2023-2024 学年第一学期
高三数学质量检测试题答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C B C B C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD AC ACD ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
5
13. 1 14. / 1.25 15. 4 16. 20π
4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解（1）由2c 2bcos A a及正弦定理可得2sinC 2sin Bcos A sin A，
即2sin A B 2sin Bcos A sin A，........................ ...................2分
即2sin AcosB 2cos Asin B 2sin Bcos A sin A，
所以2sin AcosB sin A ......................................................4分
1
因为 A 0,π ,所以sin A 0 ,所以cos B .
2
2π
因为B 0,π ，所以B ....................................................5分
3
2π
（2）因为a c 8,b 7 ，B ，
3
a2 c2 b2 1
所以由余弦定理可得cos B ，...................................6分
2ac 2
2
所以a2 c2 49 ac，即 a c 49 ac ，
所以ac 64 49 15 ..........................................................7分
因为C A，所以c a .
因为a c 8，所以a 3,c 5 ..................................................8 分
过A 作CB延长线的垂线，垂足为D ，
π 5 3
则BC边上的高 AD AB sin ABD 5 sin ..............................10分
3 2
答案第 1 页，共 6 页
{#{QQABbYyUogCgAAIAAAgCQwWiCEEQkAGCCIoOAFAAIAABwAFABAA=}#}
1 2 1 n(n 1)
18．解（1）由 Sn 1 (n 1) (n 1) 且n 2，
2 2 2
n(n 1) n(n 1)
则an Sn Sn 1 n，........................................1分
2 2
1 1
而 a1 1也满足上式，故an n；................ ........................2分
2 2
所以b1 a3 3，设 b q q 0n 公比为 且 ，则
3q 3q2 36 q2 q 12 (q 4)(q 3) 0 q 3（负值舍），
所以b
n
n 3 ..................................................................4 分
1 1 1 1 1
（2）由（1）知： ( )，...................6 分
a2n 1a2n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn (1 ... ) (1 ) ，........................7分
2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1
1 1
而 0，所以Tn ......................................................8分
2n 1 2
a2n 1 2n 1 2 4 2n 1 1 1
（3）由Cn n ，则Dn ( ... ) ( ... )， b 32n 3
1 32 3n 3 32 3n
2 4 2n 1 2 4 2(n 1) 2n
令M ... 1 2 n ，则 M ... 2 3 n n 1 ，.....................10分 3 3 3 3 3 3 3 3
1
1
2 2 2 2 2 2n 1 1 1 n 3n n
所以 M ... M 1 ...
3 3 32 33 3n 3n 1 2 n 1 n n
，
3 3 3 3 1 3
1
3
1 1 1
1 (1 )
3n n 3 3n n 2
综上，Dn 2 n n ......................................12分 1 3 1 3
1 1
3 3
19．解（1）因为PA PD, E 为 AD 中点，所以PE AD，
又因为平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD，PE 平面PAD ，
所以PE 平面 ABCD，又BC 平面 ABCD，
因此PE BC．..............................................................4分
（2）由（1）知，PE 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PE CD．
在矩形 ABCD中， AD CD，
又因为 AD PE E ， AD, PE 平面PAD ,所以CD 平面PAD ．
AP 平面PAD ，所以CD AP．
又因为PA PD,CD PD D，CD, PD 平面PCD，所以PA 平面PCD．
答案第 2 页，共 6 页
{#{QQABbYyUogCgAAIAAAgCQwWiCEEQkAGCCIoOAFAAIAABwAFABAA=}#}
因为PA 平面PAB，所以平面PAB 平面PCD．...............................8分
（3）存在M 为PC中点时，DM 平面PEB．
证明：取 PB中点为F ，连接DM , FM ，
1
因为M 为PC中点， FM∥BC，且FM BC ．
2
1
在矩形 ABCD中，E 为 AD 中点，所以ED∥BC，且ED BC ．
2
所以ED∥FM ，且ED FM ，所以四边形 EFMD为平行四边
形，
因此DM∥EF ，又因为EF 面PEB,DM 面PEB，
所以DM 面 PEB．.........................................................12分
π
20．解（1） f x 2 3sin xcos x cos 2x 1 3 sin 2x cos 2x 1 2sin 2x 1，
6
所以函数 f x 最小正周期π ...................................................4分
π π π 2π π π 5π
（2）当 x , 时， 2x , 2x ，
6 3 3 3 6 6 6
1 π
则 sin 2x 1，
2 6
π π
1 2sin 2x 2，0 2sin 2x 1 3，
6 6
π π
因此，函数 y f x 在区间 x , 上的值域为 0,3 ...........................8分
6 3
π π π π
（3）∵ x ,m , 2x 2m ，
6 6 6 6
π
由 g x f x 1得 g x 2sin 2x ，
6
π π
若函数 g x 在 ,m 上有且仅有两个零点，则2x 0,π，
6 6
π 5π 11π
则 π 2m 2π，解得 m .
