 2 故答案为:. 2
4 12 3 3
14.【答案】 2x y 2 0
【详解】解：由题意可得直线 x 2y 3 0 1的斜率为 2 ，
则过点 P(-1,4)且垂直于直线 x 2y 3 0的直线斜率为 2，
直线方程为 y 4 2(x 1)，
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
化为一般式为 2x y 2 0．
15.【答案】 107
a ,b ,c
【详解】解：若 共面，则存在非零实数 , 满足 c a b，
2 2 2 1
即 4 2
，解得 2，
x 2 1 x 5
所以. a =(2,4,5),a b c =(2,7,8), a b c = 107
16.【答案】5
【详解】根据题意，两条平行直线 l1 : x 2y 1 0，，
1
必有1 ( 1) ( 2) a，解可得 a ， l2 :ax y b 02
则 l2 :ax y b 0
1
即 x y b 0，变形可得 x 2y 2b 0，
2
2b 1
又由两条平行直线间的距离为 5，则有 5，解可得b 3或 2，
1 4
故.｜ 2a－ 2b｜=5
故答案为：5．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.
17．（10 分）
【答案】(1)5x 3y 1 0
(2)3x 5y 14 0
（3）S=13
【详解】（1）因为 B(1, 2)，C( 2,3)，
y 2 x 1
所以直线 BC 的方程为 ，...........................................1 分
3 2 2 1
化简得 5x 3y 1 0 ；........................................................3 分
5
（2）因为 AD BC， kBC ,..............................................4 分3
3
所以 kAD ，..............................................................5 分5
3
根据点斜式，得到直线 AD 的方程为 y 4 (x 2)，即3x 5y 14 0 ...............6 分
5
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
（3）由点到直线的距离公式，BC 边上的高 AD 5 2 3 4 1 23 23 34 ，..8 分
52 32 34 34
底边 BC= 3 2 2 2 1 2 34，所以三角形 ABC 的面积为（ ） （ ）
S= 1 23 34 23 ....................................................10
34
2 34 2
分
18．（12 分）
【答案】(1)详见解析；
3
(2)
5
9
(3)
10
【详解】（1）解：3 名男生分别记为 A，B，C，2 名女生分别记为 a，b，.............1 分
从中任选 2人的所有情况为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab 共 10 种；..4 分
（2）所选 2 人中恰有一名女生的情况有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb 共 6 种，........6 分
6 3
所以所选 2人中恰有一名女生的概率是 P ；..............................8 分
10 5
（3）所选 2 人中至少有一名男生的情况有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb 共 9 种，
9
所以选 2 人中至少有一名男生的概率 P 10 .....................................12 分
19．（12 分）
【答案】
【详解】（1）以 A 为原点，AB 所在直线为 x轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，.............................................1 分
则 A(0,0,0)，B(1,0,0),C(1,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,1)，...........................2 分
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
∴ E(
1 ,1, 1)，F (0,1,
1)， ， ,B、F 两点间的距离为 .....4 分
2 2 2 BF ( 1,1,1 ) BF 3 3
2 2 2
1
(2)EF ( , 0,0) , AP (0,0,1)， AD (0,2,0)，DC (1,0,0)， AB (1,0,0)........5 分
2
1 EF AB， EF / /AB，即 EF / /AB，....................................6 分2
又 AB 平面 PAB，EF 平面 PAB，.........................................7 分
∴ EF / /平面 PAB ...........................................................8 分
（3） AP DC (0,0,1) (1,0,0) 0， AD DC (0, 2,0) (1,0,0) 0，
∴ AP DC, AD DC，即 AP DC, AD DC,..................................10 分
又 AP AD A, AP 平面 PAD， AD 平面 PAD，
∴DC 平面 PAD ..........................................................11 分
∵DC 平面 PDC，
∴平面 PAD⊥平面 PDC ....................................................12 分
20．（12 分）
【答案】
【详解】设“甲第 i次试跳成功”为事件 Ai，“乙第 i 次试跳成功”为事件Bi，依题意得 P
（ Ai）＝0.8、P（Bi）＝0.7，且 Ai、Bi（i＝1、2、3）相互独立．................1 分
（1）“甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3，且三次试跳相互独立，...............2 分
∴P（ A1 A2 A3）＝P（ A1 ）P（ A2 ）P（A3）＝0.2×0.2×0.8＝0.032................4 分
即甲第三次试跳才成功的概率为 0.032.
