2023-2024 年第一学期高三年级期中学业诊断数学试卷
参考答案及评分建议
一．单项选择题： D A C B C B D A
二. 多项选择题： 9.B D 10.A D 11.B C 12.A C D
三．填空题: 13. y x 1 14.0 15.2 2 16. 1
四．解答题：
17.解：（1）由题意得 A {x | 0 x 4}， B {y | y 2}， A B (0,2]；……5 分
（2）由 f (x) 2 a x 在 x 0处有定义，且是奇函数，2 1
f (0) a 1 0， a 1(经检验，符合题意)， f (x) 2 1 x ， ………7 分2 1
f (x) 1 2 3 x 在 (0,2]上单调递增，且 f (2) ，2 1 5
当 x A B f (x) (0, 3时， 的值域为 ] . ………10 分
5
1 5
18.解：（1） tan A ，0 A ， sin A ， ………2 分
2 5
在△ ACD CD AC CD AC sin A 5 5中，由 得 2，……6 分
sin A sin ADC sin ADC sin135 5
（2）在△ BCD BC 2 BD 2 2中，由余弦定理得 CD 2BD CD cos BDC
5
BD 2 2 2 2BD cos 45 1 3 ， BD 或 BD ， ………8 分
4 2 2
BD 1 1 1①当 时，△ BCD的面积为 S
2 BCD
BD CD sin 45 ； ………10 分
2 4
3
②当 BD 时，△ BCD的面积为 S 1 BCD BD CD sin 45
3
. ………12 分
2 2 4
19.解：（1） f (x) sin 2x cos 2x 2 sin(2x )， ………3 分
4
2k 2x 2k (k Z) 3 由 得 k x k ，
2 4 2 8 8
3
f (x)的单调递增区间为[ k , k ](k Z )； ………5分
8 8
k
由 2x k (k Z)得 x ，
4 8 2
f (x) k 的对称中心为 ( ,0)(k Z )； ………6分
8 2
{#{QQABBYYQgggAABAAAQgCQwGSCkKQkAGCACoOQEAAIAABgBNABAA=}#}
（2）由（1）可得 f (x) 2 sin(2x ) 3 2 ， sin(2x 3 ) ， ………8 分
4 5 4 5
0 x ， 2x 5 ， cos(2x ) 4 ， ………10 分
2 4 4 4 4 5
7 2
cos 2x cos[(2x ) ] cos(2x ) cos sin(2x )sin .…12 分
4 4 4 4 4 4 10
20.（1）证明：取 AC 的中点O，连接OD， D是 AC1的中点， OD //CC1，
CC1 平面 ABC， OD 平面 ABC，以O为原点，OA,OB,OD所在直线分别为 x轴、
y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0) ，C( 1,0,0)， B(0, 3,0)，
B1(0, 3,1)，C1( 1,0,2)， D(0,0,1)，
CD (1,0,1)， AB1 ( 1, 3,1)， AC1 ( 2,0,2)，
CD AB1 0， CD AB1 ， CD AB1，
CD AC1 0， CD AC1 ， CD AC1，
AB1 AC1 A，CD 平面 AB1C1； ………4 分
（2）设 BB1 a ,则 B1(0, 3,a)，显然m (0,0,1)是平面 ABC的一个法向量，
n (x, y, z) AB C n AC1,
2x 2z 0,
设 是平面 1 1的一个法向量，则
n AB , x 3y az 0,1
取 z 3，则 x 3, y 1 a， n ( 3,1 a, 3)， ………6分
cos m,n m n 3 2 3 1 3 ， a 或 a ， ………8 分
|m || n | a2 2a 7 5 2 2
a 1①当 时， E( 1 , 3 , 1) DE ( 1 , 3 , 3) n ( 3, 1 ， ， , 3)，
2 2 2 4 2 2 4 2
| cos DE,n | DE n | 8 3 | ，
| DE || n | 25
8 3
直线DE 与平面 AB1C1所成角的正弦值为 ； ………10 分25
3
②当 a 时， E( 1 , 3 , 3) DE ( 1 , 3 , 1 ， )， n ( 3, 1 , 3)，
2 2 2 4 2 2 4 2
| cos DE,n | |DE n | 8 51 ，
|DE || n | 85
直线DE 与平面 AB C 8 511 1所成角的正弦值为 . ………12 分85
21.解（1）由题意设{an}的公比为 q(q 1)，
{#{QQABBYYQgggAABAAAQgCQwGSCkKQkAGCACoOQEAAIAABgBNABAA=}#}
则T3 S3 (b1 b2 b3) (a1 a2 a3) a2 8 6， a2 2， ………2 分
S a1(1 q
3 )
3 7, a1 1, n 1 *由 1 q 得 a 2 (n N )； ………6 分
q 2,
n
a2 a1q 2
（2）由（1）得 an 2
n 1(n N *)，
①当 n 2k (k 3)时，T2k S2k (a2 a4 a2k ) 2[1 3 (2k 1)]
2(4k 1) 2
2k2 (4k 3k2 1) 2[(1 3)k 2 3k2 1] (C0 3C1 32 2k k Ck 3k
2 1)
3 3 3 3
2
[1 9 3k k(k 1) 3k2 1] k(k 1) 0； ………9 分
3 2