6 12 12
5π 11π
即m , .............................................................12分
12 12
a
2 =b2 +c2
a=2
c 3
21．解（1）依题意可得 = ，解得 b=1 ，..............................2分
a 2
1 3 c= 3
+ =1a2 4b
2
答案第 3 页，共 6 页
{#{QQABbYyUogCgAAIAAAgCQwWiCEEQkAGCCIoOAFAAIAABwAFABAA=}#}
x2
所以椭圆C 的方程为 y2 1.................................................4分
4
1
（2）当直线 AB 斜率为 0 时， lAB : y 0， A 2,0 , B 2,0 ， N ,0 ，
2
5 3
所以NA NB ,0 ,0 1,0 ，所以 NA NB 1，......................5分
2 2
当直线 AB 斜率不为 0 时，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 AB 的方程为： x my 1，
x=my+1
2 2
联立方程组可得 x2 ，得到 m 4 y 2my 3 0，
+y
2 =1
4
4m2 12 m2 4 16m2 48 0，
2m 3
由根与系数的关系得到 y1 y2 ， y2 1y2 2 ，........................7分 m 4 m 4
1 1 1
N ,0 ，所以NA NB x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 1, y1 y2 ，
2 2 2
2m m
2 4
而 x1 x2 1 m y1 y2 1 m 2 1 ， 2
m 4 m 4
2 2
m2 4 2m
所以 NA NB 2 2
m 4 m 4
m4 4m2 16 m4 8m2 16 12m2 12m2
1 ......................8分
m4 8m2 16 m4 8m2 16 m4 8m2 16
当m 0时， NA NB 1 0 1，............................................9分
12
1
当m 0时， NA NB ，因为m2
16 16
2 16 8 2 m
2 8 16，
m 8 2 2
m2
m m
12 3
2 16 0,
当且仅当m 2 时取等，
2 16 4 ， m m 8
m2
12 1 12 1
1 ,1 1 ,1
2 16 4
m 8
，所以 2 16 2 . m 8
m2 m2
1
故 NA NB 的范围为： ,1 .
2
1
综上所述：NA NB 的范围为： ,1 ..........................................12分
2
1
22．解（1） f x lnx , x 0, ，
x
1 1 x 1
f x 2 2 ，.....................................................1分 x x x
答案第 4 页，共 6 页
{#{QQABbYyUogCgAAIAAAgCQwWiCEEQkAGCCIoOAFAAIAABwAFABAA=}#}
令 f ( x) >0解得 x 1，
\ f ( x) 在 0,1 单减，在 1, 上单增，
\ f ( x) 在 x 1取得极小值，也是最小值 f 1 1，................................2分
x 0, 时， f x a成立．
只需a 1即可，
实数a的最大值为 1．.......................................................3分
1
（2）证明：设h x f x g x 2lnx x, x 1, ，
x
2 1 2x 1 x2 (x 1)2
h x 1 0，..................................4分
x x2 x2 x2
1
h x 2lnx x在 x 1, 上单调递减，
x
1
h x 2lnx x h 1 0，...............................................5分
x
1
h x lnx g x 0，
x
即 f x g x ．.............................................................6分
（3）法一：
证明： 存在 x1 x2 时，便得 g x1 g x2 成立，
x1 lnx1 x2 lnx2，
x
x1 x2 lnx1 lnx2 ln
1
，..................................................8分
x2
x
令 t 1 ，由 x1 x2 0可知 t 1，
