洛阳市2023—2024学年第一学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、单选题
1-4 BBCD
5-8 ACAC
二、多选题
9.ABC
10.BC11.AB
12.ABD
三、填空题
13.4
14.-2或115.516.5
2
四、解答题
17.解：(1)因为点M(1,1)在直线l1:ax+y-2=0和直线2：3x+y+b=0上，
所以日：60解得低
1b=-4
…2分
故所求直线经过点M(1,1),点N(-4,-1),
其斜率为}十号=号点斜式方程为y-1=子：-1)。
4分
即所求直线的方程为2x-5y+3=0.
…5分
(2)由(1)知，直线11的方程为x+y-2=0,
I的直线方程可设为x+y+c=0,
…6分
令x=0,可得y=-c,令y=0,可得x=-c,
则直线1与两坐标轴的交点分别为(-c,0),(0,-c)》
…8分
因为直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为4，所以2=4，解得c=±2,2，
…9分
所求直线的方程为x+y+22=0或x+y-2√2=0.
…10分
18.解：因为BM=2MC,
所以A-AB=2(AC-Ai,
则a矿=}瓜+子C=a+子b,
…4分
放丽=不-丽=Ac-(+b)=-b+c
3
…6分
(2)因为AN=AAD,所以CN=AN-AC=AAD-AC=-b+Ac,
在棱长为2的正四面体ABCD中，a·b=a·c=b·c=2,|b|=2,
…8分
所以.示=（兮+3）(-b+Ae)=号（-2+2A-2×2+4)
-5(61-10)=-3
…11分
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解得A=分
…12分
19.解：(1)设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
…1分
因为A(-2,4),B(5,5),C(6,-2)在圆E上，所以它们的坐标都满足圆E的
方程.
r20-2D+4E+F=0
rD=-4
由{50+5D+5E+F=0,解得{E=-2,
…5分
40+6D-2E+F=0
IF=-20
则圆E的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
…6分
(2)由(1)知圆E的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25,
故圆心E坐标为(2,1)，半径为5，
…7分
当直线斜率不存在时，直线方程为x=-3,圆心到直线的距离d=2-(-3)=5,
此时直线和圆相切，
…8分
当直线斜率存在时，设切线方程为y=(x+3),即kx-y+3k=0,
、则圆，心到直线的距离d=2水+3张1=5水=5，平方整理得k三-号，
V√1+k2
√1+k
此时切线方程为12x+5y+36=0
…11分
综上，过点M(-3,0)且与圆E相切的直线方程为12x+5y+36=0或x=-3.
…12分
20.解：(1)证明：平行四边形ABCD中，
C0s∠ABC=4B+BC-AC=2+1P-万
2AB·BC
2×2×1=-2,
则∠ABC=2π
3
在△ABD中，AB=2,AD=1,∠DAB=牙
由余弦定理知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB=3,
则AB2=BD2+AD2,即BD⊥AD.
…3分
又因为DD,⊥底面ABCD,BDC底面ABCD,所以BD⊥DD,
…4分
又AD∩DD1=D,所以BD⊥平面A,D,DA
…5分
(2)因为DD1⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,
所以AD⊥DD1,
C
B
由(1)知BD⊥AD,BD⊥DD1,
以D为原点，DA,DB,DD,所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.
…6分
则A(1,0,0),B(0,W3,0),D(0,0,w3),
A(1,0,3),
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高二数学试卷
本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。
的
注意事项：
【.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.直线3x-2y-3=0的一个方向向量是
A.(2,-3)
B.(2,3)
C.(-3,2)
D.(3.2)
鼠
2.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，0为上底面A,C,的中心，若A0=M+x店+yAD,
如
则实数x,y的值分别为
啟
A.x=1,y=1
B.￥=2时=2
长
C.x=
2y=1
D.x=1,y=2
名
3.“a=-2”是“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”的
都
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
病
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽2米，则当水面下降1米后，水面
翻
宽为
A.√9米
B.√5I米
C.219米
12
D.251米
5.若过点(1,2)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x-y-5=0的距离为
A.52
B.32
2
2
C.2
D②
6.已知直线l:x+ycos0-3=0,则l的倾斜角a的取值范围是
A.[0,T)
B平，]
c.到
D[牙)U受
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7.已知直线3x+2y-6=0分别与x,y轴交于A,B两点，若直线x+y-1=0上存
在一点C,使ICA1+CB1最小，则点C的坐标为
A号)
B号)
c(-)
D.(导
8.如图，二面角α-{-B的棱上有两点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个
而内，并且都垂直于棱l,若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√4I,则二面角α-l-B的
大小为
A若
B.哥
0.5
6
D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是侧面AB,底面A,C,的中心，则下列结
论正确的是
A.EF⊥DB,
B.EF∥平面ACD
C.异面直线EF与AC所成的角为60°
D.直线EF与平面ABCD所成的角为60°
10.直线y=龙+b与曲线y=√个-x恰有一个交点，则实数b可以为
A.1
B.-1
C.2
D.-2
11.已知点A(2,2),E,F为圆C:(x-1)2+(y-1)2=4上的动点，且1EF1=23,
若圆C上存在点P,使得正+A下=nCP(n>0),则u的值可以是
A.√2-1
B.2-2
C.22
D.2+2
12.已知圆心为0的圆x2+y-5=0与圆心为C的圆x2+y2-4x-8y+5=0相
交于A,B两点，则下列说法正确的是
A,直线AB的方程为2x+4y-5=0
B,0,A,C,B四个点在同一个圆上
C.四边形OACB的面积为103
D,圆0与圆C固成的公共部分的面积为院-5万
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