②当 n 2k 1(k 4)时，T2k 1 S2k 1 (a2 a4 a2(k 1)) 2[1 3 (2k 1)]
2(4k 1 1) 2k2 2[(1 3)k 1 3k2 1] 2 (C0k 1 3C
1
k 1 3
2C2k 1 3
3C3k 1 3k
2 1)
3 3 3
2
(32C2 33C3 2k 1 k 1 3k ) 3(k 1)(k 2)
2 2k2 3(k3 17 5k2 7k) 2k2 3k(k2 k 7) 0；
3 3
综上，当 n 5时，Tn Sn . ………12 分
22.（1）解：当m 1时，令 g(x) f (x) x 1 ln x x 1， x 0，
1 x
则 g (x) f (x) 1 ，令 g (x) 0，则0 x 1；令 g (x) 0，则 x 1；
x
g(x)在 (0,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减，
g(x) g(1) 0， f (x) x 1； ………4 分
x m
（2）令 h(x) (x 1)e ， x 0，原不等式等价于 f (x) h(x)恒成立，
由题意可得 f (1) h(1)成立，即 lnm 0， 0 m 1， ………6 分
下证：当0 m 1时，不等式 f (x) h(x)恒成立，
①当 x 1时， h(x) (x 1)e x m (x 1)e x 1 x 1 ln x ln(mx) f (x) ………8分
②当m x 1时， h (x) xe x m 0， h(x)在[m,1]上单调递增，
h(x) h(m) m 1 lnm lnm ln x ln(mx) f (x)； ………10 分
③当0 x m x m时， h(x) (x 1)e x 1 ln x ln(mx) f (x)；
综上，实数m的取值范围是 (0,1]. ………12 分
注：以上各题其它解法，请酌情赋分.
{#{QQABBYYQgggAABAAAQgCQwGSCkKQkAGCACoOQEAAIAABgBNABAA=}#}5.已知偶函数f(x)在(0，+)是增函数，则下列结论正确的是
2023~2024学年第一学期高三年级期中学业诊断
A.f(x)=cosx
s=+
数学试卷
r
C.f(a)=+
1
.f)
(考试时间：上午8：00一10：00)
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
6.几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形
四
总分
的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点.在△AC中，已知
题号
17
18
19
20
21
22
A=0°，AC=2v了，BC=4V万，现以边AB,BG,CA问外作三个等边三角形，其外接圆
得分
...
圆心依次记为D,E,F,则DE的长为
B.27
、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A.4v2
合题目要求的)
0.33
D.2v5
1.已知集合A={xx2-2x<05,B={xlx>1,则A∩B=
7.已知f(x)=a(a>0,且a≠1)，m,n∈(0，+∞)，则下列结论正确的是
A.(0,+的》
B.(0,2)
A.f(m·n)=f(m)f(n)
B.f(m+n)=f(m)+f(n)
C.(0,1〕
D.(1,2)
2.已知复数z满足(1+)z=2,则x=
c安fva)
Df"")生a
2
A.1+8
B.1-i
8在解决间题“已知an80°=m,请用m表示an20°的值”时，甲的结果为m-Y
,乙的结果
1+V3
0.-】+i
D.-1-i
3.“x2>1”是“x>1”的
为、
m-7,则下列结论正确的是
A.充要条件
B.充分不必要条件
A.甲、乙的结果都正确
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
B.甲的结果正确、乙的结巢锴误
4.已知a=(1,0),b=(1,1),若(Aa-b)Lb,则实数λ=
C.甲的结果错误、乙的结果正确
A.-2
B.2
C.-1
D.1
D.甲、乙的结果都错误
0
高三数学第1页（共10页）
高三数学第2贞（共10页）
二、选择题（木题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.己知数列{a}中，a,=1,a,+1=an+2(n∈N),则下列结论正确的是
A.a4=13
B.{a}是递增数列
C.ag<1000
D.a.=2a +I
10.如图，在长方体ABCD-A,BC,D,中，1A,=AD=1,AB=V2,点E,F,G分别是BG,CD
CC,的中点，点M是侧面ADD,A,内（含边界）的动点，则下列结论正确的是
A.存在M,使得AM∥平面EFG
B.存在M,使得AM⊥平面EFG
MH
C.不存在M,使得平面MB,D,∥平面EFG
D.不存在M,使得平面MB,D,⊥平面EFG
11.已知定义域在R上的函数f(x)满足：f(x+1)是奇函数，且f(-1+x)f(-1-x),当x∈[-1,1]，
f(x)=x-1,则下列结论正确的是
A.f(x)的周期T=4
C.f(x)在[-5，-4]上单调递增
D.f(x+2)是偶函数
12.已知函数f(x)=2x-6x2+4,则下列结论正确的是
A.f(x)在(0,2)上单调递减
B.f(x)的极小值为4
C,廿xR,都有f(x)+f(2-x)=0
D.x∈R,直线t:y-f(x,）=-6(x-x与曲线y=f(x)有唯-交点
高三数学第3页（共10页）
高三数学第4页（共10页）