（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C，....................5 分
P（C）＝1－P（ A1 ）·P（ B1 ）＝1－0.2×0.3＝0.94.............................7 分
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.94.......................8 分
（3）设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi（i＝0、1、2），
“乙在两次试跳中成功 i次”为事件 Ni（i＝0、1、2），..........................9 分
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1N0＋M2N1，且 M1N0、
M2N1为互斥事件，
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
∴所求的概率为 P（M1N0＋M2N1）＝P（M1N0）＋P（M2N1）＝P（M1）P（N0）＋P（M2）P（N1）＝
1 2 2 1
0.8×C2×0.2×0.3 ＋0.8 ×C2×0.7×0.3＝0.0288＋0.2688＝0.2976............11 分
即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.2976............12 分
21．（12 分）
1
【答案】(1) ,0
2
1
(2)S的最小值为 4，此时直线 l的方程为 y x 4
2
【详解】（1）直线 l : kx y 2 4k 0 k R ， y k x 4 2，...................1 分
直线 l过定点 E 4,2 k 2 1， OE ..........................................2 分 4 2
1
若直线 l不经过第三象限，所以 k 0，.....................................3 分
2
k
1
,0 即 的取值范围是 .....................................................4分 2
（2）直线 l : kx y 2 4k 0 k R ， y k x 4 2，直线 l过定点 E 4,2 ，斜率存在，
依题意，直线 l交 x轴的负半轴于点A，交 y轴的正半轴于点 B,O为坐标原点，则 k 0，
由 kx y 2 4k 0，令 x 0，得 y 2 4k y 0 x
2 4k 2
；令 得 4，.......6 分
k k
所以 A
2
4,0
,B 0, 2 4k ，................................................8 分
k
S 1 2 4 所以 2 4k
2
4
1 2k 2 k k
8 2 2 8k 8 2 8k 16，................................................10 分
k k
2
当且仅当 8k ,k
1
时等号成立，
k 2
1 1
此时直线 l的方程是 y x 4 2 x 4 ....................................12 分
2 2
22．（12 分）
【答案】
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}
【详解】（1）以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y轴，DD 所在直线为 z 轴，1
建立如图所示的空间直角坐标系，.............................................1 分
因为 AB=1,BB 4 ,M 是 BD 的中点，所以 A(1,0,0),B(1，1，0）,C(0,1,0)1 1
M(0,0,2), BC ( 1,0,0 ), AM ( 1,0,2 ),AC ( 1,1,0 )........................2 分
设平面 MAC 的一个法向量为 n （x, y,z)则 n AM 0,n AC 0
x 2z 0, x y 0,取x 2,得y 2,z 1,所以n ( 2,2,1 )，
BD MAC d BC n 21到平面 的距离为
n 3
..........................................................................4 分
（2）若BB 上存在点 P（1，1，m),则1 AP (0,1,m（) m要满足0 m 4 )，AC ( 1,1,0 )
设平面 PAC 的一个法向量为 n1 （x1 , y1 , z1 )
则 n1 AP 0,n1 AC 0
平面 MAC 的一
y1 mz1 0, x1 y1 0,
1
取x1 1,得y1 1,z1 ,所以n1 (1,1,
1
)，
m m
个法向量为 n ( 2,2,1 ).二面角 M-AC-P 为 ，即 cos=1 1
4 n n 4 1 m 2
n n1 3 2 1
2
m2
..........................................................................8 分
化简得
14m2 16m 7 0,解得m 8 9 2 或m 8 9 2 ，
14 14
m 8 9 2当 时，满足0 m 4.所以在BB存在一点P，
14 1
8 9 2
使二面角M AC P为 ，P点的坐标为（ 1，1， ）
4 14
.........................................................................12 分
{#{QQABJYaUoggAAABAAQhCUwEwCEIQkBCCCAoOwFAAIAIBwBNABAA=}#}