x2
1
由（2）知h x 2lnx x 在 x 1, 上单调递减，
x
x x x
h t h 1 即2ln 1 2 1 0，
x2 x1 x2
x1 x1 x x1 x1 x2 2ln 2 ，即 ln ，...................................10分
x2 x x x x x2 1 2 1 2
x x x
x x ln 11 2
1 2
，由 x1 x2 0知 x x 0， x2 x1x
1 2
2
答案第 5 页，共 6 页
{#{QQABbYyUogCgAAIAAAgCQwWiCEEQkAGCCIoOAFAAIAABwAFABAA=}#}
1
1即 x x 1，
x1x
1 2
2
x1 x2 1.................................................................12分
法二： g x x ln x, x 0, ，
1 x 1
g x 1 , g x 0 x 1，
x x
g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增．
存在 x1 x2 时，使得 g x1 g x2 成立，
1
x1 lnx1 x2 lnx2，且 x1 1 x2 0, 1， x2
1 1 1
g x1 g x1 ln x1 ln
x2 x2 x2
1 1
x2 ln x ln ，..................................8分 2
x2 x2
1
x2 2ln x2
x2
1
令 x x 2lnx, x 0, ，
x
1 2 x2 2x 1 (x 1)2
x 1 0，
x2 x x2 x2
1
x x 2lnx 在 x 0, 上单调递增，..................................10分
x
又 0 x2 1，
1 1 1
x2 x2 2lnx2 1 0 ，即 g x1 g 0即 g x1 g ， x2 x2 x2
1
x1, 1, , g x 在 1, 上单调递增，
x2
1
x1 即 x1 x2 1.........................................................12分 x2
答案第 6 页，共 6 页
{#{QQABbYyUogCgAAIAAAgCQwWiCEEQkAGCCIoOAFAAIAABwAFABAA=}#}2023-2024学年第一学期学科质量检测
5,已知a-2u,b-agou0,5,c=2,划()
高三数学试题
A.b2cxa B.c>n25 C.azb>o
D.口rs
往意事项：
5.上知半轻为1的山经过点2,3)，则共过心到立钱3x-4少-4-0臣高的最大德为(2
】.木试卷分选吊阳和非远液邀两分，满分150分，专试时旧12分补.
λ.lB.2C.3D.4
2.芒卷前，生冬必将白己的：冬、等生号等佩百在兽区卡和试符指定也咒上
.如图，单位图上所￥的龙边为x幼正半物，煞边射线P交单位
5.耳答法承玛，选出每小题终燕后，月解答迎空邀卡上对应卷的答深标号染州：如需改动，
可于点P,过点P作x轴的并线，群足为M,格点M到射线OP的
用豫皮扳干冲后：再选派其他安案标，回学丰选抵时，将种案与在答则卡上写在本式学上无
百丧表示为工的阳数f〔x),则(x在0网上的涵象大致为《)
效.
一、单项远择恩：本墨共8小区，每小愿5分，共40分.在年小题给出附四个进项中，贝有一项
是符合墨目要求的，
1.集合A-{xeRk≤2}，-{xeR2-3xsD,a,4rnB=()
个y
A.sxs B.s C.D.
2.不$式：x2-x<0.1成立的一个必要不充分杀件是《)
D.
A.0,1<￥3,关于西效)=
02,我中a,69,给下个猫脸
&士制通微（创-：了儿d)必）炉函数，则下列始论正晚的地《)
4,et,f(-x刘=fx
B.YxeR,(x0
甲，6是该函效的号点：
乙：4是该函效的琴点，
下：方程-号布两个限
C.若0ex五，则x川}s,r(5)D.若0<公，'则fx)+f】心田+)
丙：该边颈的穿点之积为0：
二、边邦恩：本愿共4小测，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
若上述阿个箔论中有且只有一个纳论#洪，划该甜读钻论是()
术，全帆迹对的得5分，部分选对的得2分，有选带的得0分.
A,印
B.Z
C,丙
D.丁
9.已知复数z=-{2i+6)i,惠()
4.如图。A,B是半径为1的西0上的两点，且L08-于若C是图D上的任意一点.则丽的
A,正+i的棋长为29B.名在复平面内对应的点在第四您限
最大蓝为《)
3
D.在复数药田内，：是方程x2-4x+40-0的个架
A,一2
C.z-2为纯重级
10.已如日30，b>0,且+2b=1,则〔)
C.
D.1
4.b58
B.2a+
D.log,b
a
高三效学试誉第正，共页
高三数学试卷第2页，共4页
