六校联盟高二年级期中联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.BCD 10.ABC 11.BC 12.BCD
18.T143915.216.65-4
2
17.解：(1)设点M的坐标为(x,y),由MA=√2|MB,得√(x十2)+y=√2×√(x-2)+y,化简得x2-12x+
y2十4=0，
即(x-6)2十y2=32.
…3分
(2)设点M的坐标为(x,y),由|MA=k|MB|,得√(x十2)十y=k√(x-2)十y,
化简得(1-2)x2十4(1十2)x十(1-k2)y2十4(1-k2)=0,
5分
当k=1时，方程为x=0,可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线：…7分
16k2
当>0且1时，方程可化为x计22+护=")
1-k2」
点M的轨迹是以(2.0)为网心，半径为普的周。
4k
……10分
18解：由题意得2a=26,台-号解得a=6c=2,6=V后-乙-2.
所以椭圆方程为片十号1
…3分
因为士，=号1，所以P(1,1)在椭圆内，所以直线AB与椭例总有两个交点，
6
因为PA十PB=0,所以点P为线段AB的中点，…5分
设A(1y),B(22),则x1十x2=2,1十边=2，
21,
”所以Y+,d=0.
+-1,
6
2
所以(y2十)（一y)十3(x2十x1)(x2一x1)=0,
所以2(%一)+6(x2一2x1)=0,即（一1）+3(2一)=0，
所以二=-3，
…9分
所以直线AB为y-1=-3(x-1),即3x十y-4=0,
…10分
因为M为直线AB上任意一点，
所以|OM1的最小值为点0到直线AB的距离d=0+0-4=2V@
/32+12
5
…12分
19.(1)证明：以点D为坐标原点，DA1、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
…1分
则A1.0.0B11,0).C0,1.0.D(0.00)A1,0,1)B1,11).C0.1,1.D0.0,1).E(0.1,2）…
4442分
则Di=11.0).AA=(0.0.1).迹=(-11，-号)
所以D克·AA=0,D克·AE=0,所以BD⊥AA1,BD⊥AE,
又AA,∩AE=A,AA、AEC平面AAE,因此BD⊥平面AAE.
…4分
(用几何方法证明的情给分)
(2)解：设平面ABE的法向量为1=(x,x2,x8),
m·BA=-x2十xa=0,
Bi=(0,-1,1,Bi=(-1.0,2）则
·B在--a十2，=0，
取x=1,可得m=(1,2,2),
6分
又B立=(0,0,1)，则点B到平面AB,E的距离为d=1B言，m=2
m
3·
…8分
m
2
(3)解：平面ABCD1的-个法向量为m=(0,0.1),cos3（m,m》=mm=分，…11分
所以平面AB,E和底面A,B.CD夹角的正弦值为号
………12分
20.解：(1)因为AC=BC,所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心，重心、垂心均在边AB的垂直平分线
上，设△ABC的欧拉线为l,则1过AB的中点，且与直线AB垂直，
由A(-1.0).B1,2可得：AB的中点D(号，0)，即D0,1Dks=岩=1，所以k=-1,
…3分
故1的方程为x十y一1=0.…
…4分
(2)因为1与圆M:(x+5)2+y=产相切，故r=6
=32，…5分
/1+1
【高二年级期中联考·数学参考答案第1页（共2页）】
242258D六校联盟高二年级期中联考
数
学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；非选择題请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各题的答题区域内作答，超
出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版逃择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.若直线a的一个方向向量是m=(1,0,1),平面&的一个法向量是m=(一3,1,3)，则直线a与平面a所
成的角为
A.0°
B.45
C.60
D.90°
2.过圆C:x2+y2-2x一6y=0的圆心且与直线受十￥=1垂直的直线的方程是
A.2x-y-1=0
B.2x+y-7=0
C.x-2y+5=0
D.x十y-5=0
3.已知直线方程为xsin30°+ycos30°一5=0，则该直线的倾斜角为
A309
B.60
C.120°
D.150°
么已知双曲线E若一
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线y=2x一10过点F,且与双曲线只有一个公
共点，则下列说法正确的是
A双曲线E的方程为号一若-1
B双曲线E的离心率为
2
C.双曲线E的实轴长为√⑤
D.双曲线E的顶点坐标为（士5,0）
5.加斯帕尔·蒙日是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两
条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图
所示).当椭圆方程为后+芳=1（ >6>0）时，蒙日圆方程为2+y=。+.已知长方形G的四
边均与椭圆M:芹+苦-1相切，则下列说法错误的是
A椭图M的离心率为立
B.若G为正方形，则G的边长为2√5
C.椭圆M的蒙日圆方程为x2十y2=7
D.长方形G的面积的最大值为14
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6.已知椭圆C:秀+若=1的左，右焦点分别为R,R,点M在椭圆C上，则△M,R的内切圆半径的取
值范围为
A.(0,3]
B.(0,1]
c(o,号]
D.(o,2]
7.定义：设{a1,a2,a}是空间的一个基底，若向量p=m1十a2十，则称实数组(xy,)为向量p在基
底{a1,a2,a3}下的坐标.已知{a,b,c}是空间的单位正交基底，{2(a一b),b,2b-c}是空间的另一个基
底.若向量p在基底{2(a一b),b,2b一c}下的坐标为(1，一2,1)，则向量p在基底{a,b,c}下的模长为
A.3
B.6
C.9
D.6
8.下列命题中，是假命题的是
@若直线x十2ay-2=0与直线(a-1)x十ay+2=0平行，则a的值为号或0；②若A,B为双曲线x2
-苦-1上两点，则(1,1)可以是线段AB的中点；③经过任意两个不同的点P(④n),P(2)的
直线都可以用方程(y-y1)(x2一)=(x一x)(y一y)表示；④向量a=(1,一2，λ)，b=
(一1,2，一1)的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是入>一5.
A①④
B.③④
C.①②④
D.②④
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中是假命题的是
A若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a十b,b十c十2a,c十a}不能构成空间的另一个基底
B.若非零向量a与平面a内一个非零向量平行，则a所在直线与平面a也平行
C.若平面a,B的法向量分别为n1=(0,1,3),2=(1,0,3),则a∥3
D.已知v为直线1的方向向量，为平面a的法向量，则v⊥台l∥c
10.若点M是圆C:(x一2)2十y2=1上任意一点，则点M到直线x+y一3=0的距离可以为
A.0
B号
C.3
D.5
1已知椭圆C号+芳-1的两个焦点分别为，，0为坐标原点，则以下说法正确的是
A若过F1的直线与椭圆C交于A、B两点，则△ABF2的周长为12
B.椭圆C上存在点P,使得PF1·PF2=0
C.若P为椭圆C上一点，且PF1与PF2的夹角为60°，则△PFF2的面积为3√3
D.若P为椭圆C上一点，Q为圆x2十y2=1上一点，则点P,Q之间的最大距离是9
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC=60°，△PAD为正三角形，
O为AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD,M是线段PC上的一点，则以下说法正确的是
A.OM⊥PD
B.OM⊥BC
C.若点M为线段PC的中点，则直线OM∥平面PAB
D若兴-号，则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为2
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